Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Notre étude de la trigonométrie consiste souvent à trouver des angles et des longueurs manquants. Ce faisant, nous rencontrons souvent des valeurs trigonométriques que nous devons calculer pour obtenir notre résultat. Par exemple, nous pouvons trouver la longueur manquante d'un triangle en calculant . Il nous suffit donc de prendre notre calculatrice, de taper et Bob est ton oncle. Cependant, tu t'es peut-être demandé pourquoi la valeur de est ce qu'elle est ; d'où vient ce nombre ? Dans cet article, nous allons examiner les graphiques des fonctions trigonométriques pour nous aider à répondre à cette question.
Rappelle-toi que lorsque nous avons étudié les rapports trigonométriques, nous avons examiné les fonctions , et . Une fonction trigonométrique est une fonction qui relie la taille d'un angle dans un triangle rectangle aux longueurs de ses côtés.
Il y a trois graphiques qui nous intéressent lorsque nous étudions les graphiques des fonctions trigonométriques : les graphiques de sin(x), cos(x) et tan(x). Pour les mathématiques du GCSE, tu dois en quelque sorte mémoriser à quoi ressemblent ces graphiques. Cependant, ils ont quelques propriétés clés qui les rendent assez simples à dessiner. Nous commencerons par le graphique de .
Nous pouvons voir que le graphique de y=sin(x) a une valeur maximale de 1 et une valeur minimale de -1. Nous pouvons en conclure que la valeur de sin(x) ne peut être comprise qu'entre 1 et -1. Ainsi, si nous avons une équation où l'équation n'a pas de solution.
Les valeurs x augmentent par intervalles de 90 degrés etse répètent périodiquement sur un cycle de 360 degrés. En d'autres termes, tous les 360 degrés, nous remarquons que le graphique se répète.
À différents endroits, le graphique est symétrique. Par exemple, nous avons une symétrie par rapport à la ligne . Cela nous sera utile plus tard pour trouver des solutions multiples aux équations trigonométriques.
Suppose que . En regardant le graphique, nous pouvons voir que à , et . Puisque le graphique de continuera à osciller à l'infini, nous pourrions en conclure que l'équation a un nombre infini de solutions. Si une équation trigonométrique a une solution, elle aura un nombre infini de solutions et nous utiliserons plus tard la propriété de symétrie pour essayer de trouver de telles solutions.
Le nom officiel d'un graphique qui prend la forme d'un sinus est une onde sinusoïdale. Beaucoup de choses prennent naturellement la forme d'une onde sinusoïdale, par exemple le mouvement des planètes autour du soleil.
Graphiques des fonctions trigonométriques - Graphique de y=cos(x), Jordan Madge- StudySmarter Originals
Si tu n'as pas été très attentif dans la dernière section, tu peux penser que ce graphique est à peu près le même que celui de . Cependant, si tu reviens en arrière et que tu joues à repérer les différences, tu remarqueras que le graphique de est simplement le graphique de décalé de 90 degrés vers la gauche.
De la même façon que le graphique de a également un maximum à un minimum à et une propriété de symétrie. Nous devons simplement nous rappeler que le graphique de commence à alors que le graphique de commence à .
Graphiques des fonctions trigonométriques - Graphique de y=tan(x), Jordan Madge- StudySmarter Originals
Le graphique de est très différent de celui de et . Cependant, il est similaire en ce sens qu'il est périodique, et nous pouvons voir qu'il se répète tous les degrés.
Le graphique de possède ce que l'on appelle des asymptotes, c'est-à-dire des points vers lesquels le graphique tend mais qu'il n'atteint jamais tout à fait. Elles sont représentées sur le graphique par des lignes en pointillés. Nous pouvons voir que la première asymptote positive apparaît à et se répète ensuite tous les degrés.
Contrairement à et le graphique de n'a pas de maximum ou de minimum de plus ou moins ; il a un maximum et un minimum de plus ou moins l'infini. Ainsi, l'équation peut être résolue pour obtenir un nombre infini de valeurs réelles pour x.
Dans la section précédente, nous avons brièvement abordé le fait que si une équation trigonométrique a une solution, elle aura un nombre infini de solutions. Dans la section suivante, nous allons voir comment trouver des solutions multiples aux équations trigonométriques.
Comme les équations trigonométriques peuvent avoir un nombre infini de solutions, nous devons préciser une limite lorsque nous énonçons les réponses afin de ne pas passer un temps infini à trouver toutes les dernières solutions. Cette limite sera généralement exprimée sous la forme d'un intervalle, par exemple, ou . Veille à tenir compte de cette limite lorsque tu réponds aux questions.
Trouve les solutions de , pour l'intervalle .
Solution :
La première étape consiste à dessiner le graphique de et sur le même axe pour l'intervalle .
Graphiques des fonctions trigonométriques - Graphique montrant les solutions de sin(x)=0,9, Jordan Madge- StudySmarter Originals
Les points d'intersection ont été étiquetés en orange comme étant 1 et 2, ce sont les solutions dont nous cherchons à trouver les valeurs exactes.
La deuxième étape consiste à trouver la valeur exacte de la solution initiale. Pour ce faire, il suffit de taper dans notre calculatrice. Nous obtenons alors . Il s'agit clairement de la première solution indiquée sur le diagramme puisqu'elle se trouve entre et .
Il est important de noter que ta calculatrice doit être en mode degré pour calculer les valeurs trigonométriques puisque nous travaillons en degrés. Si ta calculatrice est en mode radian, la réponse peut varier et tu peux donc obtenir une réponse incorrecte. Tu sais que ta calculatrice est en mode degré lorsqu'un petit D apparaît en haut de l'écran. Si tu vois un R ou toute autre lettre, c'est qu'elle n'est pas dans le bon mode et qu'il faut la changer.
L'étape suivante consiste à trouver l'autre solution en utilisant la propriété symétrique du graphique de sin(x). Si nous le remarquons, le graphique est symétrique à propos id="5307063" role="math" . Nous pouvons donc trouver la deuxième solution en calculant la distance entre et et en ajoutant cette valeur à . Ceci peut être illustré dans le diagramme ci-dessous :
Graphiques des fonctions trigonométriques - Graphique montrant les solutions de sin(x)=0,9, Jordan Madge- StudySmarter Originals
Puisque la distance entre et est la deuxième solution est id="5307064" role="math" . Par conséquent, les deux solutions de l'équation dans l'intervalle sont id="5307065" role="math" et id="5307066" role="math" .
Trouve les solutions de pour l'intervalle .
Solution :
La première étape consiste à dessiner les graphiques de et id="5307067" role="math" sur les mêmes axes pour l'intervalle afin que nous puissions voir les solutions que nous essayons de trouver.
Graphiques des fonctions trigonométriques - Graphique montrant les solutions de cos(x)=-0,2, Jordan Madge- StudySmarter Originals
L'étape suivante consiste à trouver la solution initiale en tapant dans notre calculatrice. Nous obtenons id="5307068" role="math" . Il est clair qu'il s'agit de la solution étiquetée 2 sur le diagramme, puisqu'elle est un peu plus grande que id="5307073" role="math" mais moins que id="5307074" role="math" .
Nous devons maintenant trouver l'autre solution représentée sur le diagramme. Puisque le graphique de est symétrique par rapport à la droite nous pouvons voir que l'autre solution doit se trouver à id="5307069" role="math" . Ainsi, les deux solutions de id="5307070" role="math" dans l'intervalle sont id="5307072" role="math" et id="5307071" role="math" .
Trouve les solutions de pour l'intervalle .
Solution :
La première étape, comme d'habitude, consiste à esquisser les graphiques et id="5307075" role="math" sur les mêmes axes pour l'intervalle .
Graphiques des fonctions trigonométriques - Graphique montrant les solutions de tan(x)=2,3, Jordan Madge- StudySmarter Originals
Nous pouvons voir qu'il y a deux points d'intersection et donc deux solutions à . La première solution peut être trouvée en tapant id="5307076" role="math" dans notre calculatrice. Nous obtenons ainsi id="5307077" role="math" Il s'agit clairement de la première solution puisqu'elle se trouve entre et degrés.
Le graphique de se répète périodiquement après degrés. Par conséquent, nous pouvons trouver la solution suivante en ajoutant des multiplications de 180 à la solution initiale. La deuxième solution se trouve donc à id="5307080" role="math" . Par conséquent, les deux solutions de dans l'intervalle sont id="5307078" role="math" et id="5307079" role="math" .
Les solutions à toutes les équations impliquant tan(x) peuvent être trouvées en ajoutant des multiples de 180 à la solution initiale.
Trouve les solutions de pour l'intervalle .
Solution :
Nous ne pouvons pas résoudre cette équation sous sa forme actuelle. Nous devons d'abord diviser les deux côtés par pour obtenir par lui-même. Nous obtenons . Maintenant, nous pouvons trouver la première solution de l'équation en prenant l'inverse du tan des deux côtés pour obtenir .
Puisqu'il s'agit de tan, nous savons que les solutions peuvent être trouvées en ajoutant ou en soustrayant des multiples de à la solution initiale. Ainsi, la solution suivante sera à Cependant, cette valeur est en dehors de l'intervalle. Nous pouvons obtenir une autre solution en soustrayant de pour obtenir qui se trouve dans la plage. En soustrayant encore donnera une solution hors de l'intervalle, donc les deux solutions à dans l'intervalle sont et .
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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