Fonctions trigonométriques d'angles généraux

Qu'est-ce qu'un angle général ?

Commençons ce sujet en introduisant la définition d'un angle ci-dessous.

Ce point est appelé le sommet de l'angle. La taille du sommet varie en fonction de la largeur ou de l'étroitesse de l'intersection des deux rayons à leur extrémité commune.

Dans un système de coordonnées cartésiennes, nous désignons un angle par \(\theta\). Si le sommet de \(\theta\) est situé à l'origine O et que son côté initial (premier rayon) se trouve sur l'axe x positif, alors \(\theta\) se trouve dans la position standard. Le deuxième rayon de l'angle est appelé le côté terminal.

La position standard d'un angle, StudySmarter Originals

Les quatre quadrants

Le plan de coordonnées cartésiennes est divisé en 4 quarts appelés quadrants. Ces quatre quadrants sont énumérés ci-dessous.

• QuadrantI : quadrant supérieur droit composé des axes positifs \(x\) et \(y\).

• QuadrantII : quadrant supérieur gauche composé de l'axe négatif \(x) et de l'axe positif \(y).

• QuadrantIII : quadrant inférieur gauche composé de l'axe négatif \(x\) et de l'axe positif \(y\).

• QuadrantIV : quadrant inférieur droit composé de l'axe positif \(x\) et de l'axe négatif \(y\).

Les quatre quadrants, StudySmarter Originals

Si le côté terminal d'un angle tombe dans un quadrant spécifique alors que l'angle est dans sa position standard, on dit que l'angle est dans ce quadrant. Voici un exemple d'angle dans chaque quadrant.

Si le côté terminal d'un angle (en position standard) se trouve le long de l'axe \(x\) ou de l'axe \(y\), alors l'angle est appelé un quadrant. En d'autres termes, un angle est dit quadrantal s'il est égal à un multiple entier de ^90o (ou 2π radians). ^-360o, ^-270o, ^-180o, ^-90o, ^0o, ^90o, ^180o, ^270o et 360o^sont tous^des angles quadrantaux. En gardant cela à l'esprit, définissons enfin un angle général de la façon suivante.

L'angle de référence

L'angle de référence est toujours positif. La taille de l'angle de référence dépend de l'angle standard donné et du quadrant sur lequel il se trouve.

Le diagramme ci-dessous montre comment tu peux résoudre l'angle de référence dans chaque quadrant. Désignons l'angle de référence par r et l'angle donné par \(\theta\).

Angle de référence pour chaque quadrant, StudySmarter Originals

L'angle de référence est généralement utilisé pour trouver le sinus et le cosinus de l'angle standard. Il est utilisé pour simplifier les calculs trigonométriques lorsqu'un angle donné est grand ou de valeur négative. Tu l'observeras dans la section suivante. Les angles de référence peuvent également être utilisés pour trouver les coordonnées d'un point sur un cercle (unitaire).

Le cercle des unités

Le cercle unité est un cercle de rayon 1, construit sur un plan cartésien et centré sur l'origine. Le cercle unité est utilisé pour décrire les relations trigonométriques (telles que le sinus, le cosinus et la tangente) d'un triangle droit en reliant les mesures de ses angles et de ses côtés les unes aux autres. Tu trouveras ci-dessous une représentation graphique d'un cercle unitaire.

Cercle unitaire, StudySmarter Originals

Lecture du cercle des unités

Étiquetons maintenant quelques angles notables correspondant aux coordonnées du cercle unitaire pour faciliter ta représentation visuelle. N'oublie pas que tu dois considérer les quatre quadrants de ce plan.

Lire le cercle des unités, StudySmarter Originals

Les coordonnées \(x\) et \(y\) entourant ce cercle unitaire nous donnent la valeur de chaque angle que tu veux obtenir en fonction de la fonction trigonométrique donnée.

À première vue, cela peut sembler plutôt intimidant, ce qui t'a probablement découragé de mémoriser le contenu de ce cercle unitaire. Mais ne crains rien !

Il te suffit en fait de te souvenir des valeurs de 2 quadrants, les quadrants 1 et 2, de 0 à π. Remarque que les quadrants 3 et 4 sont des réflexions des quadrants 1 et 2 autour de l'axe \(x\). Cela signifie que les coordonnées \(y\)des quadrants 3 et 4 sont les valeurs réciproques des coordonnées \(y\)des quadrants 1 et 2.

Définitions du sinus, du cosinus et de la tangente dans le cercle des unités

Passons maintenant à la lecture de ce cercle unitaire. Les coordonnées sur ce cercle unitaire se lisent comme suit

\((x, y) = (cos θ, sin θ)\)

puisque \(x = cos θ\) et \(y = sin θ\). Reporte-toi au diagramme initial d'un cercle unitaire et rappelle-toi le rapport des sinus et des cosinus pour déterminer cela. En gardant cela à l'esprit, pour un angle \(θ\), tu peux trouver la valeur de \(sin θ\) et \(cos θ\) simplement en regardant les coordonnées correspondantes de \(x\) et \(y\), respectivement.

Qu'en est-il de \(tan θ\) ? Dans ce cas, tu utilises simplement le rapport de tangente pour résoudre ce problème. En te rappelant que \(tan\theta=\frac{y}{x}\), tu obtiens

où les valeurs de \(sin θ\) et \(cos θ\) peuvent être obtenues par l'intermédiaire du cercle unitaire.

Exemples utilisant le cercle unitaire

Voyons maintenant quelques exemples qui utilisent le cercle unitaire.

Que sont les fonctions trigonométriques ?

Les fonctions trigonométriques relient les mesures des angles et les rapports trigonométriques d'un triangle rectangle. Les fonctions trigonométriques les plus courantes sont le sinus, le cosinus et la tangente. Cependant, il existe des fonctions trigonométriques réciproques, telles que la cosécante, la sécante et la cotangente, ainsi que des fonctions de rapports trigonométriques inverses , telles que l'arcsinus, l'arccosinus et l'arctangent.

Récapitulation : Les rapports trigonométriques

Avant de poursuivre notre sujet principal, il peut être utile de rappeler les rapports trigonométriques mentionnés ci-dessus. Ces rapports sont dérivés d'un triangle à angle droit, comme indiqué ci-dessous.

Triangle à angle droit, StudySmarter Originals

Les trois côtés de ce triangle sont désignés comme étant l'opposé, l'adjacent et l'hypoténuse avec l'angle θ. Pour te souvenir des rapports du sinus, du cosinus et de la tangente, il te suffit d'utiliser l'acronyme : SOH CAH TOA. Ce moyen mnémotechnique est équivalent aux valeurs ci-dessous.

Rapports trigonométriques, StudySmarter Originals

Une discussion plus détaillée sur ce sujet peut être trouvée ici : Triangle Trigonométrie.

Angles spéciaux

Les anglesspéciaux sont les angles les plus couramment utilisés lorsqu'il s'agit de fonctions trigonométriques. Il existe 8 mesures d'angles spéciaux à prendre en compte, à savoir ^0o, ^30o, ^45o, ^60o, ^90o, ^180o, ^270o et ^360o. L'unité de mesure utilisée ici s'appelle le degré. Tu peux aussi définir ces angles sous la forme d'un rapport appelé radian.

Degrés et radian

Il y a deux façons de représenter les angles :

1. les degrés (comme mentionné ci-dessus)

2. Radian

Mesurer un angle en degrés est la façon la plus courante de désigner un angle. En revanche, les radians utilisent le concept de cercle pour représenter un angle. Disons que tu as un cercle dont l'angle est égal à 1 radian (voir le diagramme ci-dessous).

Radian, StudySmarter Originals

Le cercle ci-dessus décrit un arc égal à la longueur du rayon. Cela s'explique par le fait que la longueur d'un cercle complet est de 2πr. En d'autres termes, ce cercle contient 2π radians. Alors, comment relier le degré et le radian d'un angle l'un à l'autre ? Voici une formule générale que tu peux utiliser pour convertir un angle en degrés en radians et vice versa.

En gardant cela à l'esprit, le tableau ci-dessous indique les valeurs de nos angles spéciaux mentionnés en degrés et en radians.

Fonctions trigonométriques des angles spéciaux

Maintenant que nous avons établi notre série d'angles spéciaux, tu peux utiliser le cercle unitaire pour déduire les valeurs des fonctions trigonométriques de ces angles. C'est ce que montre le tableau ci-dessous.

Les fonctions trigonométriques et leurs propriétés

Dans cette section, tu vas examiner les propriétés graphiques des trois principales fonctions trigonométriques : Sinus, Cosinus et Tangente. Tu peux utiliser le cercle des unités pour tracer chaque graphique.

Le graphique du sinus

Commençons par la fonction sinus. Représentons maintenant ces valeurs sur le plan cartésien (remarque que nous ne considérons ici que les valeurs positives de \(x\)-). Il peut être utile d'écrire l'axe \(x\)- sous forme de radians ici.

Fonction sinus, StudySmarter Originals

Étendons maintenant ce graphique et considérons les valeurs négatives de \(x\)-.

Graphique de la fonction sinus étendue, StudySmarter Originals

Propriétés de la fonction sinusoïdale

À partir de là, tu peux déduire les principales caractéristiques suivantes d'un graphique sinusoïdal.

• Le graphique du sinus se répète après une période de \(2\pi\) (ou ^360o). Cela signifie que la fonction est périodique avec une période de \(2\pi\).

• Le graphique du sinus est symétrique par rapport à l'origine, ce qui en fait une fonction impaire.

• La valeur minimale de la fonction sinus est -1. La fonction sinus atteint sa valeur minimale à \(\frac{3\pi}{2}\) et à chaque \(2\pi\) avant et après cela.

• La valeur maximale de la fonction sinus est 1. La fonction sinus atteint sa valeur maximale à \(\frac{\pi}{2}\) et à chaque \(2\pi\) avant et après cela.

• Le domaine de la fonction sinus est l'ensemble de tous les nombres réels, (-∞, ∞).

• L'étendue de la fonction sinus est [-1, 1].

• Le graphique du sinus croise l'axe \(x\) à chaque multiple de \(\pi\). Ce sont les zéros de la fonction où \(\sin{\theta}=0\).

• La fonction sinus est positive dans les quadrants I et II et négative dans les quadrants III et IV.

  Le point ci-dessus traite du signe d'une fonction trigonométrique particulière. Pour la fonction sinus, elle est positive pour tout [kπ, 2kπ] et négative pour tout [2kπ, 3kπ], où k est un nombre entier. Tu peux appliquer la même idée aux fonctions cosinus et tangente ci-dessous.

Un autre nom pour la fonction sinus est la courbe sinusoïdale.

Le graphique du cosinus

Passons maintenant à la fonction cosinus. Nous allons maintenant tracer ces valeurs sur le plan cartésien (remarque que nous ne considérons ici que les valeurs positives de \(x\)-). Il peut être utile d'écrire l'axe \(x\)- sous forme de radians ici.

Fonction cosinus, StudySmarter Originals

Étendons maintenant ce graphique et considérons les valeurs négatives de \(x\)-.

Fonction cosinus étendue, StudySmarter Originals

Propriétés de la fonction cosinus

En observant ce graphique, tu peux déterminer les principales caractéristiques de la fonction cosinus comme ci-dessous.

• Le graphique du cosinus se répète après une période de \(2\pi\) (ou ^360o). Cela signifie que la fonction est périodique avec une période de \(2\pi\).

• Le graphique du cosinus est symétrique par rapport à l'axe des y, ce qui en fait une fonction paire.

• La valeur minimale de la fonction cosinus est -1. La fonction cosinus atteint sa valeur minimale à \(\pi\N) et à chaque \(2\pi\N) avant et après cela.

• La valeur maximale de la fonction cosinus est 1. La fonction cosinus atteint sa valeur maximale à 0 et tous les \(2\pi\) avant et après cela.

• Le domaine de la fonction cosinus est l'ensemble de tous les nombres réels, (-∞, ∞).

• L'étendue de la fonction cosinus est [-1, 1].

• Le graphique du cosinus croise l'axe \(x\) à chaque multiple de \(\frac{\pi}{2}\). Ce sont les zéros de la fonction où \(\cos{\theta}=0\).

• La fonction cosinus est positive dans les quadrants I et IV et négative dans les quadrants II et III.

Le graphique de la tangente

Enfin, tu vas examiner la fonction tangente. Comme précédemment, tu traceras ce graphique comme ci-dessous.

Graphique de la tangente, StudySmarter Originals

Une fois de plus, tu vas étendre le graphique et prendre en compte les valeurs négatives de \(x\). Remarque que les asymptotes sont très proches des lignes pointillées bleues, mais qu'elles ne se touchent jamais.

Graphique de la tangente étendue, StudySmarter Originals

Propriétés de la fonction tangente

Tu peux donc déduire les principales caractéristiques de la fonction tangente comme suit.

• Le graphique de la tangente se répète après une période de \(\pi\) (ou ^180o). Cela signifie que la fonction est périodique avec une période de \(\pi\).

• Le graphique des tangentes n'a pas de valeur minimale ou maximale en raison de la présence des asymptotes.

• Le graphique des tangentes a des asymptotes, qui sont des valeurs que la fonction rapprochera de l'infini.

• Les asymptotes se trouvent à \(\frac{\pi}{2}\) et à chaque \(\pi\) avant et après cela (c'est là que le graphique tend vers l'infini aux deux extrémités).

• Le graphique des tangentes croise l'axe \(x\) à chaque multiple de \(\pi\). Ce sont les zéros de la fonction où \(\tan{\theta}=0\).

• Le domaine de la fonction tangente est l'ensemble de tous les nombres réels à l'exception des valeurs où cos(x) est égal à 0, c'est-à-dire les valeurs \(frac{\pi}{2}+\pi n\), pour tous les entiers n.

• L'étendue de la fonction tangente est l'ensemble des nombres réels.

• La fonction tangente est positive dans les quadrants I et III et négative dans les quadrants II et IV.