What is Investigating Fractions algébriques?

Simplifie les fractions algébriques suivantes

a. $\frac{56x^3{y}^2}{42x^2{y}^3}$

b. $\frac{10a^4{b}^2}{2ab}$

Solution

a.

$\frac{56x^3{y}^2}{42x^2{y}^3}$

On divise directement par ou on réexprime l'expression sous forme de produit de ses facteurs,

$$\begin{gathered} \frac{56x^3{y}^2}{42x^2{y}^3}=\frac{2\times 2\times 2\times 7\times x\times x\times x\times y\times y}{2\times 3\times 7\times x\times x\times y\times y\times y} \\ =\frac{\cancel{2}\times 2\times 2\times \cancel{7}\times \cancel{x}\times \cancel{x}\times x\times \cancel{y}\times \cancel{y}}{\cancel{2}\times 3\times \cancel{7}\times \cancel{x}\times \cancel{x}\times \cancel{y}\times \cancel{y}\times y} \\ =\frac{2\times 2\times x}{3\times y} \\ =\frac{4x}{3y} \end{gathered}$$

b.

$\frac{10a^4{b}^2}{2ab}$

On divise par pour obtenir,

$\frac{10a^4{b}^2}{2ab}=\frac{\cancel{{10}^5\times }{a}^4{b}^2}{\cancel{2^1\times }ab}=\frac{5a^4{b}^2}{ab}=\frac{5\cancel{a^4}{b}^2}{\cancel{a}b}=\frac{5a^3{b}^2}{b}=\frac{5a^3\cancel{b^2}}{\cancel{b}}=5a^{3}b$

Factorise $2y^2+4x-2xy-4y$

Solution

Étape 1.

Rapproche les termes semblables pour obtenir,

$4x-2xy-4y+2y^2$

Étape 2.

Utilise des parenthèses pour séparer les termes similaires afin de faciliter la factorisation, pour obtenir

$(4x-2xy)+(-4y+2y^2)$

Étape 3.

Fais ressortir les facteurs communs à partir de ce que tu as entre parenthèses.

Le facteur commun entre 4x et -2xy est 2x, ce qui donne

$4x-2xy=2x(2-y)$

Le facteur commun entre $-4y$et $2y^2$est 2y, ce qui donne

$-4y+2y^2=2y(-2+y)$

Ainsi, l'expression algébrique $2y^2+4x-2xy-4y$ peut être réécrite comme suit,

$2y^2+4x-2xy-4y=2x(2-y)+2y(y-2)$

Note que la factorisation n'est pas encore terminée. Les expressions (2-y) et (y-2) diffèrent par le signe moins. Ainsi, en réécrivant, nous obtenons ,

$2y^2+4x-2xy-4y=2x(2-y)-2y(2-y)$

Maintenant que nous avons la même expression entre les parenthèses, nous prenons (2-y) comme facteur commun entre ces expressions pour obtenir,

$2y^2+4x-2xy-4y=2x(2-y)-2y(2-y)=(2-y)(2x-2y)$

Nous remarquons que le facteur (2x-2y) a un facteur commun de 2, nous avons donc

$2x-2y=2(x-y)$

Par conséquent, la forme factorisée complète de l'expression algébrique initiale est la suivante

$2y^2+4x-2xy-4y=(2-y)2(x-y)=2(2-y)(x-y)$

Pour vérifier que la forme factorisée est correcte, nous la développons et nous constatons que nous obtenons la même expression algébrique initiale.

Simplifie ce qui suit,

a. $\frac{x+1}{x^2-1}$

b. $\frac{15y+12}{25y^2-16}$

c. $\frac{p^2-4}{p^2-4p+4}$

Solution

a.$\frac{x+1}{x^2-1}$

Étape 1.

On remarque d'abord que le dénominateur peut être factorisé en,

$x^2-1=(x-1)(x+1)$

Étape 2.

Maintenant, nous substituons l'expression factorisée dans l'expression principale pour obtenir,

$\frac{x+1}{x^2-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{{\cancel{x+1}}^1}{(x-1)\cancel{{(x+1)}^1}}=\frac{1}{x-1}$

Étape 1.

Le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique peuvent être factorisés pour donner ,

$$\begin{gathered} 15y+12=3(5y+4) \\ 25y^2-16=(5y-4)(5y+4) \end{gathered}$$

Étape 2.

Maintenant, substitue les expressions factorisées dans la fraction algébrique pour obtenir ,

$\frac{15y+12}{25y^2-16}=\frac{3(5y+4)}{(5y-4)(5y+4)}=\frac{3(\cancel{5y+4{)}^1}}{(5y-4){\cancel{(5y+4)}}^1}=\frac{3}{5y-4}$

tout en veillant à ce que $5y+4\ne 0$ c'est-à-dire $y\ne \frac{-4}{5}$.

c.$\frac{p^2-4}{p^2-4p+4}$

Étape 1.

Le numérateur et le dénominateur de la fraction algébrique peuvent être factorisés pour donner ,

$$\begin{gathered} p^2-4=(p-2)(p+2) \\ {p}^2-4p+4=(p-2)(p-2) \end{gathered}$$

Étape 2.

Maintenant, substitue les expressions factorisées dans la fraction algébrique pour obtenir,

$\frac{p^2-4}{p^2-4p+4}=\frac{{\cancel{(p-2)}}^1(p+2)}{{\cancel{(p-2)}}^1(p-2)}=\frac{p+2}{p-2}$
tout en veillant à ce que $p-2\ne 0$c'est-à-dire $p\ne 2$.

Additionne les fractions algébriques suivantes,

a. $\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}$

b. $\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}$

c. $\frac{1}{p^2-5p+6}+\frac{p}{p-3}$

Solution

a.$\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}$

Étape 1.

Nous trouvons le plus petit dénominateur commun (PDC) entre les deux dénominateurs. L'ACL entre y et ^y2 est ^y2.

Ensuite, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{y}$ par l'IVC $y^2$pour obtenir,

$\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}=\left(\frac{y^2}{y^2}\times \frac{1}{y}\right)+\frac{1}{y^2}=\frac{y}{y^2}+\frac{1}{y^2}$

Étape 2.

Maintenant que nous avons deux fractions avec le même dénominateur, nous ajoutons seulement les numérateurs, pour obtenir,

$\frac{y}{y^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{y+1}{y^2}$

b. $\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-2}$

Étape 1.

Nous trouvons le plus petit dénominateur commun (PDC) entre les dénominateurs. Le plus petit dénominateur commun entre x+1 et x-2 est leur produit (x+1)(x-2).

Étape 2.

Ensuite, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la première fraction par (x-2), et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (x+1) pour obtenir,

$\left(\frac{(x-2)}{(x-2)}\times \frac{2}{x+1}\right)+\left(\frac{3}{x-2}\times \frac{(x+1)}{(x+1)}\right)=\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}+\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)}$

Comme les deux fractions obtenues ont le même dénominateur, on additionne directement les numérateurs en conservant le dénominateur, ce qui donne

$$\begin{gathered} \frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}+\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)}=\frac{2x-4}{(x+1)(x-2)}+\frac{3x+3}{(x+1)(x-2)}=\frac{2x-4+3x+3}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{2x+3x-4+3}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)} \end{gathered}$$

c.$\frac{1}{p^2-5p+6}+\frac{p}{p-3}$

Étape 1.

Trouve le plus petit dénominateur commun (PDC). Le plus petit dénominateur commun entre ^p2-5p+6 et p-3 est ^p2-5p+6 car lorsque ^p2-5p+6 est factorisé en (p-2)(p-3), le plus petit dénominateur commun est p2-5p+6. Remplace ^p2-5p+6 par (p-2)(p-3) pour faciliter le calcul. Maintenant que tu as ton ACL, multiplie le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par $(p-2)$

$\frac{1}{(p-2)(p-3)}+\frac{p}{p-3}\times \frac{(p-2)}{(p-2)}=\frac{1}{(p-2)(p-3)}+\frac{p(p-2)}{(p-2)(p-3)}$

Comme ils ont tous les deux le même dénominateur, tu peux les additionner directement tout en conservant le dénominateur. Par conséquent ;

$\frac{1}{(p-2)(p-3)}+\frac{p(p-2)}{(p-2)(p-3)}=\frac{1}{(p-2)(p-3)}+\frac{p^2-2p}{(p-2)(p-3)}=\frac{p^2-2p+1}{(p-2)(p-3)}$

Note que ^p2-2p+1, une fois factorisé, donnerait (p-1)(p-1). Ainsi, une fois substituée à l'expression, on obtient ,

$\frac{p^2-2p+1}{(p-2)(p-3)}=\frac{(p-1)(p-1)}{(p-2)(p-3)}=\frac{{(p-1)}^2}{(p-2)(p-3)}$

Simplifie ce qui suit,

a. $\frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}$

b. $\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x-2}$

c. $\frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p}{p-3}$

Solution

Nous nous référons à l'exemple précédent pour le calcul de l'ACL entre les fractions en question.

a. $\frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}$

Étape 1.

Trouve le plus petit dénominateur commun (PDC). L'ACL entre y et ^y2 est ^y2.

Étape 2.

Multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par y pour obtenir,

$\frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}=\frac{y}{y}\times \frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}=\frac{y-1}{y^2}$

b.$\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x-2}$

Étape 1.

L'IVC entre les deux dénominateurs est (x+1)(x-2).

Étape 2.

En multipliant le numérateur et le dénominateur de la première fraction par (x-2), et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (x+1), on obtient : (x+1)(x-2)(x-2)(x+1)(x-2)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1)(x+1).

$\left(\frac{(x-2)}{(x-2)}\times \frac{2}{x+1}\right)-\left(\frac{3}{x-2}\times \frac{(x+1)}{(x+1)}\right)=\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}-\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)}$

Étape 3.

Comme les deux fractions ont le même dénominateur, on soustrait directement en conservant le dénominateur, ce qui donne

$$\begin{gathered} \frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}-\frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)}=\frac{2x-4}{(x+1)(x-2)}-\frac{3x+3}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{2x-4-(3x+3)}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{2x-4-3x-3)}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{2x-3x-4-3}{(x+1)(x-2)} \\ =\frac{-x-7}{(x+1)(x-2)} \end{gathered}$$

c.$\frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p}{p-3}$

Étape 1.

L'ACL entre les dénominateurs des deux fractions est $p^2-5p+6$.

Étape 2.

On multiplie le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (p-2) pour obtenir.

$\frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p}{p-3}=\frac{1}{(p-2)(p-3)}-\frac{p(p-2)}{(p-2)(p-3)}$

Comme les deux fractions ont le même dénominateur, on soustrait directement en conservant le dénominateur, pour obtenir .

$$\begin{gathered} \frac{1}{(p-2)(p-3)}-\frac{p(p-2)}{(p-2)(p-3)}=\frac{1}{(p-2)(p-3)}-\frac{p^2-2p}{(p-2)(p-3)} \\ =\frac{1-(p^2-2p)}{(p-2)(p-3)} \\ =\frac{1+2p-p^2}{(p-2)(p-3)} \end{gathered}$$

Multiplie les éléments suivants,

a. $\frac{4p}{3qr}\times \frac{5rk}{6q^{2}p}$

b. $\frac{x-y}{z}\times \frac{z^2}{x^2-y^2}$

c. $\frac{p^2-1}{p^2-5p+6}\times \frac{p-3}{p-1}$

Solution

a.$\frac{4p}{3qr}\times \frac{5rk}{6q^{2}p}$

Nous pouvons soit multiplier les numérateurs et les dénominateurs avant d'éventuellement diviser directement les facteurs communs, nous avons donc

$$\begin{gathered} \frac{4p}{3qr}\times \frac{5rk}{6q^{2}p}=\frac{2\times 2\times p}{3\times q\times r}\times \frac{5\times r\times k}{2\times \times 3\times q\times q\times p}=\frac{\cancel{2}\times 2\times \cancel{p}}{3\times q\times \cancel{r}}\times \frac{5\times \cancel{r}\times k}{\cancel{2}\times \times 3\times q\times q\times \cancel{p}} \\ =\frac{2\times 5\times k}{3\times 3\times q\times q\times q}=\frac{10k}{9q^3} \end{gathered}$$

b. $\frac{x-y}{z}\times \frac{z^2}{x^2-y^2}$

Nous factorisons le dénominateur de la deuxième fraction pour obtenir

$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$

Maintenant, nous substituons l'expression factorisée dans l'expression principale pour obtenir,

$\frac{x-y}{z}\times \frac{z^2}{x^2-y^2}=\frac{x-y}{z}\times \frac{z\times z}{(x-y)(x+y)}=\frac{\cancel{x-y}}{\cancel{z}}\times \frac{\cancel{z}\times z}{\cancel{(x-y)}(x+y)}=\frac{z}{x+y}$

c.$\frac{p^2-1}{p^2-5p+6}\times \frac{p-3}{p-1}$

Nous veillons à factoriser les expressions algébriques pour faciliter la multiplication,

$$\begin{gathered} p^2-1=(p-1)(p+1) \\ {p}^2-5p+6=(p-2)(p-3) \end{gathered}$$

Ensuite, nous substituons les expressions factorisées dans l'expression principale pour obtenir,

$\frac{p^2-1}{p^2-5p+6}=\frac{(p-1)(p+1)}{(p-2)(p-3)}\times \frac{p-3}{p-1}=\frac{\cancel{(p-1)}(p+1)}{(p-2)\cancel{(p-3)}}\times \frac{\cancel{p-3}}{\cancel{p-1}}=\frac{p+1}{p-2}$

Simplifie ce qui suit,

a. $\frac{r{t}^2}{15}÷\frac{r^2}{5t}$

b. $\frac{x^2-9}{x^2+3x+2}÷\frac{x^2+6x+9}{x^2+8x+7}$

Solution

a.$\frac{r{t}^2}{15}÷\frac{r^2}{5t}$

Nous réarrangeons l'expression en changeant le signe de division en signe de multiplication et en utilisant la réciproque de la fraction algébrique à droite, pour obtenir

$\frac{r{t}^2}{15}÷\frac{r^2}{5t}=\frac{r{t}^2}{15}\times \frac{5t}{r^2}=\frac{r\times t\times t}{5\times 3}\times \frac{5\times t}{r\times r}=\frac{\cancel{r}\times t\times t}{\cancel{5}\times 3}\times \frac{\cancel{5}\times t}{\cancel{r}\times r}=\frac{t^3}{3r}$

b.$\frac{x^2-9}{x^2+3x+2}÷\frac{x^2+6x+9}{x^2+8x+7}$

On réarrange d'abord l'expression en changeant le signe de division en signe de multiplication et en utilisant la réciproque de la fraction algébrique à droite, pour obtenir

$\frac{x^2-9}{x^2+3x+2}\times \frac{x^2+8x+7}{x^2+6x+9}$

Ensuite, factorise les expressions quadratiques

$$\begin{gathered} x^2-9=(x-3)(x+3) \\ {x}^2+3x+2=(x+2)(x+1) \\ {x}^2+8x+7=(x+7)(x+1) \\ {x}^2+6x+9=(x+3)(x+3) \end{gathered}$$

Nous remplaçons maintenant les expressions factorisées par les fractions algébriques et nous simplifions pour obtenir

$$\begin{gathered} \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+1)}\times \frac{(x+7)(x+1)}{(x+3)(x+3)}=\frac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{(x+2)\cancel{(x+1)}}\times \frac{(x+7)\cancel{(x+1)}}{\cancel{(x+3)}(x+3)} \\ =\frac{(x-3)(x+7)}{(x+2)(x+3)} \\ =\frac{x^2+4x-21}{x^2+5x+6} \end{gathered}$$

Tout en s'assurant que $x+1\ne 0$ c'est-à-dire $x\ne -1$et $x+3\ne 0$ que c'est $x\ne -3$.