What is Investigating Graphes de fonctions courantes?

Rappelle-toi qu'une fonction est une construction mathématique qui prend des valeurs x en entrée et qui produit des valeurs y dans une correspondance biunivoque ou plurivoque. Les fonctions représentent la relation entre une variable indépendante x et une variable dépendante y.

Représentation d'une fonction, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Types de graphiques de fonctions

Certaines des fonctions les plus courantes que tu trouveras en mathématiques sont énumérées ci-dessous :

1. Constante: $f\left(x\right)=c$ où c est une constante. La forme du graphique des fonctions constantes est une ligne droite parallèle à l'axe des x, qui intercepte l'axe des y, où y = c.

Graphique d'une fonction constante, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

2. Linéaire (Identité) $f\left(x\right)=x$. La forme des graphiques linéaires est également une ligne droite. Dans ce cas, la ligne a une pente qui peut être faible ou forte selon sa valeur.

Graphique de la fonction d'identité, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

3. Quadratique: $f\left(x\right)=x^2$. La forme du graphique des fonctions quadratiques est une parabole.

Graphique de la fonction quadratique, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

4. Cubique: $f\left(x\right)=x^3$. Les graphiques cubiques sont des lignes continues et lisses qui peuvent avoir des points maximum ou minimum où elles changent de direction dans la partie centrale de la courbe, et à chaque extrémité de la courbe, elles ont tendance à aller vers l'infini positif ou négatif.

Graphique de la fonction cubique, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

5. Racine carrée: $f\left(x\right)=\sqrt{x}$. Le graphique des fonctions de racine carrée a une forme caractéristique en raison de son domaine restreint (id="5337697" role="math" $x\ge 0$). En effet, la racine carrée d'un nombre négatif n'a pas de solution réelle. Par conséquent, seuls les nombres positifs sont utilisés dans ce type de graphique.

Graphique de la fonction racine carrée, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

6. Racine cubique: $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$. Les graphiques de racine cubique diffèrent des graphiques de racine carrée parce que la racine cubique des nombres négatifs a des solutions réelles. Par conséquent, les fonctions de racine cubique n'ont pas de domaine restreint, x peut prendre des valeurs négatives et positives, ce qui se traduit par la forme de son graphique.

Graphique de la fonction racine cubique, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

7. Module ou valeur absolue: $f\left(x\right)=\left|x\right|$. Le graphique des fonctions de module a une forme caractéristique en v. C'est la même chose que f (x) = x, mais les valeurs négatives de y se reflètent sur l'axe des x. Cela s'explique par le fait que le module d'un nombre x est le même nombre, mais positif.

Graphique de la fonction module ou valeur absolue, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

8. Réciproque: $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$. Le graphique des fonctions réciproques possède des asymptotes, qui sont des lignes dont la courbe se rapproche beaucoup, mais qu'elle ne touche jamais. Le graphique de $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ a des asymptotes à x = 0 et y = 0.

Graphique de la fonction réciproque, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

9. Réciproque au carré: $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$. La forme du graphique de la fonction réciproque au carré change par rapport à la précédente, car le fait d'avoir $x^2$ dans le dénominateur signifie que toutes les valeurs de y seront positives.

x2Graphique de la fonction réciproque au carré, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

10. Exponentielle: $f\left(x\right)=e^x$. Le graphique de la fonction exponentielle a une asymptote horizontale à y = 0, et il coupe l'axe des ordonnées au point (0, 1). Après cela, elle augmente rapidement.

Graphique de la fonction exponentielle, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

11. Logarithmique: $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$. La fonction logarithmique est l'inverse de la fonction exponentielle, par conséquent le graphique d'une fonction logarithmique sera le reflet du graphique exponentiel auquel elle se rapporte, sur la ligne y = x. Le graphique de la fonction logarithmique a une asymptote verticale à x = 0, et croise l'axe des x au point (1, 0).

Graphique de la fonction logarithmique, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

12. Fonctions trigonométriques : Les graphiques des fonctions trigonométriques (sinus, cosinus et tangente) ont une forme caractéristique car ils sont périodiques, ce qui signifie qu'ils se répètent après un intervalle spécifique.

a) Sinus: $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$. Le graphique du sinus a une valeur maximale de 1 et une valeur minimale de -1, et il se répète tous les 2π. Le graphique du sinus croise l'axe des ordonnées à l'origine (0, 0).

Graphique de la fonction trigonométrique - sin (x), Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

b) Cosinus: $f\left(x\right)=\cos \left(x\right)$. Le graphique du cosinus a également une valeur maximale de 1 et une valeur minimale de -1, et se répète tous les 2π. Tu peux le différencier du graphique du sinus, car le graphique du cosinus croise l'axe des ordonnées au point (0, 1).

Graphique de la fonction trigonométrique - cos (x), Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

c) Tangente: $f\left(x\right)=\tan \left(x\right)$. Le graphique de la tangente n'a pas de points maximum ou minimum, et se répète tous les π. Il a donc des asymptotes verticales à . $\frac{-\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{2}$, etc.

Graphique de la fonction trigonométrique - tan (x), Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Comment trouver la fonction commune d'un graphique ?

Pour identifier la fonction courante d'un graphique, il est très utile d'apprendre les formes de leurs courbes. Concentre-toi sur leurs caractéristiques et leurs formules (par exemple, la forme de la courbe) afin de pouvoir identifier rapidement le type de fonction qu'un graphique représente. Mémoriser la liste précédente de graphiques de fonctions courantes t'aidera à acquérir cette compétence importante, au cas où tu en aurais besoin pour résoudre des problèmes spécifiques.

Identifier si un graphique est une fonction

Si l'on te donne un graphique et que l'on te demande de vérifier si le graphique représente une fonction ou non, tu peux procéder comme suit :

• Test de la ligne verticale : Ce test te permettra de savoir si le graphique représente une fonction. Tu dois tracer des lignes verticales qui croisent le graphique. Si en un point, une ligne verticale coupe le graphique plus d'une fois, alors le graphique n' est pas une fonction (x a plus d'une sortie). Par exemple :

Exemple de test de ligne verticale, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Ce graphique n'est pas une fonction car la ligne verticale croise deux points du graphique.

• Test de la ligne horizontale : Ce test te permet de savoir si une fonction est biunivoque ou non. Si tu dessines une ligne horizontale et qu'elle croise le graphique plus d'une fois, alors ce n'est pas une fonction biunivoque. Par exemple :

Exemple de test de la ligne horizontale, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Ce graphique est une fonction parce qu'il passe le test de la ligne verticale, mais ce n'est pas une fonction biunivoque, car la ligne horizontale coupe le graphique deux fois.