What is Investigating Différentiation Paramétrique?

La différenciation paramétrique est le processus de différenciation de deux équations paramétriques distinctes. La différenciation paramétrique est différente du processus de différenciation standard car les deux équations séparées (y,x) sont des fonctions d'une troisième variable dépendante appelée paramètre .Dans la méthode de différenciation standard, les équations sont sous la forme cartésienne où une variable dépendante ( y) est exprimée comme une fonction d'une autre variable (x ). Par exemple, les équationscartésiennes peuvent avoir la formey=f(x) alors que les équations paramétriques ont la forme y=f(t) et x=f(t).

Pourquoi utilise-t-on la différenciation paramétrique ?

La différenciation paramétrique est utilisée pour décrire la pente et la concavité des courbes paramétriques qui sont définies par des équations paramétriques. Ces types d'équations décrivent souvent des courbes qui se superposent en plusieurs points et qui sont difficiles à décrire avec des équations cartésiennes. Les dérivées paramétriques peuvent ensuite être utilisées pour construire les équations des tangentes et des normales des courbes.

Quelles sont les étapes de la différenciation paramétrique ?

Décomposons-les.

Appliquer la règle de la chaîne standard

La première étape consiste à appliquer la règle de la chaîne standard car nous cherchons toujours la dérivée de dy/dx, mais nous devons trouver l'expression correcte pour les équations paramétriques données. La règle de la chaîne est la suivante :

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$

Prenons un exemple contenant les équations paramétriques d'un cercle :

En utilisant la règle de la chaîne, nous avons maintenant l'expression suivante :

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}·\frac{dt}{dx}=\frac{{\displaystyle \frac{dy}{dt}}}{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}}$

La règle de la chaîne peut également être exprimée comme un Rapport des deux dérivées par rapport au paramètre commun, en réarrangeant l'expression comme indiqué ci-dessus - à condition que le dénominateur ne soit pas nul. Il s'agit d'une astuce qui simplifie le processus, également appelée règle de la chaîne inversée.

Différenciation de chaque équation paramétrique séparément

Dans un deuxième temps, nous devons procéder à la différenciation de chaque équation. Nous allons maintenant procéder à la différenciation de la fonction x par rapport à t, puis répéter le processus pour la fonction y. Cela servira ensuite à créer le Ratio indiqué à l'étape 2, pour trouver la dérivée paramétrique dy/dx, en divisant les deux dérivées .

En continuant avec le premier exemple, les dérivées des fonctions x, y par rapport à t sont les suivantes :

Créer un rapport des dérivées paramétriques.

La troisième et dernière étape consiste à substituer chaque dérivée paramétrique dans l'expression du rapport obtenu par l'application de la règle de la chaîne. En poursuivant l'exemple, nous divisons la dérivée y sur la dérivée x.

$\frac{dy}{dx}\frac{{\displaystyle \frac{dy}{dt}}}{{\displaystyle \frac{dx}{dt}}}=\frac{\cos \left(t\right)}{-\sin \left(t\right)}=-cot\left(t\right)$

Trouver l'équation d'une tangente à une courbe à l'aide de la différenciation paramétrique

La tangente d'une courbe est une ligne droite qui touche la surface d'une courbe en un point précis$(x_1,y_1)$ comme le montre la figure ci-dessous. Puisqu'une tangente est une ligne droite, l'équation de la tangente a la forme y = ax +c où a est le gradient ou la pente et c est une constante.

La pente de la ligne tangente est égale à la dérivée de la courbe. Si le point de tangence est connu ainsi que les équations paramétriques, l'équation de la tangente peut être trouvée en utilisant la différenciation paramétrique avec la formule suivante, où $x_1,y_1$ sont les coordonnées du point de tangence.

$y-y_1=a(x-x_1)$

Exemple de tangente d'une courbe StudySmarter

Comment trouver l'équation d'une normale à une courbe ?

Une normale à une courbe est aussi une ligne droite qui est perpendiculaire à la tangente de la courbe en un point précis$(x_1,y_1)$ comme le montre la figure ci-dessous. De la même façon que l'équation d'une tangente, l'équation de la normale peut également être trouvée en utilisant la dérivée au point spécifié. Cependant, la pente de la normale doit être l'inverse négatif de la dérivée de la courbe comme le montre la formule ci-dessous où T et N indiquent respectivement la pente de la tangente et de la normale.

$Slop{e}_T\times Slop{e}_N=-1$

Exemple de normale d'une courbe Study Smarter