Qu'est-ce qu'une fraction en mathématiques?

Une fraction représente une partie d'un tout, exprimée comme un rapport de deux nombres: le numérateur et le dénominateur.

Comment simplifier une fraction?

Pour simplifier une fraction, divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

Comment additionner des fractions?

Pour additionner des fractions, rendez les dénominateurs identiques puis additionnez les numérateurs.

Comment convertir une fraction en nombre décimal?

Pour convertir une fraction en nombre décimal, divisez le numérateur par le dénominateur.

What is Investigating Fractions?

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Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

Sais-tu que le Royaume-Uni est divisé en quatre grandes régions, ce qui signifie que chaque région est une fraction du Royaume-Uni ?

Dans cet article, nous te présentons la définition des fractions, les types de fractions ainsi que les opérations arithmétiques sur les fractions.

Définition des fractions

Une fraction est définie comme une partie ou une portion d'un tout. Ce tout peut être n'importe quoi, y compris une fraction, mais pas zéro.

L'idée des fractions est fortement liée à l'opération de division parce qu'en fait, les fractions sont formées lorsque tu essaies de partager quelque chose.

Imagine une boîte de pizza livrée sur le pas de ta porte et que tu veuilles la partager avec ton ami, tu devras la partager (la diviser) en deux parties. Chacun d'entre vous aura alors la moitié de la pizza, ce qui s'exprime par , $\frac{1}{2}$

Maintenant, si tu as l'intention de te tailler la part du lion en la divisant en 4 parties et en donnant seulement 1 des 4 parties à ton ami, alors tu auras donné 1 partie sur 4 parties, ce qui s'exprime par ,

$\frac{1}{4}$ .

Cependant, tu as en fait pris 3 des 4 parties, ce qui s'exprime par ,

$\frac{3}{4}$

Tu trouveras ci-dessous une figure pour une meilleure illustration,

$Fractions Illustration d'une fraction par le partage d'un tout StudySmarter$ Illustration d'une fraction par le partage d'un tout- StudySmarter Originals

Composantes d'une fraction

Une fraction est composée essentiellement de trois éléments, le numérateur, le signe supérieur, et le dénominateur.

Numérateur

Le numérateur est le nombre ou l'expression qui se trouve au-dessus du signe supérieur.

Par exemple, dans la fraction $\frac{2}{3}$ 2 est le numérateur.

Le signe supérieur

Le signe supérieur ( $\frac{}{}$ ) sépare le numérateur du dénominateur, comme dans la fraction suivante $\frac{2}{3}$ .

Dénominateur

Le dénominateur est le nombre ou l'expression qui se trouve en dessous du signe plus.

Par exemple, dans la fraction $\frac{2}{3}$ 3 est le dénominateur.

$Fractions Illustration des composants d'une fraction StudySmarter$ Illustration des composantes d'une fraction - StudySmarter Originals

Types de fractions

Il existe trois types de fractions,

Fraction correcte
Fraction incorrecte

Fraction mixte

Fraction propre

Une fraction propre est une fraction dont le numérateur est inférieur au dénominateur.

Dans la fraction $\frac{3}{5}$ 3 étant le numérateur est inférieur au dénominateur 5.

D'autres fractions propres sont $\frac{1}{5}, \frac{4}{7}, \frac{6}{11}$ etc.

Fraction impropre

Une fraction impropre est une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur.

Dans la fraction $\frac{7}{6}$ 7 étant le numérateur est plus grand que le dénominateur 6.

D'autres fractions impropres sont $\frac{8}{3}, \frac{11}{2}, \frac{5}{3}$ etc.

Fraction mixte

Une fraction mixte est composée d'un nombre entier et d'une fraction propre.

La fraction mixte $1 \frac{2}{3}$ est composée de

1 comme nombre entier,

2 comme numérateur de la fraction propre de la fraction mixte, et

3 comme dénominateur de la fraction propre de la fraction mixte.

Voici d'autres exemples, $2 \frac{1}{5}, 4 \frac{2}{7}, 5 \frac{3}{8}$ etc.

Conversion entre fractions impropres et fractions mixtes

Les fractions impropres peuvent être converties en fractions mixtes, de même que les fractions mixtes peuvent être converties en fractions impropres.

Comment convertir des fractions impropres en fractions mixtes ?

Nous rappelons qu'une fraction impropre a son numérateur plus grand que son dénominateur. Cela signifie que le numérateur est divisible par le dénominateur mais avec un reste. Pour convertir une fraction impropre en fraction mixte, nous suivons les étapes suivantes,

Divise le numérateur par le dénominateur.
Mets le nombre entier sur le côté gauche.
Place ton reste comme nouveau numérateur à droite du nombre entier.
Conserve ton ancien dénominateur.

Convertir $\frac{7}{3}$ en fraction mixte.

Solution

$\frac{7}{3} = 7 \div 3$

Le quotient de la division de 7 par 3 est 2, et le reste est 1.

Ainsi, 2 est ton nombre entier qui reste du côté gauche et 1 est le reste qui devient ton nouveau numérateur et 3 est ton dénominateur qui reste inchangé.

Ainsi,

$\frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$

Comment convertir des fractions mixtes en fractions impropres ?

Pour convertir une fraction mixte en fraction impropre, suis les étapes suivantes,

Trouve le produit entre le dénominateur et le nombre entier.
Trouve la somme du numérateur et de ton produit.
Ta somme devient le nouveau numérateur.
Ton dénominateur reste le même.

Convertir $2 \frac{1}{3}$ en fraction impropre.

Solution

Tout d'abord, nous trouvons le produit entre le dénominateur qui est 3, et le nombre entier qui est 2, donc,

$3 \times 2 = 6$ .

Ensuite, nous trouvons la somme entre le numérateur qui est 1 et le produit trouvé à la première étape qui est 6, donc .

$1 + 6 = 7$

Maintenant, ta somme est 7, le nouveau numérateur est donc 7, et le dénominateur qui est 3 reste le même. Par conséquent,

$2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ .

Equivalent fractions

Les fractions équivalentes sont desfractions qui représentent la même valeur, même si elles ont l'air différentes.

Elles diffèrent par un facteur de multiplication ou par l'expression des types de fractions.

Avoir 3 parts de gâteau sur un total de 6 parts revient à avoir la moitié du gâteau.

En quoi les fractions équivalentes diffèrent-elles par un facteur de multiplication ?

Les fractions équivalentes peuvent différer par un facteur multiplicatif lorsqu'une fraction est un multiple de l'autre fraction. Note que le facteur de multiplication (multiplicateur) affecte à la fois le numérateur et le dénominateur.

Lesfractions $\frac{3}{5}$ et $\frac{6}{10}$ sont équivalentes mais diffèrent par un facteur multiplicatif, 2.

En effet ,

$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}$

De même, nous avons

$\frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$

Par conséquent, la meilleure façon de savoir si deux fractions sont équivalentes, mais diffèrent par un facteur multiplicatif, est de simplifier ces fractions en les ramenant aux formes indivisibles les plus simples.

En quoi les fractions équivalentes diffèrent-elles par l'expression du type de fraction ?

Les fractions équivalentes peuvent différer selon le type de fraction, ce qui n'arrive qu'entre une fraction mixte et une fraction impropre.

Rappelle-toi qu'une fraction mixte peut être convertie en fraction impropre et vice versa.

Apparemment, les deux fractions sont identiques mais ne sont distinctes qu'en raison de leur type de fraction.

$2 \frac{1}{5}$ est identique à $\frac{11}{5}$ La seule différence est que $2 \frac{1}{5}$ est une fraction mixte alors que $\frac{11}{5}$ est une fraction impropre.

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire des fractions, nous suivons les étapes suivantes,

Si des nombres entiers sont déjà présents, additionne/soustrait et garde-les de côté (côté gauche) parce que nous ajouterons ces nombres entiers à notre résultat par la suite.
Nous devons trouver le plus petit dénominateur commun (PDC) entre les dénominateurs des fractions.
Utilise le plus petit dénominateur commun comme nouveau dénominateur général.
Divise le nouveau dénominateur par l'ancien dénominateur et multiplie le résultat par le numérateur respectif.
Calcule notre résultat. Note que lorsque tu effectues une soustraction, la première valeur (gauche) peut être inférieure à notre deuxième valeur (droite). Dans ce cas, soustrais 1 au nombre entier que nous avons gardé de côté. Ce 1 devient la valeur de ton dénominateur une fois que nous l'avons mis dans l'expression. Ajoute la valeur du dénominateur à la première valeur pour obtenir un nombre plus grand que notre deuxième valeur avant de procéder à la soustraction.
Nous pouvons simplifier s'il existe un facteur commun entre le nouveau numérateur et le nouveau dénominateur.
Si des nombres entiers étaient présents initialement, nous les ajoutons à notre résultat.

Note que les étapes ci-dessus doivent également être suivies lors de l'addition et de la soustraction ainsi que lors des opérations impliquant la multiplication et la division de fractions mixtes.

Calcule ce qui suit

$\frac{4}{5} + \frac{1}{3}$

Solution

Étape 1.

Nous constatons qu'il n'y a pas de nombre entier.

Étape 2.

L'ACL entre 5 et 3 est 15, donc 15 est le nouveau dénominateur général.

Étape 3.

Nous divisons le nouveau dénominateur par l'ancien dénominateur et nous multiplions le résultat par le numérateur correspondant. Nous avons donc

$\frac{4}{5} + \frac{1}{3} = \frac{15 (\frac{4}{5}) + 15 (\frac{1}{3})}{15} = \frac{^{3} 15 (\frac{4}{5}) +^{5} 15 (\frac{1}{3})}{15}$

Maintenant, nous calculons nos résultats pour obtenir ,

$\frac{3 (4) + 5 (1)}{15} = \frac{12 + 5}{15} = \frac{17}{15} = 1 \frac{2}{15}$

Calculer

$4 \frac{1}{2} - 1 \frac{3}{4}$

Solution

Étape 1.

Nous résolvons d'abord les nombres entiers,

$4 - 1 = 3$

Nous conservons notre résultat dans la partie gauche.

Étape 2.

L'ACL entre 2 et 4 est 4. 4 est donc le nouveau dénominateur général.

Étape 3.

Nous divisons le nouveau dénominateur par l'ancien dénominateur et nous multiplions notre résultat par le numérateur correspondant. Nous obtenons donc ,

$4 \frac{1}{2} - 1 \frac{3}{4} = 3 \frac{4 \times (\frac{1}{2}) - 4 \times (\frac{3}{4})}{4} = 3 \frac{^{2} 4 \times (\frac{1}{2}) - 4 \times (\frac{3}{4})}{4}$

Maintenant, nous calculons le résultat pour obtenir ,

$3 \frac{2 (1) - 1 (3)}{4} = 3 \frac{2 - 3}{4}$

Note que 2 est inférieur à 3, alors prends 1 du nombre entier 3, de sorte que ton nombre entier est maintenant 2. Le 1 que tu as pris, une fois placé dans l'expression, devient égal à la valeur de ton dénominateur qui est 4. Ajoute-le à ce qui est déjà là. Par conséquent, nous avons

$3 \frac{2 - 3}{4} = 2 \frac{4 + 2 - 3}{4} = 2 \frac{6 - 3}{4} = 2 \frac{3}{4}$

Multiplier et diviser les fractions

Les fractions, comme les autres nombres, peuvent être multipliées et divisées.

Comment les fractions sont-elles multipliées ?

On multiplie les fractions en multipliant les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble.

Nous pouvons toujours rechercher des facteurs qui peuvent être divisés par les numérateurs et les dénominateurs de n'importe quelle fraction. Nous devons simplement nous assurer que la division se fait entre un numérateur et un dénominateur. Nous ne devons pas diviser un numérateur et un autre numérateur de la même façon qu'un dénominateur et un dénominateur.

Calcule

$\frac{2}{3} \times \frac{5}{7}$

Solution

Multiplie les numérateurs et les dénominateurs ensemble pour obtenir,

\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{2 \times 5}{3 \times 7} = \frac{10}{21}

Confirme toujours qu'aucun facteur ne peut diviser à la fois le numérateur et le dénominateur avant de donner ta réponse finale.

Calculer

$\frac{3}{4} \times \frac{8}{9}$

Solution

Cette question peut être résolue à l'aide de deux méthodes.

Méthode 1.

Il suffit de multiplier directement les numérateurs et les dénominateurs.

$\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{3 \times 8}{4 \times 9} = \frac{24}{36}$

Une erreur fréquente des élèves est de laisser la fraction sous cette forme. Si tu fais cela, tu te tromperais car la fraction n'est pas sous la forme simplifiée.

L'étape suivante consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD). Le plus grand diviseur commun entre 24 et 36 est 12. Par conséquent,

$\frac{3}{4} \times \frac{8}{9} = \frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$

De plus, si tu n'es pas sûr de savoir comment trouver le PGCD, commence par diviser par le plus petit nombre parmi 2, 3,...

Méthode 2.

Tu peux simplifier directement les fractions en les multipliant, comme on le voit ci-dessous.

$\frac{^{1} 3}{^{1} 4} \times \frac{^{2} 8}{^{3} 9} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}$

Nous remarquons que cette méthode est directe et plus rapide.

Comment diviser les fractions ?

Pour diviser des fractions, nous appliquons les principes de multiplication à la multiplication de la première fraction par l'inverse de la deuxième fraction.

L'inverse d'une fraction peut être trouvé en intervertissant les positions du dénominateur et du numérateur.

Une fois cette fraction inversée, le signe de division est remplacé par le signe de multiplication.

Calculer

$\frac{2}{5} \div \frac{3}{7}$

Solution

Étape 1.

Inverse la fraction à droite du signe de division et change le signe de division en signe de multiplication pour obtenir,

$\frac{2}{5} \div \frac{3}{7} = \frac{2}{5} \times \frac{7}{3}$

Étape 2.

Multiplie les numérateurs et les dénominateurs.

$\frac{2}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{14}{15}$

Calcule,

$\frac{5}{14} \div \frac{100}{28}$

Solution

Étape 1.

Inverse la fraction à droite du signe de division et change le signe de division en signe de multiplication, pour obtenir,

$\frac{5}{14} \div \frac{100}{28} = \frac{5}{14} \times \frac{28}{100}$

Étape 2.

Nous simplifions maintenant pour obtenir,

$\frac{5}{14} \times \frac{28}{100} = \frac{^{1} 5}{^{1} 14} \times \frac{^{2} 28}{^{20} 100} = \frac{1 \times 2}{1 \times 20} = \frac{1 \times 2}{1 \times^{10} 20} = \frac{1}{10}$

Autres exemples de fractions

Nous allons examiner des problèmes de mots qui sont des problèmes de fractions.

Quelle est la somme du tiers d'une tarte et de la moitié d'une tarte ?

SolutionLe tiersd'une tarte est $\frac{1}{3}$ et la moitié d'une tarte est $\frac{1}{2}$ .

La somme signifie l'addition des deux fractions. Leur somme est donc donnée par

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Leur ACL est de 6, ce qui donne

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{6 (\frac{1}{3}) + 6 (\frac{1}{2})}{6} = \frac{^{2} 6 (\frac{1}{3}) +^{3} 6 (\frac{1}{2})}{6} = \frac{2 (1) + 3 (1)}{6} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6}$

Si un cinquième du revenu d'un homme est utilisé pour le logement et la moitié du reste pour l'épicerie, quelle fraction de son revenu est utilisée pour l'épicerie ?

Solution

Étape 1.

Tout d'abord, la fraction du reste du revenu de l'homme après avoir déduit celle du logement est la suivante.

$1 - \frac{1}{5} = \frac{1}{1} - \frac{1}{5} = \frac{5 (\frac{1}{1}) - 5 (\frac{1}{5})}{5} = \frac{5 (\frac{1}{1}) - 5 (\frac{1}{5})}{5} = \frac{5 - 1}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 2.

Le reste du revenu de l'homme est de quatre cinquièmes. On nous dit qu'il a utilisé la moitié du reste pour l'épicerie. Par conséquent, la fraction de l'épicerie est la suivante

$\frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{^{2} 4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$ .

Fractions - Points clés

Une fraction est définie comme une partie ou une portion d'un tout. Ce tout peut être n'importe quoi, y compris une fraction, mais pas zéro.
Une fraction se compose essentiellement de trois éléments : le numérateur, le signe supérieur et le dénominateur.
Il existe trois types de fractions : les fractions propres, les fractions impropres et les fractions mixtes.
Les fractions impropres peuvent être transformées en fractions mixtes, de même que les fractions mixtes peuvent être converties en fractions impropres.
Les fractions équivalentes sont deux ou plusieurs fractions identiques.

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