Graphiques de polynômes: Fonctions, Courbes

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Les fonctions polynomiales suivent la forme standard :

$f (x) = a_{n} x^{n} + a_{(n - 1)} x^{(n - 1)} + a_{(n - 2)} x^{(n - 2)} + . . . + a_{1} x + a_{0}$

L'exposant le plus élevé présent dans un polynôme détermine le degré du polynôme.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 5$ est un polynôme de degré 2

$f (x) = 2 x^{- 1} + 5$ n'est pas un polynôme car il a un exposant négatif

Dans l'article Graphiques, nous avons vu comment représenter graphiquement différents types de fonctions polynomiales (Graphiques linéaires, fonctions quadratiques, cubiques et quartiques), mais en nous basant uniquement sur les points où la courbe croise les axes x et y. Cependant, comme le comportement des fonctions à exposant supérieur n'est pas aussi prévisible que les droites ou les paraboles, pour obtenir une représentation plus précise de leur courbe, nous devons utiliser certaines caractéristiques clés.

Caractéristiques principales des graphes polynomiaux

1. Trouve les zéros : Les zéros d'une fonction sont les valeurs de x qui rendent la fonction égale à zéro. Ils sont également connus sous le nom d'intersections x.

Pour trouver les zéros d'une fonction, tu dois mettre la fonction égale à zéro et utiliser la méthode requise (factorisation, division des polynômes, complétion du carré ou formule quadratique) pour trouver les solutions de x. Reporte-toi à l'article Polynômes si tu as besoin d'un rappel à ce sujet.

Après avoir effectué la division polynomiale et la factorisation de la fonction polynomiale, nous obtenons le résultat $(x - 1) (x + 3) (x + 4) = 0$ .

Sur la base de ce résultat, les zéros ou x-intercepts sont :

$x = 1$ , $x = - 3$ et $x = - 4$

Si un zéro apparaît deux fois dans la solution (il est répété), alors la courbe de la fonction touchera l'axe des x à cette valeur de x, puis rebondira sur l'axe des x en changeant de direction.

2. Trouve les points de retournement (maximum ou minimum local) : Pour trouver le point le plus élevé (maximum local) et le point le plus bas (minimum local) dans une section particulière de la courbe où elle change de direction, tu dois procéder comme suit :

Trouve la dérivée de la fonction polynomiale en utilisant la règle de la puissance. $f' (x) = n x^{n - 1}$ .
Rends la fonction égale à zéro pour trouver les coordonnées x des points de retournement. Tu peux le faire en factorisant, en complétant le carré ou en utilisant la formule quadratique.
Après cela, tu dois substituer les valeurs résultantes de x dans la fonction originale pour trouver les coordonnées y des points de retournement.

La dérivée de $f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12$ est $f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 5$
Nous devons maintenant trouver les coordonnées x des points d'inflexion :

$3 x^{2} + 12 x + 5 = 0$

Ce polynôme ne peut pas être factorisé, alors utilisons la formule quadratique.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

À partir de la fonction, nous pouvons déterminer que $a = 3$ , $b = 12$ et $c = 5$

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \times 3 \times 5}}{2 \times 3}$

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 60}}{6} = \frac{- 12 \pm \sqrt{84}}{6}$ $\sqrt{84} = \sqrt{4 x 21} = \sqrt{4} \times \sqrt{21} = 2 \sqrt{21}$

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{21}}{6}$ Simplifie par 2

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{21}}{3}$

Nous avons deux solutions, qui sont les coordonnées x des points d'inflexion :

$x = \frac{- 6 + \sqrt{21}}{3} = - 0.472$

$x = \frac{- 6 - \sqrt{21}}{3} = - 3.528$

Maintenant, nous substituons les valeurs résultantes de x de dans la fonction originale pour trouver les coordonnées y des points d'inflexion :

$f (- 0.472) = {(- 0.472)}^{3} + 6 {(- 0.472)}^{2} + 5 (- 0.472) - 12$

$f (- 0.472) = - 13.128$

$f (- 3.528) = {(- 3.528)}^{3} + 6 {(- 3.528)}^{2} + 5 (- 3.528) - 12$

$f (- 3.528) = 1.128$

Les points d' inflexion sont :

Maximum local = $(- 3.528, 1.128)$

Minimum local = $(- 0.472, - 13.128)$

3. Trouve l'ordonnée à l'origine : Remplace x = 0 dans la fonction polynomiale d'origine. Le résultat sera la coordonnée y à l'endroit où la courbe croise l'axe des y.

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12$

$f (0) = 0^{3} + 6 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12$

$f (0) = - 12$

Le point où la courbe de la fonction croise l'axe des ordonnées est (0, -12).

4. Comportement final : Les courbes des polynômes qui ont un degré de 2 ou plus sont des lignes continues et lisses qui peuvent avoir des points maximum ou minimum où elles changent de direction dans la partie centrale de la courbe, et aux deux extrémités de la courbe, elles ont tendance à aller vers l'infini positif ou négatif.

Comment déterminer le comportement final d'une fonction ?

Test du coefficient directeur : Le terme principal d'un polynôme est le terme dont l'exposant est le plus élevé. Tu devras regarder si son exposant est pair ou impair et le signe de son coefficient pour t'aider à déterminer le comportement final de la courbe.

Fonction impaire (c'est-à-dire $x^{3}, x^{5}, x^{7}$ )

a) Coefficient directeur positif : Dans ce cas, la fonction pointe vers le bas à gauche et pointe vers le haut à l'extrémité droite de la courbe.

Graphes polynomiaux Comportement final fonction impaire coefficient positif StudySmarter Comportement de fin - fonction impaire et coefficient positif, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

b) Coefficient directeur négatif : Dans ce cas, la fonction pointera vers le haut à gauche et vers le bas à l'extrémité droite de la courbe.

Graphiques polynomiaux Comportement final fonction impaire coefficient négatif StudySmarter Comportement de fin - fonction impaire et coefficient négatif, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Fonction paire (c'est-à-dire $x^{2}, x^{4}, x^{6}$ )

a) Coefficient directeur positif : Dans ce cas, la fonction pointe vers le haut aux deux extrémités de la courbe.

Graphiques polynomiaux Comportement final fonction paire coefficient positif StudySmarter Comportement final - fonction paire et coefficient positif, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

b) Coefficient directeur négatif : Dans ce cas, la fonction pointe vers le bas aux deux extrémités de la courbe.

Graphiques polynomiaux Comportement final fonction paire coefficient négatif StudySmarter Comportement final - fonction paire et coefficient négatif, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

	Fonction impaire				Fonction paire
Signe du coefficient directeur	Positif		Négatifs		Positifs		Négatifs
Comportement final	Gauche	A droite	Gauche	droite	Gauche	Gauche	Gauche	Droite
Comportement final	↓	↑	↑	↓	↑	↑	↓	↓

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12$

Le premier terme de la fonction polynomiale est $x^{3}$ ce qui signifie qu'il s'agit d'une fonction impaire avec un coefficient positif . Par conséquent, le comportement final de la courbe sera le suivant :

Gauche	droite
↓	↑

5. Esquisse la courbe de la fonction.

Graphes polynomiaux Graphes polynomiaux croquis exemple StudySmarter Esquisse d'un exemple de graphique polynomial, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

Quels sont les différents types de graphes polynomiaux ?

Il existe différents types de graphes polynomiaux en fonction de leur degré.

Remarque que le degré d'un polynôme correspond au nombre de changements de direction dans son graphique et au nombre de zéros ou d'ordonnées à l'origine.

Degré 1 - Linéaire	Degré 2 - Quadratique

Degré 3 - Cubique	Degré 4 - Quartique

Degré 5 - Quintique	Degré 6

Comment trouver l'équation d'une fonction polynomiale à partir de son graphique ?

Si on te donne le graphique d'une fonction polynomiale, tu peux trouver l'équation de la fonction polynomiale en suivant les étapes suivantes :

Identifie les zéros ou les x-intercepts (valeurs de x où la courbe croise ou touche l'axe des x).
Ecris les facteurs de la fonction en utilisant les zéros identifiés (assure-toi de changer le signe des zéros lorsque tu les écris en tant que facteurs). Par exemple, si b est une racine, alors $(x - b)$ est un facteur de la fonction.
Tous les facteurs répétés peuvent être écrits comme suit ${(x \pm b)}^{2}$ .
Trouve la valeur du facteur d'étirement $(a)$ en utilisant l'ordonnée à l'origine.

Trouve l'équation de la fonction polynomiale représentée par le graphique suivant :

Graphiques polynomiaux Trouver l'équation d'un graphique polynomial StudySmarter Trouver l'équation d'un graphique polynomial, Marilú García De Taylor - StudySmarter Originals

1. Les zéros ou les x-intercepts sont :

$x = - 4$ , $x = - 3$ et $x = 1$

x=-4

2. Les facteurs sont : $(x + 4) (x + 3) (x - 1)$

3. $f (x) = a (x + 4) (x + 3) (x - 1)$ $a = ?$

L'ordonnée à l'origine est (0, -12), tu dois donc substituer ces valeurs dans $f (x)$ pour trouver la valeur du facteur d'étirement $(a)$ .

$- 12 = a (0 + 4) (0 + 3) (0 - 1)$

$- 12 = a ((4) (3) (- 1))$

$- 12 = - 12 a$

$a = \frac{- 12}{- 12} = 1$

$a = 1$ L'équation de la fonction polynomiale est donc la suivante :

$f (x) = (x + 4) (x + 3) (x - 1)$

Tu peux la laisser comme ça, ou développer les parenthèses et combiner les termes similaires pour obtenir la forme standard de la fonction polynomiale, comme ceci :

$f (x) = (x + 4) (x + 3) (x - 1)$ Développe d'abord les deux premières parenthèses

$= (x^{2} + 3 x + 4 x + 12) (x - 1)$

$= (x^{2} + 7 x + 12) (x - 1)$

$= x^{3} + 7 x^{2} + 12 x - x^{2} - 7 x - 12$

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 5 x - 12$

Graphiques polynomiaux - Principaux enseignements

Les graphiques polynomiaux sont des représentations graphiques des fonctions polynomiales.
Certaines caractéristiques clés des graphiques polynomiaux sont le nombre de zéros ou d'abscisses, les zéros répétés, les points d'inflexion, l'ordonnée à l'origine, le type de fonction (paire ou impaire), le signe du coefficient directeur et le comportement final de la courbe.
Il existe différents types de graphiques polynomiaux en fonction de leur degré.
Le degré d'un polynôme correspond au nombre de changements de direction dans son graphique et au nombre de zéros ou d'abscisses.
Il est possible de trouver l'équation d'une fonction polynomiale à partir de son graphique.

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Questions fréquemment posées en Graphiques de polynômes

Qu'est-ce qu'un graphique de polynôme?

Un graphique de polynôme représente une fonction polynomiale sur un plan cartésien. Ces graphes peuvent avoir des formes variées, souvent courbées, déterminées par les coefficients et le degré du polynôme.

Comment trouver les zéros d'un polynôme sur son graphique?

Les zéros d'un polynôme se trouvent aux points où le graphique coupe l'axe des abscisses (x). Ce sont les valeurs de x pour lesquelles le polynôme est égal à zéro.

Qu'est-ce que le degré d'un polynôme et comment affecte-t-il son graphique?

Le degré d'un polynôme est le plus grand exposant de x. Il affecte la forme et le comportement du graphique: un degré élevé peut avoir plus de bosses ou de croisement avec l'axe des x.

Comment les coefficients d'un polynôme influencent-ils son graphique?

Les coefficients d'un polynôme déterminent l'ampleur, la direction et la symétrie du graphique. Des coefficients plus grands ou plus petits peuvent élargir ou rétrécir le graphe et inverse sa direction.

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