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Considère une fonction linéaire dont le graphique est une droite. Mais comment peut-on concrètement tracer la droite afin de déterminer ses propriétés ?
Lesgradients et les intercepts sont les seules informations dont nous avons besoin pour tracer le graphique d'une droite et connaître ses propriétés. Explorons ce qu'ils sont dans cet article.
Signification du gradient et des ordonnées d'une droite
Signification du gradient d'une ligne
Supposons qu'un homme marche en haut d'une colline, et pour rester simple, la colline est droite dans sa trajectoire, sans bosses ni courbes.
Si l'homme parcourt 100 mètres dans le sens horizontal et se retrouve à 200 mètres au-dessus du sol, comment pouvons-nous mesurer l'inclinaison de la colline, c'est-à-dire son degré d'inclinaison ?
Un homme debout au sommet d'une colline, StudySmarter Originals
Pour être plus rigoureux, le degré d'inclinaison, en termes mathématiques, est connu sous le nom de Gradient de la colline.
Legradient d'une ligne droite est la mesure de sa pente, ou de son manque de rigueur.
Signification des ordonnées d'une droite
Une fonction linéaire de la forme est représentée par une ligne droite qui s'étend à l'infini dans l'une ou l'autre direction. Par conséquent, en un point, elle coupe soit l'axe des y, soit l'axe des x, ou plus communément, les deux axes du plan de coordonnées.
Les coordonnées du point d'intersection d'une ligne droite avec l'un ou l'autre des axes sont appelées l'ordonnée à l'origine de cette ligne droite.
Types d'intersections d'une droite
Comme il y a deux axes dans le plan de coordonnées, une ligne droite peut avoir des intersections avec l'axe des x ou avec l'axe des y, ou avec les deux.
Les abscisses sont les points d'intersection d'une droite avec l'axe des abscisses.
Les ordonnées à l'origine sont les points où une ligne droite coupe l'axe des ordonnées.
Calcul et formule du gradient et des intercepts
Calcul et formule du gradient
La pente d'une ligne est le rapport entre le changement dans la direction des y et le changement dans la direction des x.
Pour mesurer la pente d'une colline, une façon intuitive est de savoir comment le changement dans la direction verticale est par rapport au changement dans une direction horizontale, ce qui est essentiellement ce que nous voulons savoir. Et c'est exactement ainsi que le gradient est défini mathématiquement.
En traduisant cette définition en une équation, où m représente le gradient, on obtient
où , représentent les coordonnées y finales et initiales, et désignent les coordonnées x finales et initiales.
Interprétation géométrique du gradient
En y regardant de près, on peut observer que la formule du gradient qui est égale au rapport entre la variation de y sur la variation de x, n'est rien d'autre que la tangente de l'angle formé entre la droite et l'axe des x positifs.
Si nous revenons à notre homme au sommet de la colline, nous pouvons calculer la pente de la colline à l'aide de notre formule,
La pente de la colline est donc de 2.
Mais comment pouvons-nous trouver la pente d'une ligne si nous ne disposons que de l'équation de la ligne ? D'après la définition du gradient, nous rappelons que
.
Nous avons donc besoin des coordonnées de deux points quelconques de la droite pour calculer le gradient.
Mais il y a une infinité de coordonnées à choisir, et comment savoir lesquelles choisir ? Rappelle-toi que nous connaissons les coordonnées de deux points spécifiques de la ligne, les ordonnées x et y !
Nous pouvons donc choisir ces deux points comme étant et . Après substitution, nous obtenons ,
Par conséquent, le gradient (ou la pente) d'une ligne donnée par est .
Rappelle-toi que slope et gradient ont la même signification dans le contexte d'une ligne droite.
Calcul des ordonnées
Nous considérons le graphique d'une droite interceptant les axes du plan de coordonnées.
Le graphique d'une fonction linéaire ax+by+c=0, StudySmarter Originals
Nous remarquons que, conformément à la définition, les intercepts sont formés sur les axes eux-mêmes.
L'ordonnée à l'origine se trouve sur l'axe des x et la coordonnée y est donc égale à 0 en ce point.
- Pour calculer l'ordonnée à l'origine, mets y=0 et résous x.
Considérons une ligne droite, modélisée par l'équation linéaire, où a, b et c sont des constantes à valeurs réelles, a et b n'étant pas simultanément 0.
Pour trouver l'ordonnée à l'origine de cette droite, nous devons remplacer y par 0 puisque la coordonnée y s'évanouit en ce point. Nous obtenons donc
Ainsi, l'ordonnée à l'origine de la droite est .
- Pour calculer l'ordonnée à l'origine, mets x=0 et résous le problème par y.
Pour trouver l'ordonnée à l'origine de la droite, nous devons remplacer x par 0, ce qui donne
Ainsi, l'ordonnée à l'origine de la droite est .
Exemples de gradients et d'ordonnées
Trouve l'ordonnée à l'origine et l'abscisse à l'origine de la droite d'équation.
Solution
En comparant l'équation donnée de la droite avec la forme générale : ,
Nous obtenons .
Et nous savons que l'ordonnée à l'origine est donnée par
.
Par conséquent, l'ordonnée à l'origine se trouve à .
De même, l'ordonnée à l'origine est donnée par
.
L'ordonnée à l'origine se situe donc à.
Si nous devions tracer la droite, nous localiserions les ordonnées à l'origine et les ordonnées à l'origine, puis nous les relierions pour obtenir la droite souhaitée.
Le tracé de la droite 2x+4y-1=0, StudySmarter Originals
Trouve le gradient de la droite d'équation .
Solution
En comparant l'équation de la droite donnée à la forme générale on obtient .
La pente ou le gradient de la ligne peut être calculé par ,
Ainsi, la pente de la ligne donnée est 3.
Le graphique de cette droite serait ,
Le graphique de la ligne droite donnée par 3x-y+1=0, StudySmarter Originals
où A et B se trouvent aux points d'intersection x et y de la droite.
Rappelle-toi que les coordonnées de l'ordonnée à l'origine sont et pour l'ordonnée à l'origine .
Ainsi, l'ordonnée à l'origine de notre ligne est et l'ordonnée à l'origine est .
Applications de la pente et de l'ordonnée à l'origine : Forme de la pente et de l'ordonnée à l'origine d'une ligne
Tout comme une ligne droite peut être exprimée de façon générale par la forme nous pouvons aussi dériver une forme générale déterminée par la pente et l'ordonnée à l'origine de la ligne.
Si nous réarrangeons l'équation donnée pour obtenir y d'un côté de l'équation, nous obtenons
où nous observons que est la pente de la ligne, comme nous l'avons découvert dans la section précédente. Et nommons où d est juste une autre constante renommée en termes de c et b. Rappelle que est l'ordonnée à l'origine, qui sera ici d. Par conséquent, notre équation se réduit à
Trouve la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite .
Solution
Pour comparer l'équation donnée de la droite avec la forme pente-intercept, nous devons la résoudre explicitement pour y, nous avons...
En divisant par 2, on obtient
En comparant cette équation avec la forme standard où m est la pente et d l'ordonnée à l'origine, nous obtenons .
La pente est donc et l'ordonnée à l'origine est .
Pour trouver l'ordonnée à l'origine, nous fixons y=0, et nous résolvons pour x, et dans ce cas, nous obtenons ,
et donc l'ordonnée à l'origine est .
Trouve la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite.
Solution
En comparant l'équation donnée à la forme générale on obtient .
La forme de l'ordonnée à l'origine est donnée par , ce qui nous donne .
La pente est donc et l'ordonnée à l'origine est (0,0).
Pour trouver l'ordonnée à l'origine, nous fixons y=0 et résolvons x. Ainsi, nous obtenons
et l'ordonnée à l'origine est donc (0,0).
Gradient et ordonnées - Points clés à retenir
- Les coordonnées non nulles du point où une droite coupe les deux axes sont appelées les ordonnées de cette droite.
- Pour une droite donnée par l'ordonnée à l'origine est donnée par et l'ordonnée à l'origine par .
- Le gradient d'une ligne est une mesure de sa pente (ou de son manque de précision). Un autre terme pour désigner le gradient est la pente.
- Le gradient d'une ligne droite est donné par où est l'angle que fait la ligne avec l'axe positif des x.
- Une ligne droite peut également être exprimée sous la forme d'une pente et d'une ordonnée à l'origine, ce qui permet de déduire directement la pente et l'ordonnée à l'origine.
