What is Investigating Formules de somme et de différence d'angles?

Lors d'un cours de trigonométrie, notre professeur de mathématiques a dit que la somme de 30° et 40° donnerait 70° mais que la somme de sin30°et sin40° ne donnerait pas sin70°, ce qui a provoqué un certain émoi dans la classe . Comment additionner et soustraire les sinus et les cosinus des angles? Ci-après, tout ce que tu dois savoir sur ces opérations te sera expliqué.

Qu'est-ce que la formule de la somme et de la différence des angles en trigonométrie ?

Contrairement aux opérations arithmétiques normales, l'addition et la soustraction des fonctions trigonométriques ont une approche différente. Par exemple, cos (45° -15°) n'est pas la même chose que cos45° - cos15°. Cela devient plus difficile lorsque des fonctions trigonométriques sont impliquées dans de telles opérations arithmétiques. Il faut donc trouver des formules pour résoudre ce problème.

Connaître les fonctions trigonométriques des angles spéciaux tels que les sinus, les cosinus et les tangentes de 30, 45, 60 et 90 degrés signifie que l'addition ou la soustraction de ces angles peut donner d'autres angles. Par exemple, sin15° peut être dérivé, puisque sin15° est identique à sin(45-30)° . Par la suite, nous déduirons des formules pour résoudre ces opérations.

Démonstration de la somme et de la différence des fonctions cosinus

Différence des fonctions cosinus

Considère la figure ci-dessous :

Figure 1 : Une image montrant l'utilisation de la position standard d'un cercle unitaire pour prouver la différence des fonctions cosinus, - StudySmarter Originals

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

Où dans le point P, $(x_2,y_2)$ est$(\cos a,\sin a)$ et au point Q, $(x_1,y_1)$ est$(\cos b,\sin b)$. Ainsi, le point P est et le point Q est .

$$\begin{gathered} PQ=\sqrt{(cosa-cosb{)}^2+(sina-sinb{)}^2} \\ P{Q}^2=(cosa-cosb{)}^2+(sina-sinb{)}^2 \\ P{Q}^2=co{s}^{2}a-2cosacosb+co{s}^{2}b+si{n}^{2}a-2sinasinb+si{n}^{2}b \end{gathered}$$

Réarrange l'équation

$P{Q}^2=co{s}^{2}a+si{n}^{2}a+co{s}^{2}b+si{n}^{2}b-2cosacosb-2sinasinb$

Rappelle-toi :

$co{s}^2\theta +si{n}^2\theta =1;so,co{s}^{2}a+{\sin }^{2}a=1andsi{n}^{2}b+{\cos }^{2}b=1$

$$\begin{gathered} P{Q}^2=1+1-2cosacosb-2sinasinb \\ P{Q}^2=2-2cosacosb-2sinasinb \end{gathered}$$

Si l'angle ( a-b) était replacé dans la position standard d'un cercle unitaire allant de l'origine O au point S dans la figure ci-dessous

Figure 2 : Une image de l'angle (a-b) en train d'être retracé, - StudySmarter Originals

Utilisation

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$

Où le point S est $(x_2,y_2)$ et N est $(x_1,y_1)$alors

$$\begin{gathered} SN=\sqrt{(\cos {(a-b)-1)}^2+(\sin {(a-b)-0)}^2} \\ S{N}^2=(\cos {(a-b)-1)}^2+(\sin {(a-b)-0)}^2 \\ S{N}^2={\cos }^2(a-b)-2\cos (a-b)+1+{\sin }^2(a-b) \end{gathered}$$

Réarrange et rapproche les termes similaires

$S{N}^2={\cos }^2(a-b)+{\sin }^2(a-b)-2\cos (a-b)+1$

Rappelle-toi que

$co{s}^2\theta +si{n}^2\theta =1;so,co{s}^2(a-b)+{\sin }^2(a-b)=1$

alors ;

$$\begin{gathered} S{N}^2=1-2\cos (a-b)+1 \\ S{N}^2=2-2\cos (a-b) \end{gathered}$$

Rappelle-toi que

$PQ=SN$

alors

$P{Q}^2=S{N}^2$

Ainsi

$2-2\cos (a-b)=2-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b$

Résous l'algèbre en soustrayant 2 des deux côtés de l'équation.

$-2\cos (a-b)=-2\cos a\cos b-2\sin a\sin b$

Divise les deux côtés par -2 des deux côtés

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

Somme des fonctions cosinus

$cos(a+b)=\cos (a-(-b\left)\right)$

Ainsi, remplace la valeur de b par -b dans l'équation.

Note que

$\cos (-b)=\cos b$

et

$\sin (-b)=-\sin b$

donc

$$\begin{gathered} \cos (a+b)=\cos a\cos (-b)+\sin a\sin (-b) \\ \cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \end{gathered}$$

Démonstration de la somme et de la différence des fonctions sinusoïdales

Somme des fonctions sinusoïdales

Dessine un triangle rectangle ABC comme indiqué ci-dessous.

Une image d'un triangle droit, - StudySmarter Originals

Trace une autre ligne coupant A et touchant la ligne BC en D, de telle sorte que l'angle BAD soit β et l'angle DAC soit α, comme on le voit ci-dessous.

Trace une ligne perpendiculaire au point D qui touche la ligne AB en E comme indiqué ci-dessous.

Trace une ligne à partir du point E qui est perpendiculaire à la ligne AC, coupe la ligne AD en F et rencontre la ligne AC en G comme indiqué ci-dessous.

Trace une ligne allant du point D au point H sur la ligne EG qui est perpendiculaire à la ligne EG comme indiqué ci-dessous.

Note que pour chaque étape ci-après, tu dois te référer à la figure ci-dessus.

Par conséquent

Utilisation de SOHCAHTOA

$\sin (\alpha +\beta )=\frac{EG}{AE}$

Note que la ligne EG = EH + HG, donc

$$\begin{gathered} \sin (\alpha +\beta )=\frac{EH+HG}{AE} \\ \sin (\alpha +\beta )=\frac{EH}{AE}+\frac{HG}{AE} \end{gathered}$$

Rappelle ;

$HG=DC$

Ainsi

$\sin (\alpha +\beta )=\frac{EH}{AE}+\frac{DC}{AE}$

Vois que

$\angle DAC=\angle FDH$

Note ci-dessous

$\angle DAC=\angle FDH=\alpha$

Rappelle-toi que la ligne AD est perpendiculaire à la ligne ED. Par conséquent

$\angle HDE=90°-\alpha$

Sachant que

$\angle EHD=90°$

donc

$\angle HED+90°+90°-\alpha =180°$

$\angle HED+180°-180°=\alpha$

$\angle HED=\alpha$

En regardant leurs angles, cela signifie que les triangles ADC et EDH sont similaires. voir ci-dessous

Une image qui prouve la somme des sinus des angles, StudySmarter Originals

À partir du triangle rectangle EDH

$$\begin{gathered} \cos \alpha =\frac{EH}{ED} \\ EH=ED\cos \alpha \end{gathered}$$

Rappelle-toi que

$\sin (\alpha +\beta )=\frac{EH}{AE}+\frac{DC}{AE}$

Substitue la valeur de EH

$$\begin{gathered} \sin (\alpha +\beta )=\frac{ED\cos \alpha }{AE}+\frac{DC}{AE} \\ \sin (\alpha +\beta )=(\frac{ED}{AE}\times \cos \alpha )+\frac{DC}{AE} \end{gathered}$$

En attendant, à partir du triangle rectangle AED, en utilisant SOHCAHTOA

$\sin \beta =\frac{ED}{AE}$

Substitue la valeur de $\frac{ED}{AE}$ dans l'équation

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \beta \cos \alpha +\frac{DC}{AE}$

A partir du triangle rectangle ADC, à l'aide de SOHCAHTOA

$$\begin{gathered} \sin \alpha =\frac{DC}{AD} \\ DC=AD\sin \alpha \end{gathered}$$

Substitue la valeur de DC dans l'équation

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \beta \cos \alpha +\frac{AD\sin \alpha }{AE}$

Regarde le triangle rectangle AED et utilise SOHCAHTOA

$\cos \beta =\frac{AD}{AE}$

Substitue la valeur de$\frac{AD}{AE}$ dans l'équation

$$\begin{gathered} \sin (\alpha +\beta )=\sin \beta \cos \alpha +\cos \beta \sin \alpha \\ \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha \end{gathered}$$

Différence de ses fonctions

Sachant que

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha$

Ainsi $\sin (\alpha -\beta )$ peut être dérivé en échangeant β avec -β tout au long de l'équation.

Par conséquent

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos (-\beta )+\sin (-\beta )\cos \alpha$

Note que

$\cos (-\beta )=\cos \beta$

et

$\sin (-\beta )=-\sin \beta$

donc

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha$

Démonstration de la somme et de la différence des fonctions tangentes

Somme des fonctions tangentes

Rappelle-toi que

$\tan \varnothing =\frac{\sin \varnothing }{\cos \varnothing }$

Par conséquent

$\tan (A+B)=\frac{\sin (A+B)}{\cos (A+B)}$

Par conséquent

$\tan (A+B)=\frac{\sin A\cos B+\sin B\cos A}{\cos A\cos B-\sin A\sin B}$

Divise chaque entité du côté droit de l'équation par cosAcosB

$$\begin{gathered} \tan (A+B)=\frac{{\displaystyle \frac{\sin A\cos B}{\cos A\cos B}}+{\displaystyle \frac{\sin B\cos A}{\cos A\cos B}}}{{\displaystyle \frac{\cos A\cos B}{\cos A\cos B}}-{\displaystyle \frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}}} \\ \tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} \end{gathered}$$

Différence des fonctions tangentes

Rappelle-toi que

$\tan \varnothing =\frac{\sin \varnothing }{\cos \varnothing }$

Par conséquent

$\tan (A-B)=\frac{\sin (A-B)}{\cos (A-B)}$

Ainsi

$\tan (A-B)=\frac{\sin A\cos B-\sin B\cos A}{\cos A\cos B+\sin A\sin B}$

Divise chaque entité du côté droit de l'équation par cosAcosB

$$\begin{gathered} \tan (A-B)=\frac{{\displaystyle \frac{\sin A\cos B}{\cos A\cos B}-\frac{\sin B\cos A}{\cos A\cos B}}}{{\displaystyle \frac{\cos A\cos B}{\cos A\cos B}+\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}}} \\ \tan (A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B} \end{gathered}$$

Application de la somme et de la différence des formules

Tu verras ci-dessous comment appliquer les formules de somme et de différence.