What is Investigating Factorisation des polynômes?

Lorsqu'il s'agit de résoudre des polynômes, il est toujours pratique de les exprimer de façon plus concise. De cette façon, nous pouvons repérer les schémas qui nous permettent de résoudre facilement ces polynômes. Et si je te disais qu'il existe une astuce géniale que tu peux utiliser pour y parvenir ? C'est bien cela ! Cette astuce s'appelle la factorisation. Laisse-moi te présenter un scénario. Disons qu'on nous donne l'expression ci-dessous,

$3x{y}^2-27x^3{y}^3+15x^{2}y-9x{y}^4$

N'est-ce pas un peu long et un peu confus ? Cependant, vois-tu ce que chaque terme a en commun ? Je vais te donner un indice : chaque terme est divisible par 3, x et y. En retirant ces termes de l'expression, nous obtiendrons une expression plus courte et plus simple. Mais nous y reviendrons plus tard !

Dans cet article, nous allons explorer la factorisation des polynômes, leur définition, la façon de résoudre les équations polynomiales et des exemples d'application.

Factorisation

Commençons par la définition de la factorisation.

Il s'agit d'un sujet important lorsqu'il s'agit de polynômes complexes. Prenons l'exemple suivant :

En algèbre, factoriser un polynôme (de degré supérieur) signifie que nous réécrivons un polynôme sous la forme d'un produit de polynômes de degré inférieur. Essentiellement, ce que nous faisons ici est l'inverse de la méthode FOIL. Étant donné le produit de deux binômes (a + b)(c + d), rappelle-toi que la méthode FOIL est donnée par

Méthode FOIL, Aishah Amri - StudySmarter Originals

C'est le résultat de l'expansion du produit des deux binômes. Nous cherchons à simplifier un polynôme pour qu'il s'affiche comme un produit de ses polynômes de degré le plus bas plutôt que de le multiplier.

Avant d'aborder ce sujet, rappelons les définitions suivantes.

Pourquoi la factorisation est-elle importante ?

Dans la plupart des cas, la factorisation joue un rôle important dans la simplification d'une expression. Cela te permet de résoudre une équation particulière de manière plus efficace. De plus, la factorisation t'aidera à comprendre le comportement d'une expression polynomiale lorsqu'un graphique est nécessaire. Nous pouvons également résoudre des équations en factorisant des polynômes en identifiant leurs solutions. Voici les objectifs d'apprentissage pour cette section :

• Factoriser un polynôme
• Résoudre des équations polynomiales par factorisation

On nous présentera ici trois types de méthodes de factorisation, à savoir :

1. Le plus grand facteur commun (GCF)

2. Les trinômes quadratiques

3. Groupement

Le plus grand facteur commun

Le plus grand facteur commun (GCF) est le monôme commun le plus élevé partagé entre tous les composants d'un polynôme. Lorsque l'on factorise des polynômes, il est important de commencer par utiliser cette méthode pour éviter d'avoir affaire à des nombres plus importants.

Pour appliquer cette méthode, nous recherchons d'abord le GCF et le factorisons à partir du polynôme. Fondamentalement, nous effectuons l'inverse de la loi distributive, ou sous forme de notation :

$ab+bc=b(a+c)$

Le cas général de la factorisation des polynômes à l'aide du GCF est le suivant :

$a^3{b}^2+2a^{2}b-4a{b}^2=ab(a^{2}b+2a-4b)$

Remarque que tous les termes du côté gauche de la forme générale ci-dessus ont le facteur commun ab. Tu trouveras ci-dessous quelques exemples concrets pour illustrer cette méthode de factorisation :

Trinômes quadratiques

Un polynôme du deuxième degré est connu sous le nom de quadratique. Cela signifie que le plus grand exposant du polynôme est un 2. Généralement, ils prennent la forme d'un trinôme quadratique car il y a trois termes, c'est-à-dire :

$ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$

Pour cette méthode de factorisation, nous cherchons à factoriser les trinômes quadratiques en un produit de binômes du premier degré. Il y a cinq étapes à prendre en compte pour appliquer cette méthode :

Étape 1 : Écris une paire de parenthèses : ( ) ( ).

Étape 2: Déduis le produit du premier terme du trinôme et ajoute-le dans la parenthèse comme : $\left(ax+\square \right)\left(cx+\square \right)$

Étape 3 : Cherche les facteurs du troisième terme du trinôme. Cela doit se faire sous la forme d'une paire, comme par exemple $\left(b\right)\left(d\right)=bd$

Étape 4 : Utilise la méthode d'essai et d'erreur pour identifier la paire de facteurs qui satisfait le polynôme quadratique. En d'autres termes, trouve la paire dont la somme correspond au terme moyen du trinôme. N'oublie pas d'introduire toutes les paires possibles et tous les ordres possibles pour déterminer la bonne paire de valeurs.

Étape 5 : Une fois trouvées, ajoute ces valeurs dans la forme factorisée complète :$(ax+b)(cx+d)$

Cette forme de factorisation peut être assez longue et compliquée. Pour maîtriser cette technique, il faut beaucoup de pratique ! Une fois que tu auras assimilé la méthode des essais et des erreurs, ce sera très simple. Nous utiliserons la formule générale ci-dessous pour factoriser les trinômes quadratiques :

$ac{x}^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$

Voyons maintenant quelques exemples pratiques qui permettent d'exercer cette méthode de factorisation.

Regroupement

La méthode de regroupement est souvent utilisée lorsqu'on rencontre un polynôme à quatre termes. Cette méthode comporte trois étapes :

Étape 1 : Grouper le polynôme en deux ensembles de deux termes. Cela se fait généralement en divisant les deux premiers termes et les deux derniers termes du polynôme comme suit ,$(ax+bx)+(ay+by)$

Étape 2 : Factorise chaque groupe en utilisant la méthode de factorisation GCF : $x(a+b)+y(a+b)$

Étape 3 : Si nous trouvons un polynôme commun entre les deux groupes factorisés, appliquons à nouveau la méthode de factorisation GCF pour le factoriser : $(a+b)(x+y)$

Le cas général de la factorisation des polynômes par regroupement est le suivant :

$ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)$

Nous allons maintenant observer les exemples travaillés suivants qui emploient cette méthode de factorisation.

Groupement des polynômes à 3 termes

Le regroupement est aussi une excellente façon de factoriser les polynômes à 3 termes ! Disons qu'on nous donne l'expression ci-dessous

$a+b+c$

Ici, nous utiliserons la méthode d'essai et d'erreur pour trouver les 2 nombres qui s'ajoutent à b et se multiplient pour obtenir ac. Cela donne un polynôme à 4 termes comme ci-dessous.

$a+\underset{=b}{\underbrace{aB+cB}}+c$

Enfin, nous appliquerons la méthode de regroupement pour simplifier l'expression comme précédemment

$a(1+B)+c(1+B)=(a+c)(1+B)$

Examinons l'exemple ci-dessous.

Factorisation des polynômes de degré supérieur

Jusqu'à présent, les polynômes dont nous nous sommes occupés avaient un degré de deux. Que se passe-t-il si nous devons factoriser des polynômes d'un degré supérieur ?

Lorsque l'on s'attaque à de telles expressions, il n'existe pas de méthode particulière pour les factoriser. Cependant, nous pouvons effectivement appliquer les techniques introduites dans cette leçon. Il est utile de bien se familiariser avec ces méthodes de factorisation afin de pouvoir facilement rechercher des modèles communs lors de leur résolution. Voyons quelques exemples concrets pour le démontrer.

Résoudre des équations polynomiales

Maintenant que nous maîtrisons la factorisation des polynômes, nous pouvons passer à leur résolution ! Disons que nous avons la forme standard d'un polynôme dont l'équation est égale à zéro, comme ci-dessous :

$ac{x}^2+(ad+bc)x+bd=0$

Comme précédemment, nous savons que la forme factorisée de ce polynôme est :

$(ax+b)(cx+d)=0$

Remarque que le produit de ces deux facteurs est nul si au moins l'un des facteurs est nul, c'est-à-dire soit... $(ax+b)=0or(cx+d)=0$. C'est ce qu'on appelle la propriété du produit nul, énoncée ci-dessous :

La propriété du produit nul

Si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0 (ou à la fois a = 0, b = 0).

En appliquant cette propriété, nous pouvons résoudre la forme générale d'un polynôme factorisé comme ci-dessus, en identifiant que :

$ax+b=0\mathit{a}\mathit{n}\mathit{d}cx+d=0$

En réarrangeant cela en fonction de x, nous avons deux solutions :

$x=-\frac{b}{a}\mathit{a}\mathit{n}\mathit{d}x=-\frac{d}{c}$

Vois-tu comment la factorisation joue un rôle important dans la résolution des équations ? La résolution de l'équation via la factorisation permet d'obtenir les abscisses du graphique pour une équation donnée. Revenons aux trois derniers exemples travaillés que nous avons faits pour montrer cela.

Il est utile de noter que lorsque l'on résout des équations factorielles répétées, on n'obtient qu'une seule solution. Par exemple,