Équations Simultanées: Introduction, Méthodes

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Un exemple de graphique d'équations simultanées, transom.org

Le graphique ci-dessus montre les équations simultanées

1) $2 x + y = 5$

2) $x - y = 1$

Il existe une solution qui satisfait les deux équations et tu peux la voir au point où les deux lignes se croisent. C'est en fait l'une des façons de résoudre les équations simultanées, mais nous te montrerons de meilleures méthodes, plus rapides, dans ce guide, alors poursuis ta lecture !

Consulte notre guide sur la résolution des équations linéaires si tu as besoin de te rafraîchir la mémoire sur la résolution d'une seule inconnue, car nous nous appuierons sur cette méthode.

Pourquoi avons-nous besoin d'équations simultanées ?

Si tu veux résoudre une équation avec une seule valeur inconnue, le processus est généralement très simple. Cependant, les choses deviennent plus complexes lorsque des inconnues supplémentaires sont introduites. Prends l'exemple de la première équation :

$2 x + y = 5$

Tu peux essayer différents nombres et voir qu'une solution potentielle serait $x = 2, y = 1$ . Mais il existe en fait une infinité de solutions. Pense à ce qui se passerait si x ou y étaient des fractions !

Nous avons besoin d'une deuxième équation pour identifier une seule et unique solution.

Comment résous-tu les équations simultanées ?

Tu peux résoudre des équations simultanées de différentes façons. Nous allons te montrer les deux meilleures méthodes, car elles sont plus rapides que l'utilisation d'un graphique comme indiqué précédemment. Chaque méthode peut être plus facile en fonction de la question, et il se peut que l'une d'entre elles te vienne plus naturellement, alors n'hésite pas à les essayer toutes les deux.

Résolution par élimination

L'une des façons de résoudre les équations simultanées est l'élimination. Tu peux utiliser cette méthode plus facilement lorsque l'inconnue que tu veux éliminer a le même coefficient dans chaque équation, mais nous te montrerons comment l'utiliser dans d'autres cas également.

Revenons à nos équations initiales :

$2 x + y = 5$

$x - y = 1$

Nous pouvons voir que si nous additionnons chaque côté des deux équations, nous pourrons facilement éliminer y. (Tu peux additionner ou soustraire les équations selon la situation.) Essayons !

$2 x + y + x - y = 3 x$

$5 + 1 = 6$

Il ne nous reste plus qu'une seule équation :

$3 x = 6$

$\Rightarrow x = 2$

Nous pouvons maintenant la substituer à l'une des équations initiales pour trouver y :

$2 - y = 1$

$\Rightarrow y = 1$

Enfin, il est important de toujours vérifier ton travail en substituant ces valeurs dans l'autre équation. C'est essentiel pour t'aider à repérer les erreurs que tu as pu commettre.

$2 x + y = 5$

$2 (2) + 1 = 5$

Résoudre $x + 4 y = 11$ $x - y = 1$

Pour commencer, tu peux soustraire chaque côté de l'équation l'un de l'autre afin d'éliminer les x ;

$(x + 4 y) - (x - y) = 5 y$

$11 - 1 = 10$

Tu peux maintenant travailler avec les réponses pour former une nouvelle équation pour résoudre y ;

$5 y = 10$

$y = 2$

Cette réponse peut maintenant être substituée à l'une des équations initiales pour résoudre x ;

$x - y = 1$

$x - 2 = 1$

$x = 1 + 2 = 3$

Enfin, n'oublie pas de vérifier tes réponses en les substituant à l'une des équations ;

$x + 4 y = 11$

$3 + 4 (2) = 11$

Résolution par élimination (coefficients différents)

Voyons maintenant un nouvel exemple :

1) $3 x + 2 y = 10$

2) $2 x + 3 y = 15$

Dans cet exemple, l'élimination n'est pas aussi simple que précédemment. Nous devons modifier les équations d'une manière ou d'une autre pour que les coefficients soient les mêmes. Nous sommes autorisés à le faire tant que nous effectuons la même opération des deux côtés de l'équation.

Il semble que nous puissions obtenir le même coefficient de y en multipliant la première équation par 3 et la seconde par 2. Essayons cela :

1) $9 x + 6 y = 30$

2) $4 x + 6 y = 30$

Nous pouvons maintenant les soustraire pour éliminer y, puis substituer notre réponse à x comme précédemment :

$9 x + 6 y - 4 x - 6 y = 5 x$

$30 - 30 = 0$

$\Rightarrow 5 x = 0$

$\Rightarrow x = 0$

$2 (0) + 3 y = 15$

$\Rightarrow y = 5$

vérifier :

$3 x + 2 y = 10$

$3 (0) + 2 (5) = 10$

Résoudre $4 x + 2 y = 44$ $7 x + 4 y = 83$

Pour ce faire, tu dois d'abord faire en sorte que deux des coefficients soient identiques, pour cela nous pouvons multiplier la première équation par 2, ce qui nous donne ces équations ;

$8 x + 4 y = 88$

$7 x + 4 y = 83$

Tu peux maintenant soustraire une équation de l'autre pour éliminer y et résoudre x ;

$8 x + 4 y - 7 x - 4 y = x$

$88 - 83 = 5$

$x = 5$

Tu peux maintenant introduire ton x dans l'une des équations pour résoudre y ;

$4 x + 2 y = 44$

$4 (5) + 2 y = 44$

$20 + 2 y = 44$

$y = \frac{24}{2}$

$y = 12$

N'oublie pas qu'il est possible de vérifier tes réponses en substituant les deux réponses dans l'équation et en vérifiant que cela fonctionne ;

$4 (5) + 2 (12) = 44$

Résolution par substitution

Nous aurions pu aborder la première série d'équations d'une autre façon : par substitution. Rappelle-toi que dans nos exemples précédents, une fois que nous avons trouvé une valeur, nous pouvons la substituer dans l'équation pour trouver l'autre. Cette méthode fait appel à la même technique, mais à un moment différent du processus.

1) $5 x + y = 28$

2) $y = 2 x$

Pour utiliser la méthode de substitution, tu peux commencer par substituer l'équation 2 dans le y de l'équation 1 pour t'aider à trouver x ;

$5 x + y = 28$

$5 x + 2 x = 28$

$x = \frac{28}{7}$

$x = 4$

Tu peux maintenant substituer 4 à l'une des équations pour trouver y ;

$y = 2 x$

$y = 2 (4)$

$y = 8$

1) $2 x + y = 5$

2) $x - y = 1$

Dans ce cas, nous devons réarranger l'équation 2 afin de l'obtenir en termes de y, ce qui nous permettra de la substituer dans l'équation 1 et de résoudre x ;

3) $y = x - 1$

4) $2 x + (x - 1) = 5$

$\Rightarrow 3 x - 1 = 5$

$\Rightarrow 3 x = 6$

$\Rightarrow x = 2$

La dernière étape reste la même : nous utilisons simplement cette valeur dans la deuxième équation, ce qui nous donne y = 1 comme précédemment. N'oublie pas de vérifier ta réponse !

Comment résous-tu les équations simultanées avec une quadratique ?

Pour résoudre les équations simultanées avec une quadratique, nous nous basons sur la méthode de substitution décrite précédemment.

1) $y - 3 x = 6$

2) $y = x^{2} + 2 x$

Sur un graphique, ces équations ressembleraient à ceci :

Exemple travaillé Equations simultanées StudySmarter

Exemple pratique, transom.org

La première chose à faire dans ce cas est de réarranger la première équation. La clé est de les rendre toutes deux égales à y, (c'est-à-dire égales à la même chose), parce que cela signifie que nous pouvons les rendre toutes deux égales l'une à l'autre.

3) $y = 3 x + 6$

$\Rightarrow x^{2} + 2 x = 3 x + 6$

$\Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0$

Nous avons maintenant une équation quadratique que tu peux résoudre en utilisant la méthode de ton choix. Dans cet exemple, nous allons utiliser la factorisation (si tu as besoin de t'entraîner, consulte notre article sur la factorisation des expressions quadratiques).

$x^{2} - x - 6 = 0$

$\Rightarrow (x - 3) (x + 2)$

$\Rightarrow x = 3 o r x = - 2$

Comme tu peux le voir, nous avons deux valeurs possibles pour x. Cela signifie que nous devons les remplacer chacune par une autre afin de trouver deux paires de solutions pour nos équations simultanées :

1) $y = 3 (3) + 6 = 15$ ou 1) $y = 3 (- 2) + 6 = 0$

Cela nous donne les paires

$x = 3, y = 15$ ou $x = - 2, y = 0$

vérifie :

2) $y = x^{2} + 2 x$

$y = {(3)}^{2} + 2 (3) = 9 + 6 = 15$

$y = {(- 2)}^{2} + 2 (- 2) = 4 - 4 = 0$

Dans cet exemple, nous avions deux solutions, mais il est important de se rappeler qu'il n'est pas nécessaire qu'il y en ait deux. Il peut y en avoir une ou même aucune, comme lorsque tu résous une équation quadratique seule. Par exemple, réfléchis au nombre de solutions que contiendrait le graphique ci-dessous :

Exemple de graphique Equations simultanées StudySmarter

Exemple de graphique montrant des solutions multiples, transom.org

Comment former tes propres équations simultanées ?

Pour former tes propres équations simultanées, tu peux avoir besoin d'interpréter un ensemble de textes. Certaines questions sont plus compliquées et demandent un peu de réflexion pour construire les équations avant de les résoudre.

Ali achète 2 caramels et 3 boules de gomme. Bea achète 3 caramels et 2 gommes. Le total d'Ali s'élève à 0,10 € et Bea paie 0,15 €. Combien coûtent les caramels et les gommes ?

Tout d'abord, nous devons identifier les variables. Dans ce cas, il s'agit des caramels et des gommes. Nous pouvons voir que 2 caramels et 3 boules de gomme coûtent 10 pence, et que 3 caramels et 2 boules de gomme coûtent 15 pence. À l'aide de ces informations, nous pouvons écrire les équations suivantes, où g représente les gommes et t les caramels :

1) $3 g + 2 t = 10$

2) $2 g + 3 t = 15$

Tu peux voir qu'il s'agit en fait d'une des séries d'équations simultanées de tout à l'heure !

Equations simultanées - Points clés à retenir

Les équations simultanées nous permettent de trouver des solutions uniques.
La méthode graphique consiste à dessiner chaque équation sur un graphique et la solution est le point où les lignes se croisent.
La méthode d'élimination consiste à éliminer une inconnue en ajoutant ou en soustrayant les équations, puis à résoudre l'inconnue restante.
La méthode de substitution consiste à réarranger une équation en termes d'une inconnue, puis à la substituer dans l'autre équation pour résoudre l'inconnue restante.
Tu peux résoudre des équations quadratiques simultanées en réarrangeant l'équation linéaire et en la rendant égale à l'équation quadratique afin de construire une équation quadratique et de la résoudre en utilisant la méthode de ton choix. N'oublie pas qu'il y a souvent plusieurs solutions.

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Questions fréquemment posées en Équations Simultanées

Qu'est-ce que les équations simultanées?

Les équations simultanées sont des équations avec plusieurs variables que l'on résout ensemble pour trouver une solution commune pour toutes les variables.

Comment résoudre des équations simultanées?

Pour résoudre des équations simultanées, on utilise des méthodes comme l'élimination, la substitution ou les matrices pour trouver des solutions communes.

Pourquoi les équations simultanées sont-elles importantes?

Les équations simultanées sont importantes car elles permettent de résoudre des problèmes complexes impliquant plusieurs variables, comme en physique ou en économie.

Quelle est la méthode la plus simple pour résoudre des équations simultanées?

La méthode la plus simple est souvent la substitution, où l'on remplace une variable dans une équation par l'expression trouvée dans l'autre.

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