Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Pendant mon adolescence, je n'ai jamais vraiment aimé les PROBLÈMES DE MOTS, non pas parce qu'ils étaient difficiles, mais à cause du nom PROBLÈME DE MOTS. On aurait pu l'appeler mot-tâche, mot-maths ou mot-n'importe quoi, mais pas PROBLÈME, parce que le mot PROBLÈME, en lui-même, me posait un problème psychologique. Cependant, peu de temps après, j'ai commencé à comprendre que ces PROBLÈMES sont en effet mieux abordés lorsqu'ils sont exprimés en algèbre, en équations et en formules.
Ci-après, tu apprendras donc à évaluer les expressions et les formules algébriques, leurs règles et leurs étapes, ainsi que quelques exemples fascinants pour te rafraîchir la mémoire. Allez EXPRESSION, pas de PROBLÈME !
Les expressions sont des illustrations de nombres, de variables et de termes qui sont combinés par des opérations telles que l'addition, la soustraction, la division et la multiplication. En d'autres termes, ce sont des phrases utilisées par les mathématiciens pour communiquer leurs idées.
En ce qui concerne les expressions algébriques, les lettres sont principalement utilisées pour représenter les nombres. Ces lettres sont appelées variables. La combinaison de ces lettres avec des nombres et des opérations mathématiques est ce qu'on appelle une expression algébrique. En utilisant \(x\) comme variable, nous pouvons examiner quelques exemples d'expressions algébriques.
Comment un mathématicien exprimerait-il ce détail : "Dans \(5\) ans, un père aura deux fois l'âge actuel de son fils" ?
Solution :
Soit l'âge actuel du père \N(f\N) et celui de son fils \N(s\N). Dans cinq ans, l'âge du père sera de :
\[f+5\]
Mais on nous a dit que son âge serait alors deux fois plus élevé que celui de son fils :
\[2s\]
Si l'on combine ces deux éléments pour leur donner un sens, on obtient :
\N- [f+5=2s\N]
C'est ainsi qu'un mathématicien représenterait cette information.
Lesvariables sont les lettres composant les expressions. Ce sont elles qui distinguent les expressions des opérations arithmétiques. Les termes sont les composants des expressions qui sont séparés par addition ou soustraction. Les coefficients sont les facteurs numériques qui multiplient les variables.
Par exemple, si nous avions l'expression \(x^2y^2+6xy+(-3)\), nous pourrions identifier \(x\) et \(y\) comme les composantes variables de l'expression. Le nombre \(6\) est identifié comme le coefficient du terme \(6xy\). Le nombre \(-3\) est appelé une constante. Les termes identifiés ici sont \N (x^2y^2\N), \N(6xy\N) et \N(-3\N).
Nous pouvons prendre quelques exemples et classer leurs composants dans les catégories suivantes : variables, coefficients ou termes.
Expressions | Variables | Coefficients | Constantes | Termes |
\(\frac{4}{5}y+14x-3\) | \N-(x\N) et \N-(y\N) | \(\frac{4}{5}\) et \(14\) | \(-3\) | \(\frac{4}{5}y\), \(14x\) and \(-3\) |
\(2^2-4x\) | \(x\) | \(-4\) | \(2^2\) | \N- (2^2\N) et \N(-4x\N) |
\(\frac{1}{2}+x^2y^3\) | \(x) et (y) | \(1\) (bien que cela ne soit pas indiqué, il s'agit techniquement du coefficient de \(x\) et \(y\)) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{2}\), \(x^2y^3\) |
Les règles qui sont suivies lors de l'évaluation des expressions sont autrement appelées les lois de l'expression algébrique.
La règle de commutativité s'applique aux deux opérations d'addition et de multiplication. Elle stipule que la position du terme (nombre, variable, etc.) qui subit l'une de ces opérations (addition ou multiplication) n'est pas déterminante pour le résultat. Cela signifie que si tu dois trouver la somme entre \N(x\N) et \N(y\N) ou le produit entre \N(x\N) et \N(y\N), le résultat ne changera pas même si \N(y\N) est placé en premier et \N(x\N) en second dans l'opération.
La commutativité signifie :
\N-[x+y=y+x\N]
ou
\N- [x fois y=y fois x\N]
Tu devrais essayer les nombres ci-dessous.
Prouve la loi de la commutativité avec ce qui suit :
a. \(5+3\)
b. \(6 fois 11)
Solution :
a. Note que
\[5+3=8\]
et
\[3+5=8\]
Donc ,
\[5+3=3+5\]
Par conséquent, l'expression ci-dessus respecte la règle de commutativité.
b. Note que
\N- 6 \Nfois 11=66 \N]
et
\N- [11 \N fois 6=66 \N]
D'où ,
\N- [6 \N fois 11=11 \N fois 6 \N]
Par conséquent, l'expression ci-dessus respecte la règle de la commutativité.
Note que lorsque la règle de commutativité implique l'addition, on parle de commutativité additive. En revanche, lorsqu'il s'agit d'une multiplication, on parle de commutativité multiplicative.
La règle d'associativité s'applique aux deux opérations d'addition et de multiplication. Elle explique que le fait de séparer ou de regrouper (en utilisant des parenthèses ou des crochets) n'affecte pas le résultat des sommes ou des produits. Cela signifie que si \N(x\N) et \N(y\N) sont séparés et multipliés séparément avant d'être multipliés par \N(z\N), cela équivaut toujours à multiplier une séparation de \N(y\N) et \N(z\N) avant d'être multipliés par \N(x\N). Cette règle s'applique également à l'addition.
L'associativité signifie :
\N[(x+y)+z=x+(y+z)\N]
ou
\N-(x fois y)\Nfois z=x\Nfois (y\Nfois z)\N]
Tu devrais essayer les nombres ci-dessous.
Montre la propriété associative à l'aide des éléments suivants :
a. \((5+3)+7\)
b. \((3 fois 2)fois 4)
Solution :
a. En calculant,
\[(5+3)+7=8+7=15\]
et
\[5+(3+7)=5+10=15\]
Ainsi, l'expression ci-dessus obéit à la règle associative.
b. En calculant ,
\N[(3 fois 2)\Nfois 4=6 fois 4=24\N]
et
\N- 3\Nfois (2\Nfois 4)=3\Nfois 8=24\N]
En réalité, l'expression ci-dessus montre une propriété associative.
Note que lorsque la règle d'associativité implique l'addition, on parle d'associativité additive. En revanche, lorsqu'il s'agit d'une multiplication, on parle d'associativité multiplicative.
La loi de distributivité s'applique lorsque les opérations d'addition et de multiplication sont effectuées simultanément (en même temps). Elle stipule que lorsqu'un terme est multiplié par un ségrégat (regroupé entre parenthèses) fonctionnant sous addition, le résultat est équivalent à la somme du produit entre ce terme et les composants individuels du ségrégat. Les composants individuels de la ségrégation sont connus sous le nom d'additions ou de sommets. Cela signifie que lorsqu'un certain terme \N(x\N) est multiplié par une somme séparée de \N(y\N) et \N(z\N), il est équivalent à la somme des produits de \N(x\N) et \N(y\N) ainsi que de \N(x\N) et \N(z\N).
La distributivité signifie :
\N[x\Nfois (y+z)=xy+xy\N]
où \N(y\N) et \N(z\N) sont chacun appelés l'addition de la somme \N((y+z)\N).
Tu devrais regarder l'exemple ci-dessous qui utilise des nombres pour te donner une idée plus claire.
Détermine la loi distributive à l'aide de l'expression ci-dessous :
\[5 fois (4+3)\N]
Solution :
Dans un premier temps,
\N- 5 fois (4+3)=5 fois 7=35 \N- et dans le second cas, 5 fois (4+3)=5 fois 7=35 \N-.
et dans le deuxième cas,
\N- [5\N fois (4+3)=(5\N fois 4)+(5\N fois 3)\N]
ce qui donne
\N- [5\Nfois (4+3)=20+15=35\N]
Par conséquent, l'expression \(5\times (4+3)\) est conforme à la règle de distributivité.
Pour évaluer une expression, tu dois procéder en deux étapes.
Remplace la valeur attribuée à chaque variable dans l'expression. Pour ce faire, il est préférable d'utiliser des parenthèses autour de chaque valeur substituée.
Effectuer des opérations sur les expressions à l'aide de l'ordre des opérations.
Utilise PEMDAS. Jette un coup d'œil à l'article sur l'ordre des opérations pour bien comprendre.
Si \(x = 6\), évalue \(6+x\).
Solution :
Remplace \N(6\N),
\[6 + 6 \]
\[12\]
Évalue l'expression ci-dessous si \N(x = 3\N), et \N(y = 2\N).
\N- [6y+4x=?\N]
Solution :
\[6(2)+4(3)=?\]
\[12+12=24\]
Évalue \[2x^3-x^2+y\]
si \(x = 3\), et \(y = -2\).
Solution :
\N-[2x^3-x^2+y\N]
\[2(3)^3-(3)^2+(-2)\]
\[2(27)-9+(-2)\]
\[54-9+(-2)\]
\[43\]
Évalue \[y^2-y-6\]
où \(y = -4\).
Solution :
\[(-4)^2-(-4)-6\]
\[16+4-6\]
\[14\]
Rappelle-toi que soustraire un négatif revient à ajouter un positif.
Tout comme les règles qui ont été utilisées précédemment pour décrire les expressions, les formules sont définies par les règles de commutativité, d'associativité et de distributivité. Cependant, une règle supplémentaire est courante dans l'évaluation des formules. Il s'agit de la règle de la fonction inverse. Cette règle t'aide à défaire ce qui a été fait pour obtenir l'expression d'un terme de ton choix. Le tableau ci-dessous répertorie quelques-unes des fonctions inverses.
| Fonction (opération) | Fonction inverse | Exemple |
| \(+\) | \(-\) | \N-(a+b=c\N) alors \N(a=c-b\N) |
| \(-\) | \(+\) | \N-(x-y=z) alors \N(x=z+y) |
| \N- (\N- fois \N) | \N- (\Ndiv \N) | \N-(a\Nfois b=ab\N) alors \N(ab\Ndiv b=a\N) |
| \(\div \) | \N- (\N- fois \N-) | \N-(x\Ndiv y=z\N) alors \N(x=z\Ntimes y\N) |
| Puissances | racines | \N-(a^n=b\N) alors \N(a=\sqrt[n]{b}\N) |
| racines | puissances | \N(\sqrt[y]{x}=z\N) puis \N(x=z^y\N) |
L'évaluation des formules n'est pas très différente de celle des expressions. Les formules contiennent des variables, des coefficients, des constantes et des termes. Il suffit de substituer une valeur dans une formule et d'opérer sur elles de manière arithmétique. Prenons des exemples de formules et de la façon dont elles peuvent être évaluées.
Trouve la force si la masse d'un objet est \(20\, \text{kg}\) et l'accélération est \(5\, \text{ms}^{-2}\).
Solution :
\[\text{Force}=\text{Masse}\time \text{Accélération}\]
Nous allons substituer les nombres dans l'équation.
\[\text{Force}=20\\Nfois 5\N]
\[\text{Force}=100\, \text{N}\]
Évalue le temps pris par un objet qui s'est déplacé sur \(3600\, \text{m}\) en \(2\, \text{ms}^{-1}\).
Solution :
\[\text{Time}=\frac{\text{Distance}}{\text{Speed}}\]
D'après le problème,
\[\text{Distance}=3600\, \text{m}\]
\[\text{Speed}=2\,\text{ms}^{-1}\]
Substitue les nombres dans la formule
\[\text{Time}=\frac{3600}{2}\]
\[\text{Time}=1800\, \text{seconds}\]
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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