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L'équation des lignes droites
Toutes les droites peuvent être exprimées sous la forme \(y= mx + b\), où :
- y est la valeur de la coordonnée y d'un point de la ligne droite.
- x est la valeur de la coordonnée x du même point sur la ligne droite.
- m est le gradient d'un graphique en ligne droite, qui peut être trouvé en utilisant
\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\text{différence dans les coordonnées y}}{\text{différence dans les coordonnées x}}\]
Le gradient est défini comme la pente de la ligne en un point donné.
- b est la valeur de la coordonnée y lorsque la ligne droite croise l'axe des y (x = 0).
Trouve l'équation de la ligne droite entre les points (-1, 2) et (0, 8). Laisse ta réponse sous la forme \(y = mx + b\).
Soit A = (-1, 2) et C = (0, 8). Le gradient peut être trouvé en utilisant l'équation et les points suivants
A = (-1, 2) et C = (0, 8).
\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8-2}{0-(-1)} = \frac{6}{1} = 6\)
Une autre méthode de calcul du gradient consiste à utiliser l'équation \(m = \frac{\text{différence dans les coordonnées y}}{\text{différence dans les coordonnées x}}\).
Cette équation nécessite de dessiner le triangle rectangle sous la ligne et ses coordonnées, notamment le point B = (0, 2), où l'angle du triangle est de 90 °. Cette équation peut être représentée graphiquement sous la forme suivante
Représentation graphique de l'exemple. Jaime Nichols, StudySmarter Original
Comme le point C (0, 8) se trouve sur l'axe des y, la coordonnée y devient b dans l'équation.
Par conséquent, l'équation est \(y = 6x+8\)
Tu peux réécrire l'exemple précédent sous la forme \N(y - y_1 = m(x-x_1)\N) en utilisant le point A (-1, 2) et m = 6 comme suit : \N(y -2 = 6(x-(-1)) = y -2 = 6(x+1)\N).
L'équation peut également être écrite sous la forme \(Ax + By = C\). Contrairement aux deux premières équations, cette forme ne peut pas être obtenue en substituant directement les valeurs dans la formule. Au lieu de cela, tu dois trouver l'équation dans l'une des deux premières équations, puis la réarranger sous la forme \(Ax + By = C\).
Une droite a une pente de \(\frac{1}{2}\) et passe par le point de (0, 10). Ecris l'équation de cette droite sous la forme \(Ax + By = C\).
Tout d'abord, écris l'équation de la ligne droite sous l'une des deux premières formes, où \ (m = \frac{1}{2} \text{ et } b = 10\)
\N(y = \frac{1}{2}x+10\N)
Ensuite, A, B et C doivent être des nombres entiers. Tu dois donc multiplier les deux côtés de l'équation par deux pour supprimer la fraction.
\N(2y = x + 20\N)
Enfin, tu dois déplacer le x de l'autre côté pour qu'il prenne la forme \(Ax + By = C\).
\N(2y - x = 20\N)
Trouver les coordonnées à l'aide de l'équation de la ligne droite
On peut te demander de trouver les coordonnées à l'aide d'une équation linéaire. Pour ce faire, tu substitues l'une des valeurs dans l'équation linéaire pour obtenir l'autre.
L'équation linéaire de la ligne A est \N(y = 10x - 4\). Quelle est la coordonnée y du point de la ligne où x = 14 ?
Comme tu connais la valeur de x, tu peux la substituer à l'équation.
\(y = 10(14) - 4\)
\(y = 136\)
La réponse est donc (14, 136).
La ligne B a pour équation linéaire \(y = 2x + 7\). Quelle est la coordonnée x du point de la ligne où y = 17 ?
Comme tu connais la valeur de y, tu peux la substituer dans l'équation.
\(17 = 2x + 7\)
\(10 = 2x\)
\(x = 5\)
Par conséquent, la coordonnée est (5, 17).
Il est important de donner ta réponse sous la forme demandée dans la question. Si l'on te demande de donner les coordonnées, assure-toi de donner ta réponse sous forme de coordonnées. C'est une erreur fréquente mais facile à éviter.
Comment tracer un graphique en ligne droite ?
Pour tracer un graphique en ligne droite, tu dois :
Trace un tableau des valeurs x et des valeurs y.
Dessine tes axes sur le papier graphique et étiquette-les s'ils s'appliquent à une situation réelle.
Reporte les points donnés sur le graphique.
Relie tous les points par une seule ligne droite à l'aide d'une règle.
Trace la droite \(y = 2x +1\)
1. Trace un tableau des valeurs x et y
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 |
2. Dessine ton axe
Axe simple
3. Trace tes points
Points tracés sur l'axe, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
4. Relie tous les points par une ligne droite :
Graphique tracé complet, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Caractéristiques des gradients des lignes droites
En connaissant les caractéristiques des gradients des droites, tu pourras plus facilement calculer les questions plus difficiles sur l'équation d'une droite. En utilisant l'exemple précédent y = 6x + 8, nous allons passer en revue les caractéristiques d'autres types de gradients.
Pente négative
Le graphique illustre les droites \(y = -6x + 8\) et \(y = 6x + 8\).
Gradient négatif sur un graphique, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Nous pouvons faire deux observations à partir de ce graphique au sujet du gradient négatif :
L'ordonnée à l'origine (0, 8) est la même pour le gradient positif et le gradient négatif, donc le gradient négatif n'a pas d'effet sur l'ordonnée à l'origine.
Lorsque nous augmentons la variable x, la variable y diminue et, par conséquent, la ligne se déplace en diagonale vers le bas.
La pente des lignes parallèles
Les lignes parallèles sont des lignes qui existent sur le même graphique mais qui ne se rencontrent pas, conservant continuellement la même distance.
Le graphique ci-dessous représente deux droites parallèles, \(y = 6x + 8\) et \(y = 6x + 15\).
Graphique de droites parallèles, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Il y a deux observations que tu peux faire à propos des lignes parallèles :
- Lorsque deux lignes sont parallèles, les gradients sont les mêmes. Dans cet exemple, les deux droites ont une pente de 6.
- Les lignes ont des valeurs différentes pour b et ont donc des ordonnées à l'origine différentes.
La pente des lignes perpendiculaires
Les lignes perpendiculaires sont des lignes qui se coupent à 90º.
Le graphique ci-dessous montre deux droites perpendiculaires : \(y = 6x + 8\) et \(y = - \frac{1}{6}x +8\).
Graphique des droites perpendiculaires, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Il y a deux observations importantes que l'on peut faire à propos des gradients des lignes perpendiculaires.
Pour que les lignes s'interceptent l'une l'autre, les gradients des deux lignes droites doivent être des réciproques négatives l'une de l'autre. La réciproque négative d'un gradient est donnée par la formule \(-\frac{1}{m}\), où m est le gradient original. Dans cet exemple, les gradients des deux lignes 6 et \(-\frac{1}{6}\) sont des réciproques négatives l'un de l'autre.
L'ordonnée à l'origine est la même pour les deux droites car le point d'interception se trouve sur l'axe des ordonnées. L'ordonnée à l'origine serait différente pour chaque ligne si la ligne d'intersection ne se trouvait pas sur l'axe des ordonnées. Par exemple, si le point d'intersection était (1, 14), tu le substituerais dans la formule : \(y = mx + b)
\(14 = \frac{-1(1)}{6} + b\)
\(\frac{84}{6} = \frac{-1}{6} + b\)
\(b = \frac{84}{6} + \frac{1}{6} = \frac{85}{6}\)
La ligne perpendiculaire serait \(y = - \frac{1}{6} x + \frac{85}{6}\)
Graphique des droites perpendiculaires, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Comment trouver l'équation d'un graphique en ligne droite à partir d'un ensemble de points ?
Il existe différents types de questions que l'on peut te poser, que nous allons maintenant passer en revue à l'aide d'exemples.
Trouver l'équation de la droite dont l'ordonnée à l'origine est inconnue.
Parfois, on ne te dit pas quelle est l'ordonnée à l'origine, ce qui signifie que nous devons calculer une valeur pour C si nous utilisons la forme \(Ax + By = C\). Pour ce faire, nous devons suivre les étapes suivantes :
- Calcule le gradient
- Substitue les valeurs de x et y d'un point de la ligne dans l'équation.
- Réorganise l'équation pour obtenir la valeur A de B
La ligne C est une ligne droite qui passe par 2 points (2, 4) et (4,7). Quelle est l'équation de la ligne C ?
- Calcule la pente : \(m = \frac{7-4}{4-2} = \frac{3}{2}\)
- Substitue le gradient et l'un des points dans l'équation. Nous utiliserons le point (2, 4) : \(4 = \frac{3}{2}(2) + b\)
- Réarrange pour obtenir une valeur pour b : \(4 = 3 + b \qquad b = 4-3 =1\) Par conséquent, la réponse est \(y = \frac{3}{2}x+1\)Cependant, on pourrait te demander d'écrire l'équation, \(Ax + By = C\). Le C de cette équation n'est pas le même que le b de la première équation, c'est pourquoi nous devons continuer à réarranger.
\N(2y=3x+2\N)
\N(2y-3x = 2\N)
Si tu as du mal avec cette étape et qu'on ne te demande pas de donner une forme spécifique, il te sera peut-être plus facile de travailler avec l'équation \(y-y_1 = m(x-x_1)\) car tu n'as pas besoin de réarranger pour trouver une valeur pour b. Pour l'exemple ci-dessus, tu dois trouver le gradient et substituer un point dans l'équation : \(y -4 = \frac{3}{2}(x-2)\).
Trouver l'équation d'une droite à partir de graphiques
Trouver l'équation linéaire à partir du graphique est similaire à la méthode ci-dessus, avec de légères différences.
Identifie deux points sur la ligne
Calcule le gradient en utilisant ces deux points
Trouve la valeur de b en regardant où la droite croise l'ordonnée à l'origine.
Formule l'équation.
Trouve l'équation linéaire du graphique ci-dessous.
Triangle utilisé pour trouver le gradient, Jaime Nichols
- Identifie deux points sur la droite : (0, 2) et (1, 1) sont assis sur la droite.
- Trouve le gradient : \(m = \frac{1-2}{1-0} = \frac{-1}{1} = -1\)
- Trouve l'ordonnée à l'origine : Le point (0, 2) se trouve sur l'axe des ordonnées, donc b = 2.
- Substitue les valeurs dans une formule : \N(y = -x +2\)
Lignes horizontales
Comme la pente des droites horizontales est égale à 0, l'équation de la droite est y = b, où b est l'ordonnée à l'origine.
Graphique de y = b, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Cette ligne horizontale a pour équation y = 10, car elle coupe l'axe des ordonnées à (0, 10).
Lignes verticales
La pente des lignes verticales est l'infini et peut être exprimée par l'équation x = d, d étant le point d'intersection de la ligne avec l'axe des x.
Graphique de x = d, Jaime Nichols, StudySmarter Originals
Cette ligne verticale a pour équation x = 0,5, car elle croise l'axe des x au point (0,5, 0).
Utilisation des graphiques en ligne droite pour des exemples de la vie réelle
Les graphiques en ligne droite peuvent être utilisés pour représenter les relations entre deux variables quelconques. Par exemple, les entreprises s'en servent pour montrer le nombre de ventes qu'elles réalisent au fil du temps.
Tu peux voir ci-dessous un exemple de graphique en ligne droite démontrant le nombre de ventes totales au fil du temps, dans cet exemple nous utilisons (y) comme le nombre total de voitures vendues et (x) comme le nombre de semaines.
Exemple de graphique en ligne droite, Jaime Nichols
Pour trouver le taux de changement, nous devons déterminer la pente. L'équation nous apprend que la pente est de 3. Cela signifie que le taux du nombre de ventes est de 3 voitures par semaine.
Si l'on te demande de contextualiser la pente dans un examen, il est important d'y faire référence en tant que taux de quelque chose pour obtenir les points.
Tu devras peut-être aussi expliquer la position de l'ordonnée à l'origine. Dans cet exemple, la ligne croise l'origine, ce qui est logique car, à 0 semaine, ils n'ont pas encore commencé à vendre des voitures.
Parfois, en particulier dans les graphiques linéaires impliquant des coûts, la ligne peut se croiser au-dessus de l'origine. Cela suggère normalement qu'il y a eu des coûts initiaux fixes qui ont dû être pris en considération. Un exemple courant utilisé dans les examens est celui d'un dépôt. Il est important de noter que ce coût est fixe et qu'il ne change donc pas, quelle que soit la variation de x et de y.
Graphiques en ligne droite - points clés à retenir
- \N(y = mx + b\N) est la principale équation de la ligne droite, mais tu peux aussi utiliser \N(y - y_1 = m (x-x_1)\Net \N(Ax + By = C\N).
- Dans l'équation d'une ligne droite, m représente la pente, qui peut être trouvée à l'aide de la formule : \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) et c est l'ordonnée à l'origine du graphique de la ligne droite.
- Les lignes parallèles ont la même pente, tandis que les pentes des lignes perpendiculaires sont la réciproque négative l'une de l'autre.
- L'équation d'une ligne verticale est x = d, où d est l'intersection avec l'axe des x.
- L'équation d'une ligne horizontale est y = b, où b est l'intersection avec l'axe des y.
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