What is Investigating Distance d'un point à une ligne?

$y-y_0=m_2\left(x-x_0\right)$

$y-y_0=\frac{b}{a}\left(x-x_0\right)$

Puisque Q se trouve sur cette ligne, nous pouvons substituer $\left(x_1,y_1\right)$ par $\left(x,y\right)$ pour trouver les inconnues $x_{1}and{y}_1$.

$a{y}_1-a{y}_0=b{x}_1-b{x}_0$

Mais Q se trouve également sur la ligne $ax+by+c=0$$ax+by+c=0$il satisfera donc à l'équation de la ligne D, d'où l'équation suivante

$a{x}_1+b{y}_1+c=0$$a{x}_1+b{y}_1+c=0$

$x_1=\frac{-c-b{y}_1}{a}$

En substituant l'expression de $x_1$ dans $a{y}_1-a{y}_0=b{x}_1-b{x}_0$on obtient

$a{y}_1=a{y}_0-\frac{b}{a}\left(c+b{y}_1\right)-b{x}_0$

$a^2{y}_1+b^2{y}_1=a^2{y}_0-ab{x}_0-bc$

$\left(a^2+b^2\right)y_1=a^2{y}_0-ab{x}_0-bc$

$y_1=\frac{a^2{y}_0-ab{x}_0-bc}{a^2+b^2}$

$x_1=\frac{-c}{a}-\frac{b}{a}\left(\frac{a^2{y}_0-ab{x}_0-bc}{a^2+b^2}\right)$

$x_1=\frac{-c(a^2+b^2)-b{a}^2{y}_0+a{b}^2{x}_0+b^{2}c}{a\left(a^2+b^2\right)}$

$x_1=\frac{b^2{x}_0-ab{y}_0-ac}{a^2+b^2}$

$d^2={\left(x_1-x_0\right)}^2+{\left(y_1-y_0\right)}^2$

$d^2=\frac{{\left(a{x}_0+b{y}_0+c\right)}^2}{a^2+b^2}$

$d=\pm \frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$d=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Mais il y a encore une possibilité lorsque le numérateur $a{x}_0+b{y}_0+c$ est négatif. Pour éviter qu'il soit négatif, il faut prendre son module,

Pour écrire la même expression sous une forme plus pratique (et plus facile à retenir), définissons l'équation de la droite comme suit $f\left(x,y\right)=ax+by+c$ pour obtenir $f\left(x_0,y_0\right)=a{x}_0+b{y}_0+c$ce qui nous donne

Exemple de distance entre un point et une ligne