Distance d'un point à une ligne

Définition de la distance entre un point et une ligne

Analysons ce problème à l'aide du diagramme ci-dessous.

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Si l'on te demandait de trouver la distance entre le point A et la ligne l, ce serait vraiment ambigu, car il y a plusieurs façons, en fait infinies, de relier le point et la ligne.

Il faut donc être précis quant à la distance demandée. Certaines de ces distances sont représentées par les segments verts dans le diagramme ci-dessus.

Mais la seule distance spécifique qui peut être nommée et quantifiée est la distance la plus courte entre le point et la ligne.

La distance la plus courte entre la ligne et le pointest représentée par le segment de ligne rose dans le diagramme ci-dessus .

Le segment de droite le plus court est perpendiculaire à la droite elle-même. Étant donné que tout autre segment de droite formera un angle aigu ou obtus avec la droite, la distance la plus courte ne sera possible que lorsqu'elle sera perpendiculaire à la droite.

Cette distance peut également être considérée comme le chemin le plus court par lequel le point A peut être amené à la ligne l.

Mais comment déterminer la distance entre un point et une ligne en utilisant l'équation d'une ligne et les coordonnées du point ? Voyons comment nous pouvons trouver une telle formule.

Formule de calcul de la distance entre un point et une ligne

Soit D une ligne droite dont l'équation est donnée par $ax+by+c=0$ où $a,b$ ne sont pas simultanément 0, et un point A $\left(x_0,y_0\right)$ à l'extérieur de la droite, c'est-à-dire n'appartenant pas à la droite.

Le but est de trouver la distance la plus courte entre la droite D et le point P. Soit le point où le segment de droite le plus court coupe la droite, Q dont les coordonnées sont $\left(x_1,y_1\right)$.

La distance entre le point et la ligne D est la même que la longueur du segment de ligne formé par les points A et Q ou la distance entre eux. Nous pouvons utiliser la formule de la distance pour y parvenir, mais nous avons besoin de connaître les coordonnées de Q en termes de $x_{0}and{y}_0$ pour cela.

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Rappelle que le gradient d'une ligne dont l'équation est $ax+by+c=0$ est donné par $m_1=-\frac{a}{b}$. Maintenant, le segment de droite AQ est perpendiculaire à la droite et sa pente sera donc $m_2=\frac{b}{a}$. En effet, le produit des pentes de deux droites perpendiculaires est toujours égal à -1, soit$m_1{m}_2=-1$.

Nous avons maintenant la pente de la ligne joignant AQ et les coordonnées d'un point A sur cette ligne. À l'aide de ces informations, nous pouvons maintenant former l'équation de la ligne AQ,

$y-y_0=m_2\left(x-x_0\right)$

$y-y_0=\frac{b}{a}\left(x-x_0\right)$

$ay-a{y}_0=bx-b{x}_0$

Puisque Q se trouve sur cette ligne, nous pouvons substituer $\left(x_1,y_1\right)$ par $\left(x,y\right)$ pour trouver les inconnues $x_{1}and{y}_1$.

$a{y}_1-a{y}_0=b{x}_1-b{x}_0$

Mais Q se trouve également sur la ligne $ax+by+c=0$$ax+by+c=0$il satisfera donc à l'équation de la ligne D, d'où l'équation suivante

$a{x}_1+b{y}_1+c=0$$a{x}_1+b{y}_1+c=0$

Les deux droites ci-dessus se coupent en Q et peuvent donc être résolues simultanément afin de déterminer les inconnues $x_{1}and{y}_1$En écrivant la première équation en termes de $x_1$,

$x_1=\frac{-c-b{y}_1}{a}$

En substituant l'expression de $x_1$ dans $a{y}_1-a{y}_0=b{x}_1-b{x}_0$on obtient

$a{y}_1-a{y}_0=b\left(\frac{-c-b{y}_1}{a}\right)-b{x}_0$$-bc-b^2{y}_1-a^2{y}_1+a^2{y}_0-ab{x}_0=0$

En résolvant pour$y_1$ nous obtenons

$a{y}_1=a{y}_0-\frac{b}{a}\left(c+b{y}_1\right)-b{x}_0$

En développant les parenthèses et en réarrangeant les termes, nous obtenons

$a{y}_1=\frac{a^2{y}_0-bc-b^2{y}_1-ab{x}_0}{a}$

En multipliant les deux côtés par $a$on obtient

$a^2{y}_1+b^2{y}_1=a^2{y}_0-ab{x}_0-bc$

$\left(a^2+b^2\right)y_1=a^2{y}_0-ab{x}_0-bc$

Nous allons maintenant diviser par $a^2+b^2$pour obtenir

$y_1=\frac{a^2{y}_0-ab{x}_0-bc}{a^2+b^2}$

En remplaçant ce résultat par $x_1=\frac{-c-b{y}_1}{a}$ pour déterminer $x_1$on obtient

$x_1=\frac{-c}{a}-\frac{b}{a}\left(\frac{a^2{y}_0-ab{x}_0-bc}{a^2+b^2}\right)$

En réduisant à un dénominateur commun, nous obtenons

$x_1=\frac{-c(a^2+b^2)-b{a}^2{y}_0+a{b}^2{x}_0+b^{2}c}{a\left(a^2+b^2\right)}$

En simplifiant, on obtient

$x_1=\frac{-a^{2}c-b^{2}c-a^{2}b{y}_0+a{b}^2{x}_0+b^{2}c}{a(a^2+b^2)}$

En simplifiant davantage en éliminant les termes similaires, nous obtenons

$x_1=\frac{b^2{x}_0-ab{y}_0-ac}{a^2+b^2}$

Nous avons maintenant obtenu les coordonnées du point Q en fonction des constantes que nous connaissons,

$Q\left(\frac{b^2{x}_0-ab{y}_0-ac}{a^2+b^2},\frac{a^2{y}_0-ab{x}_0-bc}{a^2+b^2}\right)$

Nous pouvons maintenant calculer la distance entre A et Q en utilisant la distance, qui n'est rien d'autre que la distance entre le point et la ligne , comme nous l'avons vu précédemment. Notons-la par d et appliquons la formule de la distance,

$d^2={\left(x_1-x_0\right)}^2+{\left(y_1-y_0\right)}^2$

En substituant pour $x_1,y_1$ nous obtenons

$d^2=\left(\frac{b^2{x}_0-ab{y}_0-ac-a^2{x}_0-b^2{x}_0}{a^2+b^2}\right)+\left(\frac{a^2{y}_0-ab{y}_0-bc-a^2{y}_0-b^2{y}_0}{a^2+b^2}\right)$

En simplifiant davantage, nous obtenons

$d^2=\frac{a^2{\left(a{x}_0+b{y}_0+c\right)}^2+b^2{\left(a{x}_0+b{y}_0+c\right)}^2}{{(a^2+b^2)}^2}$

$d^2=\frac{\left(a^2+b^2\right){\left(a{x}_0+b{y}_0+c\right)}^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$

$d^2=\frac{{\left(a{x}_0+b{y}_0+c\right)}^2}{a^2+b^2}$

En prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient ,

$d=\pm \frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Puisque d est la distance, il ne peut pas être négatif, nous rejetons donc la racine négative, ce qui nous donne,

$d=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Mais il y a encore une possibilité lorsque le numérateur $a{x}_0+b{y}_0+c$ est négatif. Pour éviter qu'il soit négatif, il faut prendre son module,

$d=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Nous ne rencontrons pas ce problème puisque le dénominateur est une somme de carrés de nombres non nuls, il sera donc toujours positif.

Pour écrire la même expression sous une forme plus pratique (et plus facile à retenir), définissons l'équation de la droite comme suit $f\left(x,y\right)=ax+by+c$ pour obtenir $f\left(x_0,y_0\right)=a{x}_0+b{y}_0+c$ce qui nous donne

$d=\frac{\left|f\left(x_0,y_0\right)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Appliquons maintenant cette formule à travers quelques exemples.

Calculer la distance d'un point à une ligne

Le calcul de la distance d'une ligne à un point est un processus relativement simple. L'équation d'une ligne doit être donnée ainsi que le point jusqu'auquel la distance doit être calculée.

Exemple de distance entre un point et une ligne