Qu'est-ce qu'une fonction de module?

Une fonction de module est une fonction qui renvoie la valeur absolue d'un nombre, éliminant ainsi tout signe négatif.

Comment résoudre une équation avec des fonctions de module?

Pour résoudre une équation avec des fonctions de module, on doit considérer les deux cas possibles pour chaque valeur absolue: une fois positive et une fois négative.

Quels sont les applications des fonctions de module en mathématiques?

Les fonctions de module sont utiles en géométrie, pour mesurer des distances, et en analyse, pour gérer des séries convergentes et d'autres applications.

What is Investigating Fonctions de module?

Q: Comment dessiner le graphique d'une fonction de module?

Pour dessiner le graphique d'une fonction de module, tracez la partie positive du graphique et reflétez-la par rapport à l'axe des ordonnées.

AI Summary

Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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Gabriel Freitas.

Quality reviewed by Gabriel Freitas.
Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

Les fonctionsa> de module (également connues sous le nom de fonctions de valeur absolue) sont représentées de manière générique sous la forme suivante $f (x) = | x |$ . Le module d'un nombre x sera un nombre de même grandeur, mais positif.

Mais quel est le raisonnement derrière cela ? C'est parce qu'il représente la distance entre zéro et un nombre x sur la ligne des nombres.

La distance de zéro à 2 est de 2, et la distance de zéro à -2 est également de 2, donc $f (2) = | 2 | = 2$ et $f (- 2) = | - 2 | = 2$

Fonctions de module Fonction de module Ligne des nombres StudySmarter Fonction module sur la ligne des nombres, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

C'est pourquoi $| x |$ représente la valeur d'un nombre x sans tenir compte de son signe.

Si tu as une expression à l'intérieur de la fonction modulus, calcule la valeur à l'intérieur, puis trouve la version positive du résultat.

Si tu as la fonction $f (x) = | x - 3 | + 1$ trouver $f (- 2)$

$f (- 2) = | - 2 - 3 | + 1$

$f (- 2) = | - 5 | + 1 = 5 + 1 = 6$

Équation des fonctions de module

L'équation d'une fonction de module est notée comme suit :

f (x) = | x | = \{\begin{cases} x i f x \geq 0 \\ - x i f x < 0 \end{cases}

Le domaine d 'une fonction modulus est l'ensemble de tous les nombres réels, et l'étendue est l'ensemble de tous les nombres réels supérieurs ou égaux à zéro. D'après l'équation, nous pouvons dire que si le nombre à l'intérieur de la fonction modulus est déjà positif, tu le laisses tel quel, mais si le nombre est négatif, le résultat sera la version positive de ce nombre (comme si tu multipliais le nombre négatif par -1).

Propriétés des fonctions de module

Les propriétés des fonctions de module sont les suivantes :

Le module ou la valeur absolue d'un nombre donnera toujours un résultat positif.

$| 4 | = 4, | - 5 | = 5$

Le module d'un nombre x donnera le même résultat que le module de -x.

$| x | = | - x | = x$

$| 4 | = | - 4 | = 4$

Le module du produit de deux valeurs a et b peut être divisé en un produit de deux valeurs de module distinctes.

$| a x b | = | a | x | b |$

$| 2 (- 3) | = | 2 | \times | - 3 | | - 6 | = 2 x 3 6 = 6$

Le module de la division de deux valeurs a et b peut être divisé en deux valeurs de module distinctes.

$| \frac{a}{b} | = \frac{| a |}{| b |}$

$| \frac{- 9}{3} | = \frac{| - 9 |}{| 3 |} | - 3 | = \frac{9}{3} 3 = 3$

Le module de la somme ou de la soustraction de deux valeurs, a et b, ne peut pas être div isé en la somme ou la soustraction de deux valeurs de module distinctes.

$| a \pm b | \neq | a | \pm | b |$

Somme:

| 1 + (- 2) | \neq | 1 | + | - 2 | | - 1 | \neq 1 + 2 1 \neq 3

Soustraction:

| 1 - (- 2) | \neq | 1 | - | - 2 | | 3 | \neq 1 - 2 3 \neq - 1

Lors de la résolution d'équations, les fonctions de module impliquent une étape supplémentaire :

En gardant à l'esprit que la valeur de x à l'intérieur d'une fonction de module peut être positive ou négative, tu dois résoudre l'équation en considérant les deux cas, tu obtiendras donc deux solutions.

Pour l'équation $| 3 x - 2 | = 4$ , nous pouvons obtenir 2 solutions possibles comme suit :

1) Solution 1 :

3 x - 2 = 4 3 x = 4 + 2 3 x = 6 x = \frac{6}{3} x = 2

2) Solution 2 :

- (3 x - 2) = 4 - 3 x + 2 = 4 - 3 x = 4 - 2 - 3 x = 2 x = \frac{- 2}{3}

Comment dessiner le graphique d'une fonction de module ?

Pour tracer le graphique d'une fonction de module, tu dois substituer les valeurs de x dans $f (x) = | x |$ pour obtenir les valeurs correspondantes de y, comme suit $y = f (x)$ . Tu obtiendras un tableau des valeurs de x et de y que tu devras tracer sur le plan de coordonnées. Nous allons substituer les valeurs de x de -2 à 2.

x	y
-2	2
-1	1
0	0
1	1
2	2

Fonctions de module Graphique de la fonction de module StudySmarter

Graphique de la fonction module, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Pour dessiner le graphique de la fonction module $y = | a x + b |$ tu dois dessiner $y = a x + b$ et refléter la partie de la ligne qui se trouve sous l'axe des x dans l'axe des x.

Dessine le graphique de $y = | x - 1 |$ en indiquant les points où ils croisent les axes de coordonnées.

En ignorant le module, tu dois dessiner le graphique de $y = x - 1$

Lorsque $y = 0$ , $x = 1$

La ligne croise l'axe des x à (1, 0)

Lorsque $x = 0$ , $y = - 1$

La ligne croise l'axe des y à (0, -1)

Esquisse le graphique de $y = x - 1$ :

Fonctions de module Fonction de module graphique exemple StudySmarter Exemple de graphique de la fonction module, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Pour les valeurs négatives de y, réfléchis dans l'axe des x. Dans ce cas, (0, -1) devient (0, 1).

Fonctions de module Fonction de module graphique exemple StudySmarter Exemple de graphique de la fonction module, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Résoudre des équations impliquant des fonctions de module

Lorsque tu as une équation comme $| 3 x - 1 | = 5$ tu peux utiliser son graphique pour t'aider à trouver sa solution en suivant les étapes suivantes :

Esquisse les graphiques des deux côtés de l'équation séparément. Dans ce cas, $y = | 3 x - 1 |$ et $y = 5$

Fonctions de module Fonction de module Résolution d'équations StudySmarter Résolution d'équations impliquant des fonctions de module, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Identifie les points d'intersection des deux graphiques. Dans ce cas, A correspond au point d'intersection entre y = 5 et la section originale du graphique de $| 3 x - 1 | = 3 x - 1$ et B représente l'intersection entre $y = 5$ et la section réfléchie du graphique de $| 3 x - 1 | = - (3 x - 1)$ .
Trouve les deux solutions :

A: $3 x - 1 = 5$

$3 x = 5 + 1$

$3 x = 6$

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

B: $- (3 x - 1) = 5$

$- 3 x + 1 = 5$

$- 3 x = 5 - 1$

$- 3 x = 4$

$x = \frac{- 4}{3}$

Résoudre des inégalités impliquant des fonctions de module

En nous basant sur l'exemple précédent, nous allons maintenant résoudre l'inégalité $| 3 x - 1 | > 5$ . Tu dois procéder de la même façon que précédemment pour trouver les valeurs de x aux points d'intersection A et B, qui sont $x = 2$ et $x = \frac{- 4}{3}$ .

Après avoir obtenu les points d'intersection, tu peux regarder le graphique pour identifier les valeurs de x qui satisfont l'inégalité $| 3 x - 1 | > 5$ .

Fonctions de module Fonction de module Résolution d'inégalités StudySmarter Résoudre des inégalités impliquant des fonctions de module, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

L'inégalité est vraie lorsque le graphique de $y = | 3 x - 1 |$ est au-dessus du graphique de $y = 5$ Cela se produit lorsque $x < \frac{- 4}{3}$ ou $x > 2$ . En notation d'ensemble : ${x : x < \frac{- 4}{3}} \cup {x : x > 2}$

Inverse d'une fonction de module

L'inverse d'une fonction de module n'est pas une fonction à moins que tu ne restreignes son domaine de façon à ce qu'elle puisse être une fonction biunivoque. Pour y parvenir, nous devons restreindre son domaine à une seule moitié du graphique. Tu peux choisir l'une ou l'autre moitié si elle n'est pas spécifiée dans la question.

Trouve l'inverse de la fonction $f (x) = | x + 1 |$

Fonctions de module Fonction de module inverse StudySmarter Inverse des fonctions de module, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Nous allons restreindre le domaine de la fonction à la seule partie réfléchie du graphique (à gauche de x = -1), que l'on peut désigner par $f (x) = - (x + 1)$ pour $x \leq - 1$ . Nous pouvons maintenant trouver l'inverse, car cette section du graphique est une fonction biunivoque.

Suis les étapes pour trouver l'inverse d'une fonction :

Remplace f (x) par y

$f (x) = - (x + 1)$

$y = - (x + 1)$

Intervertis x et y, et résous pour y

x = - (y + 1)

$x = - y - 1$

$y = - x - 1$

$f^{- 1} (x) = - x - 1$ Il s'agit de la fonction inverse de $f (x) = | x + 1 |$

Le domaine de la fonction inverse est l'étendue de la fonction originale, c'est-à-dire $y \geq 0$ . Par conséquent, le domaine de la fonction inverse $f^{- 1} (x) = - x - 1$ est $x \geq 0$ .

Comment différencier une fonction de module ?

Pour trouver la dérivée de la fonction module, nous devons à nouveau examiner l'équation d'une fonction module :

f (x) = | x | = \{\begin{cases} x i f x \geq 0 \\ - x i f x < 0 \end{cases}

Nous savons que $\frac{d}{d x} x = 1$ Par conséquent, nous pouvons dire ce qui suit :

\frac{d}{d x} (| x |) = \{\begin{cases} 1 & i f x > 0 \\ - 1 & i f x < 0 \\ N o t d e f i n e d & i f x = 0 \end{cases}

En général, $\frac{d}{d x} (| x |) = \frac{x}{| x |}$ pour toutes les valeurs de x à l'exception de $x = 0$

Si nous remplaçons certaines valeurs de x dans l'équation précédente, alors nous pouvons voir que les affirmations de la fonction par morceaux ci-dessus sont vraies :

$\frac{d}{d x} (| - 1 |) = \frac{- 1}{| - 1 |} = \frac{- 1}{1} = - 1$

$\frac{d}{d x} (| 0 |) = \frac{0}{| 0 |} = \frac{0}{0} = u n d e f i n e d$

$\frac{d}{d x} (| 1 |) = \frac{1}{| 1 |} = \frac{1}{1} = 1$

Comment intégrer une fonction de module ?

Pour trouver l'intégrale d'une fonction de module, nous pouvons procéder comme suit :

Nous savons que la fonction module est définie comme suit,

f (x) = | x | = \{\begin{cases} x i f x \geq 0 \\ - x i f x < 0 \end{cases}

Par conséquent, nous devons calculer les intégrales pour x et -x.

Rappelle-toi que x a un exposant de 1 ( $x = x^{1}$
)

\int | x | d x = \{\begin{cases} \int x^{1} d x & i f x \geq 0 \\ \int - x^{1} d x & i f x < 0 \end{cases}

En utilisant la formule d'intégration : $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + c$

\int | x | d x = \{\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} + c & i f x \geq 0 \\ - (\frac{1}{2} x^{2}) + c & i f x < 0 \end{cases}

Fonctions de modulus - Points clés à retenir

Le module d'un nombre x sera le même nombre, mais positif.
Le module d'un nombre x représente la distance entre zéro et ce nombre x sur la droite numérique.
Pour tracer le graphique de la fonction module $y = | a x + b |$ tu dois dessiner $y = a x + b$ et refléter la partie de la ligne qui se trouve en dessous de l'axe des x dans l'axe des x.
L'esquisse des graphiques d'équations ou d'inéquations impliquant des fonctions de module peut aider à les résoudre, en trouvant les coordonnées x des points d'intersection des deux graphiques.
L'inverse d'une fonction de module n'est pas une fonction, à moins que tu ne restreignes son domaine à une seule moitié du graphique, de sorte qu'il puisse s'agir d'une fonction biunivoque.
Lorsque tu trouves la dérivée et l'intégrale d'une fonction de module, il y a deux solutions possibles, si l'on tient compte du fait que $f (x) = | x | = x$ (pour $x \geq 0$ ) et quand $f (x) = | x | = - x$ (pour $x < 0$ ).

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Gabriel Freitas

AI Engineer at StudySmarter

Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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