Qu'est-ce qu'une hyperbole en mathématiques ?

Une hyperbole est une courbe géométrique définie comme le lieu des points dont la différence des distances à deux points fixes (foyers) est constante.

Comment tracer une hyperbole ?

Pour tracer une hyperbole, on utilise son équation canonique, puis on identifie et trace les asymptotes, et on dessine la courbe symétriquement par rapport aux asymptotes.

Quelle est l'équation d'une hyperbole ?

L'équation type d'une hyperbole est (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 pour les hyperboles à branches horizontales et (y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1 pour celles à branches verticales.

À quoi servent les asymptotes d'une hyperbole ?

Les asymptotes aident à comprendre le comportement de l'hyperbole à l'infini ; elles représentent les limites vers lesquelles les branches de l'hyperbole tendent sans les atteindre.

What is Investigating Hyperboles?

AI Summary

Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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Pour une hyperbole de la forme\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \] indique les coordonnées de ses sommets.

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Pour une hyperbole de la forme\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]Quelles sont les coordonnées de ses foyers ?

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Quelle est la direction de l'axe transversal d'une hyperbole de la forme\[ \frac{(x-h)^2}{b^2} - \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 ?\]

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Quelle est la longueur de l'axe transversal d'une hyperbole ?\[ \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1?\]

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Quelles sont les directions de la paire de courbes d'une hyperbole ? \[ \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1\]ouvrir ?

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Gabriel Freitas.

Quality reviewed by Gabriel Freitas.
Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

Une hyperbole est un type de section conique composée de deux courbes qui ressemblent à des paraboles (bien qu'elles ne le soient pas). Ces paires de courbes, également appelées branches, peuvent s'ouvrir de haut en bas ou de gauche à droite. En outre, chaque courbe contient un sommet.

Dans cet article, nous allons examiner les propriétés des hyperboles et les équations d'identité qui décrivent ces sections coniquesa>. En nous familiarisant avec ces concepts, nous pourrons finalement représenter graphiquement les hyperboles à partir d'une paire de coordonnées.

Une hyperbole est l'ensemble H de tous les points P d'un plan où la valeur absolue de la différence de distance entre deux points fixes, appelés foyers,_F1 et_F2, est constante, k, c'est-à-dire

$H = {P : | | P F_{1} | - | P F_{2} | | = k, k \in ℝ}$ .

Nous examinerons plus en détail les composantes de ce graphique dans la section suivante.

Pour visualiser cela, observe le graphique ci-dessous.

Remarque que contrairement aux autres types de sections coniques, les hyperboles sont constituées de deux branches et non d'une seule.

Composantes géométriques d'une hyperbole

D'un point de vue géométrique, une hyperbole est produite lorsqu'un plan se coupe parallèlement à l'axe du cône d'un cône à double encoche.

Examinons de plus près une représentation graphique d'une hyperbole. Nous présentons ici d'autres éléments essentiels qui composent une hyperbole.

Toute hyperbole possède deux axes de symétrie : l'axe transversal et l'axe conjugué
L'axe conjugué (l'axe des y) est une ligne perpendiculaire à l'axe transversal et contient les co-vertices.
L'axe transversal (l'axe des x) est une ligne qui passe par le centre de l'hyperbole. Les foyers (foyer_F1 et foyer_F2) se trouvent sur la ligne transversale. Les sommets sont les points d'intersection des deux branches de l'hyperbole avec la ligne transversale. Les foyers et les sommets sont symétriques par rapport à l'axe conjugué, ce qui implique qu'ils auront la même coordonnée x mais avec des signes opposés.
Le centre est le point médian de l'axe transversal et de l'axe conjugué. C'est l'endroit où les deux lignes se croisent.
Chaque hyperbole a deux asymptotes (lignes pointillées rouges) qui passent par le centre. Lorsqu'une hyperbole s'éloigne de son centre, les branches se rapprochent de ces asymptotes. Par définition, les branches de l'hyperbole ne croiseront jamais ses asymptotes.
Le rectangle central (lignes pointillées orange) est centré sur l'origine. Les côtés passent par chaque sommet et co-vertex.

Il est utile de l'identifier lorsque l'on trace le graphique de l'hyperbole et de ses asymptotes. Pour tracer les asymptotes de l'hyperbole, il suffit de prolonger les diagonales du rectangle central.

Équations des hyperboles

Déduisons maintenant l'équation d'une hyperbole centrée sur l'origine.

Soit P = (x, y), et les foyers d'une hyperbole centrée sur l'origine sont_F1 = (-c, 0) et_F2 = (c, 0).

D'après le graphique ci-dessus, est un sommet de l'hyperbole, et donc la distance de à $(a, 0)$ est $a - (-c) = a + c$ . De même, la distance de à est $c - a.$

La somme des distances entre les foyers et le sommet est $(a + c) - (c - a) = 2a .$ Soit P(x, y) un point de l'hyperbole que nous voulons étudier. À partir de là, nous pouvons définir _d1 et _d2 par :

_d1 = distance de (c, 0) à (x, y).

_d2 = distance de (-c, 0) à (x, y)

$Par définition, une hyperbole est l'ensemble de tous les points où la différence de la distance entre (x, y) et les foyers est constante. Ainsi, d2 - d1 est constant pour tout point (x, y) de l'hyperbole. Nous savons que la différence de ces distances est 2a pour le sommet (a, 0). Donc, d2 - d1 = 2a.$

$Pour trouver l'équation d'une hyperbole, nous allons utiliser la formule des distances et résoudre notre expression de façon algébrique.$

$La formule de la distance$

$Rappelle-toi que la formule de la distance pour deux points (x1, y1) et (x2, y2) est donnée par la formule suivante$

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + (y}$

$Par la formule de la distance entre (-c, 0) et (c, 0)$

$d_{2} - d_{1} = \sqrt{(x - {(- c))}^{2} + {(y - 0)}^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = 2 a \Rightarrow \sqrt{(x + {c)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a \Rightarrow \sqrt{(x + {c)}^{2} + y^{2}} = 2 a + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}$

En élevant les deux côtés au carré, on obtient

$\Rightarrow (x + {c)}^{2} + y^{2} = {(2 a + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}})}^{2} \Rightarrow x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} = 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} + {(x - c)}^{2} + y^{2}$

Développe les binômes et annule les termes semblables,

$\Rightarrow x^{2} + 2 c x + c^{2} + y^{2} = 4 a^{2} + 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} + x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2} \Rightarrow 4 c x - 4 a^{2} = 4 a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}$

Maintenant, divise les deux côtés par 4 et élève les deux côtés au carré,

$\Rightarrow c x - a^{2} = a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} \Rightarrow {(c x - a^{2})}^{2} = {(a \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}})}^{2}$

En développant ceci et en annulant à nouveau les termes similaires, on obtient,

$\Rightarrow c^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{4} = a^{2} (x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2}) \Rightarrow c^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{4} = a^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} \Rightarrow c^{2} x^{2} - a^{2} x^{2} - a^{2} y^{2} = a^{2} c^{2} - a^{4}$

Cela se simplifie à

$\Rightarrow x^{2} (c^{2} - a^{2}) - a^{2} y^{2} = a^{2} (c^{2} - a^{2})$

$La distance entre les foyers est 2c avec c2 = a2 + b2. On peut donc poser b2 = c2 - a2. Ce faisant, nous obtenons$

$\Rightarrow x^{2} b^{2} - a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$

En divisant maintenant les deux côtés par ^a2b2, l'équation de l'hyperbole devient

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

comme il se doit ! Tu trouveras ci-dessous un exemple pratique qui illustre l'utilisation de la formule de la distance dans le cas des hyperboles.

Détermine l'équation de l'hyperbole représentée par le graphique ci-dessous.

Solution

L'hyperbole ci-dessous a pour foyers (0 , -5) et (0, 5) tandis que les sommets sont situés à (0, -4) et (0, 4). La distance entre ces deux coordonnées est de 8 unités.

Ainsi, la différence entre la distance entre n'importe quel point (x, y) de l'hyperbole et les foyers est de 8 ou -8 unités, selon l'ordre dans lequel tu fais la soustraction.

En utilisant la formule de la distance, nous obtenons l'équation de l'hyperbole comme suit.

Soit ,

_d1 = distance de (0, 5) à (x, y)

_d2 = distance de (0, -5) à (x, y)

$d_{2} - d_{1} = \pm 8 \Rightarrow \sqrt{{(y - 5)}^{2} + x^{2}} - \sqrt{{(y + 5)}^{2} + x^{2}} = \pm 8 \Rightarrow \sqrt{{(y - 5)}^{2} + x^{2}} = \pm 8 + \sqrt{{(y + 5)}^{2} + x^{2}} \Rightarrow {(y - 5)}^{2} + x^{2} = {(\pm 8 + \sqrt{{(y + 5)}^{2} + x^{2}})}^{2} \Rightarrow y^{2} - 10 y + 25 + x^{2} = 64 + 16 \sqrt{{(y + 5)}^{2} + x^{2}} + {(y + 5)}^{2} + x^{2} \Rightarrow y^{2} - 10 y + 25 + x^{2} = 64 \pm 16 \sqrt{{(y + 5)}^{2} + x^{2}} + y^{2} + 10 y + 25 + x^{2} \Rightarrow - 20 y - 64 = \pm 16 \sqrt{{(y + 5)}^{2} + x^{2}} \Rightarrow 5 y + 16 = \pm 4 \sqrt{{(y + 5)}^{2} + x^{2}} \Rightarrow {(5 y + 16)}^{2} = 16 {(\sqrt{{(y + 5)}^{2} + x^{2}})}^{2} \Rightarrow 25 y^{2} + 160 y + 256 = 16 (y^{2} + 10 y + 25 + x^{2}) \Rightarrow 25 y^{2} + 160 y + 256 = 16 y^{2} + 160 y + 400 + 16 x^{2} \Rightarrow 9 y^{2} - 16 x^{2} = 144$

En divisant l'expression par $9 \times 16,$ notre résultat final devient

$\Rightarrow \frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{9} = 1$

Propriétés des hyperboles

Passons maintenant aux propriétés des hyperboles. Il y a deux cas à considérer ici :

Cas 1 : Hyperboles centrées sur l'origine (0, 0)

Propriété	Centre (0,0)
Forme standard de l'équation	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$
Tracé général
Ouverture	S'ouvre à gauche et à droite	S'ouvre en haut et en bas
Direction de l'axe transversal	Horizontal	Vertical
Foyers	(c, 0), (-c, 0)	(0, c), (0, -c)
Sommets	(a, 0), (-a, 0)	(0, a), (0, -a)
Longueur de l'axe transversal	2a unités	2a unités
Longueur de l'axe conjugué	2b unités	2b unités
Équation des asymptotes	$y = \pm \frac{b}{a} x$	$y = \pm \frac{a}{b} x$

Cas 2 : Hyperboles centrées sur (h, k)

Propriété	Centre (h,k)
Forme standard de l'équation	$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$	$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$
Tracé général
Sommets	(h + a, k), (h - a, k)	(h, k + a), (h, k - a)
Foyers	(h + c, k), (h - c, k)	(h, k + c), (h, k - c)
Équation des asymptotes	$y = k \pm \frac{b}{a} (x - h)$	$y = k \pm \frac{a}{b} (x - h)$

Localisation des foyers et des sommets d'une hyperbole donnée

Identifie les foyers et les sommets de l'hyperbole $\frac{y^{2}}{49} - \frac{x^{2}}{32} = 1$ .

Solution

L'équation est de la forme

$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$

Ainsi, l'axe transversal se trouve sur l'axe des y. Le centre est à l'origine, donc les ordonnées sont les sommets du graphique. Nous pouvons donc trouver les sommets en fixant x = 0 et en résolvant pour y comme ci-dessous.

$\frac{y^{2}}{49} - \frac{{(0)}^{2}}{32} = 1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{49} = 1 \Rightarrow y^{2} = 49 \Rightarrow y = \pm \sqrt{49} = \pm 7$

Les foyers sont situés à $(0, \pm c)$ et par la relation entre a, b et c établie précédemment, nous obtenons

$c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow c = \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \pm \sqrt{49 + 32} = \pm \sqrt{81} = \pm 9$

Ainsi, les sommets sont (0, -7) et (0, 7) tandis que les foyers sont (0, -9) et (0, 9). Le graphique est représenté ci-dessous.

Identifie les foyers et les sommets de l'hyperbole $\frac{{(y - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{25} = 1$ .

Solution

L'équation est de la forme

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Ainsi, l'axe transversal se trouve sur l'axe des y. Ici, h = 3 et k = 2, le centre se trouve donc à (3, 2). Pour trouver les sommets, nous allons utiliser la formule ci-dessous.

$(h, k \pm a) \Rightarrow (3, 2 \pm \sqrt{9}) = (3, 2 \pm 3)$

Les foyers sont situés à $(0, \pm c)$ et en utilisant $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ comme précédemment, nous obtenons

$c = \pm \sqrt{9 + 25} = \pm \sqrt{34} \approx \pm 5.83 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Ainsi, les sommets sont (3, -1) et (3, 5) tandis que les foyers sont (0, -5,83) et (0, 5,83). Le graphique est représenté ci-dessous.

L'équation des asymptotes peut être trouvée à l'aide de la formule donnée dans le tableau. Essaie-la pour ces exemples ! Il est toujours utile de dessiner d'abord les asymptotes avant de dessiner les deux branches d'une hyperbole.

Trouver l'équation d'une hyperbole à partir des foyers et des sommets

Exprime l'hyperbole suivante sous forme standard étant donné les foyers et les sommets suivants.

$V e r t i c e s : (\pm 6, 0) F o c i : (\pm 2 \sqrt{10}, 0)$

Solution

Remarque que les sommets et les foyers sont situés sur l'axe des x. Par conséquent, l'équation de l'hyperbole prendra la forme suivante

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Puisque les sommets sont $(\pm 6, 0),$ alors

$a = 6 \Rightarrow a^{2} = 36$

Puisque les foyers sont $(\pm 2 \sqrt{10}, 0),$ alors

c = 2 \sqrt{10} \Rightarrow c^{2} = 40

En résolvant pour ^b2, nous obtenons

$b^{2} = c^{2} - a^{2} = 40 - 36 \Rightarrow b^{2} = 4$

Maintenant que nous avons trouvé ^a2 et ^b2, nous pouvons substituer ce résultat dans la forme standard comme suit

$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Le graphique est illustré ci-dessous.

Exprime l'hyperbole suivante sous forme standard étant donné les foyers et les sommets suivants.

$V e r t i c e s : (1, - 2) a n d (1, 8) F o c i : (1, - 10) a n d (1, 16)$

Solution

Les sommets et les foyers ont les mêmes coordonnées x, l'axe transversal est donc parallèle à l'axe y. L'équation de l'hyperbole prendra donc la forme suivante

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Nous devons d'abord identifier le centre à l'aide de la formule du point médian. Le centre se trouve entre les sommets (1, -2) et (1, 8), donc

$(h, k) = (\frac{1 + 1}{2}, \frac{- 2 + 8}{2}) = (1, 3)$

La longueur de l'axe transversal, 2a, est limitée par les sommets. Pour trouver ^a2, nous devons évaluer la distance entre les coordonnées y des sommets.

$2 a = |- 2 - 8| = |- 10| = 10 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow a^{2} = 25$

Les coordonnées des foyers sont

$(h, k \pm c) \Rightarrow (h, k - c) = (1, - 10) a n d (h, k + c) = (1, 16)$

En utilisant k + 3 = 16 et en remplaçant k = 3, nous obtenons

$c = 13 \Rightarrow c^{2} = 169$

Ainsi, nous pouvons résoudre ^b2 par

$b^{2} = c^{2} - a^{2} \Rightarrow b^{2} = 169 - 25 = 144$

Enfin, en substituant ces valeurs dans la forme standard, nous obtenons

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{144} = 1$

Le graphique est illustré ci-dessous.

Représentation graphique des hyperboles

Dans cette dernière section, nous allons représenter graphiquement des hyperboles en utilisant les concepts introduits tout au long de cette leçon.

Représentation graphique d'une équation sous forme standard

Revenons à nos exemples précédents pour ce segment,

Trace le graphique de l'hyperbole $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Solution

Comme tu peux le voir, l'hyperbole est déjà sous la forme standard.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Cela signifie que nous avons une paire de courbes qui s'ouvrent à gauche et à droite. Les sommets sont $(\pm 6, 0)$ et les foyers sont $(\pm 2 \sqrt{10}, 0)$ . Le centre de l'hyperbole est l'origine, (0, 0). Ici ,

$a^{2} = 36 \Rightarrow a = 6 a n d b^{2} = 4 \Rightarrow b = 2$

L'équation des asymptotes est

$y = \pm \frac{b}{a} x = \pm \frac{2}{6} x = \pm \frac{1}{3} x$

Il faut toujours esquisser les asymptotes lorsque l'on fait un graphique d'hyperboles. De cette façon, nous pouvons dessiner avec précision les courbes associées à l'équation.

Le graphique de $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ est illustré ci-dessous.

Graphique d'une équation qui n'est pas sous forme standard

Dans cette section, il peut être utile de rappeler la méthode des carrés complets pour résoudre de tels problèmes.

Trace le graphique de l'hyperbole ci-dessous.

9 x^{2} - 25 y^{2} - 36 x - 50 y - 214 = 0

Solution

Pour résoudre cette expression, nous devons essayer de la réarranger sous la forme standard d'une hyperbole. Pour ce faire, nous complétons le carré comme suit.

$9 x^{2} - 36 x - 25 y^{2} - 50 y = 214 9 (x^{2} - 4 x + A) - 25 (y^{2} + 2 y + B) = 214 + 9 (A) - 25 (B)$

Nous devons identifier A et B. Ce faisant, nous obtenons

$9 (x^{2} - 4 x + 4) - 25 (y^{2} + 2 y + 1) = 214 + 9 (4) - 25 (1) \Rightarrow 9 {(x - 2)}^{2} - 25 {(y + 1)}^{2} = 225$

En divisant les deux côtés par 225, nous obtenons l'équation suivante

$\Rightarrow \frac{{(x - 2)}^{2}}{25} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$

Le centre est (2, -1). Nous avons également les valeurs $h = 2, k = - 1, a = 5, b = 3 a n d c = \sqrt{34}$ . Nous obtenons donc les valeurs suivantes pour les sommets, les foyers et les asymptotes.

Les sommets

$(h \pm a, k) = (2 \pm 5, - 1) \Rightarrow (- 3, - 1) a n d (7, - 1)$

Les foyers

$(h \pm c, k) = (2 \pm \sqrt{34}, - 1) \Rightarrow (2 - \sqrt{34}, - 1) a n d (2 - \sqrt{34}, - 1)$

Les asymptotes

$y = k \pm \frac{b}{a} (x - h) = - 1 \pm \frac{3}{5} (x - 2) \Rightarrow y + 1 = - \frac{3}{5} (x - 2) a n d y + 1 = \frac{3}{5} (x - 2)$

Le graphique de $\frac{{(x - 2)}^{2}}{25} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{9} = 1$ est illustré ci-dessous.

L'excentricité d'une hyperbole

L'excentricité d'une section conique décrit à quel point la courbe est proche d'un cercle. L'excentricité est décrite par la variable e .

L'excentricité d'un cercle est nulle, e = 0.

L'excentricité d'une hyperbole est toujours supérieure à 1, e > 1. La formule pour trouver l'excentricité d'une hyperbole est donnée ci-dessous.

Formule : Excentricité d'une hyperbole

$e = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Plus l'excentricité est grande, moins la section conique est incurvée.

Trouve l'excentricité de l'hyperbole. $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Solution

Ici, ^a2 = 25 et ^b2 = 9. Ainsi, l'excentricité de cette hyperbole est donnée par

$a = \sqrt{25} = 5 \Rightarrow e = \frac{\sqrt{25 + 9}}{5} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{34}}{5} \approx 1.17 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

Hyperboles - Points clés

Pour localiser les sommets et les foyers étant donné l'équation d'une hyperbole sous forme standard, nous adoptons les étapes suivantes :

Identifier l'emplacement de l'axe transversal

I f t h e e q u a t i o n i s o f t h e f o r m \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow t r a n s v e r s e a x i s l i e s o n t h e x - a x i s a n d t h e v e r t i c e s a r e (\pm a, 0) a n d t h e f o c i a r e (\pm c, 0)

I f t h e e q u a t i o n i s o f t h e f o r m \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow t r a n s v e r s e a x i s l i e s o n t h e y - a x i s a n d t h e v e r t i c e s a r e (0, \pm a) a n d t h e f o c i a r e (0, \pm c)

Résoudre a à l'aide de $a = \sqrt{a^{2}}$
Résoudre c à l'aide de $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Pour exprimer une équation sous forme standard étant donné les sommets et les foyers d'une hyperbole centrée sur (0,0), nous utilisons la méthode ci-dessous :

Détermine l'emplacement de l'axe transversal

I f t h e v e r t i c e s a r e (\pm a, 0) a n d t h e f o c i a r e (\pm c, 0) \Rightarrow t r a n s v e r s e a x i s l i e s o n t h e x - a x i s a n d t h e e q u a t i o n i s o f t h e f o r m \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

I f t h e v e r t i c e s a r e (0, \pm a) a n d t h e f o c i a r e (0, \pm c) \Rightarrow t r a n s v e r s e a x i s l i e s o n t h e y - a x i s a n d t h e e q u a t i o n i s o f t h e f o r m \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1

Résous ^b2 en utilisant ^b2 = ^c2 - ^a2
Substitue ^a2 et ^b2 dans la forme standard établie à l'étape 1.

Pour écrire une équation sous forme standard étant donné les sommets et les foyers d'une hyperbole centrée sur (h,k), nous appliquons la technique ci-dessous :

Décide si l'axe transversal est parallèle à l'axe des x ou à l'axe des y.

I f t h e y - c o o r d i n a t e s o f t h e v e r t i c e s a n d f o c i a r e t h e s a m e \Rightarrow t r a n s v e r s e a x i s l i e s o n t h e x - a x i s a n d t h e e q u a t i o n i s o f t h e f o r m \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

I f t h e x - c o o r d i n a t e s o f t h e v e r t i c e s a n d f o c i a r e t h e s a m e \Rightarrow t r a n s v e r s e a x i s l i e s o n t h e y - a x i s a n d t h e e q u a t i o n i s o f t h e f o r m \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

Identifie le centre de l'hyperbole (h, k) à l'aide de la formule du point médian en fonction des coordonnées des sommets. $(h, k) = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$
Évalue ^a2 en résolvant la longueur de l'axe transversal, 2a. Cette longueur est donnée par la distance entre les deux sommets.
Évalue ^c2 en utilisant les coordonnées des foyers donnés et les valeurs de h et k déterminées à l'étape 2.
Résous ^b2
Substitue ^a2, ^b2, h et k dans la forme standard établie à l'étape 1.

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