Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
Get started for freeQuelle est la forme standard de l'équation d'une hyperbole ?
Quelles sont les formes générales des équations paramétriques d'une hyperbole horizontale et d'une hyperbole verticale ?
Comment dériver les équations des hyperboles paramétriques à partir de la forme standard ?
Quelles sont les étapes pour prouver que les équations paramétriques proposées représentent une hyperbole ?
Quelle est l'équation paramétrique de l'hyperbole dont l'équation est \( \frac{(x - 2)^2}{25}) - \frac{y^2}{9} = 1 \) ?
Dans quel domaine les orbites hyperboliques sont-elles utilisées pour modéliser le mouvement des objets célestes ?
Quelle est l'application des fonctions hyperboliques dans l'électronique et les télécommunications ?
Quels sont les quatre types de sections coniques ?
Comment trouver les équations paramétriques d'une ellipse ?
Quelles sont les équations paramétriques d'une parabole verticale ?
Content creation by StudySmarter Biology Team.
Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Hyperbolesa> paramétriques : Introduction Les équations paramétriques sont incroyablement utiles lorsqu'il s'agit d'analyser et de comprendre des formes géométriques complexes, en particulier les sections coniques telles que les hyperboles. En utilisant des équations paramétriques pour représenter ces formes, tu peux obtenir des informations précieuses sur leurs propriétés et leur comportement. Cet article plonge dans le monde fascinant des hyperboles paramétriques, en te fournissant des instructions étape par étape pour dériver des équations paramétriques et prouver leur validité. De plus, tu exploreras des exemples pratiques d'hyperboles paramétriques et leurs applications dans des situations réelles. À la fin de cet article, tu auras acquis des bases solides pour comprendre et analyser les équations paramétriques des hyperboles, ainsi que d'autres sections coniques comme les ellipses et les paraboles.
Les équations paramétriques pour les hyperboles peuvent être exprimées à l'aide des formes générales suivantes :
:x = h + a * cosh(t) y = k + b * sinh(t)Pour une hyperbole verticale (axe principal le long de l'axe des y)
:x = h + a * sinh(t) y = k + b * cosh(t)
Prenons un exemple pour dériver les équations paramétriques d'une hyperbole horizontale. Étant donné l'équation :
(x - 3)^2 / 4 - (y + 2)^2 / 9 = 1
Effectue ces calculs :
Les équations paramétriques correspondantes sont :
x = 3 + 2 * cosh(t) y = -2 + 3 * sinh(t)
Pour prouver que tes équations paramétriques représentent une hyperbole, tu peux éliminer le paramètre \( t \) en utilisant des fonctions trigonométriques ou hyperboliques ou en convertissant en coordonnées polaires. Méthode 1 : Élimination du paramètre à l'aide de fonctions hyperboliques Pour un ensemble d'équations paramétriques - telles que :
x = h + a * cosh(t) y = k + b * sinh(t)Tu peux éliminer le paramètre \N( t \N) en utilisant l'identité hyperbolique \N( \Ncosh^2(t) - \Nsinh^2(t) = 1 \N), comme suit :
cosh(t) = (x - h) / a sinh(t) = (y - k) / b2
.Place les deux équations au carré :
cosh^2(t) = ((x - h) / a)^2 sinh^2(t) = ((y - k) / b)^23. Soustrais les fonctions hyperboliques au carré en utilisant l'identité :
((x - h) / a)^2 - ((y - k) / b)^2 = 14. Simplifie l'expression pour obtenir la forme standard de l'équation de l'hyperbole.
Si l'expression simplifiée est la même que l'équation originale de l'hyperbole, cela démontre que les équations paramétriques données représentent bien l'hyperbole.
x = h + a * cos(θ) * sec(φ) y = k + b * sin(θ) * sec(φ)où \( φ \) est le paramètre et \( θ \) est l'angle formé par les coordonnées polaires. 2. Élimine le paramètre \( φ \) en divisant les équations et en utilisant l'identité trigonométrique \( \tan^2(θ) + 1 = \sec^2(θ) \), comme suit :
(y - k) / b * sin(θ) = (x - h) / a * cos(θ)3
.Réarrange les termes et élève les deux côtés au carré, puis simplifie l'expression. Si l'expression obtenue est équivalente à l'équation originale de l'hyperbole, cela prouve que les équations paramétriques représentent l'hyperbole. En suivant ces méthodes, tu t'assures que tes équations paramétriques d'hyperboles sont des représentations valides, ce qui te donne la confiance nécessaire pour aborder des problèmes plus avancés ou appliquer tes connaissances à des applications réelles dans divers domaines.
Étude de cas 1 : la réflexion de la lumière - La trajectoire de la lumière réfléchie peut souvent être modélisée à l'aide d'un miroir hyperbolique, qui concentre la lumière d'une source éloignée sur un seul point. La forme du miroir peut être décrite comme une hyperbole, et son équation peut être donnée sous forme paramétrique.
:x = 2 + 5 * cosh(t) y = 3 * sinh(t)À l'aide de ces équations, on peut déterminer le foyer et la trajectoire des rayons lumineux qui se réfléchissent sur le miroir hyperbolique, ce qui permet de concevoir et d'analyser avec précision des systèmes optiques tels que des télescopes ou des phares.
Étude de cas 2 : orbites de satellites - Les orbites hyperboliques sont utilisées pour modéliser les trajectoires des satellites ou des engins spatiaux lors d'une manœuvre d'assistance gravitationnelle ou d'un survol. Dans ces scénarios, un satellite ou un engin spatial peut utiliser la gravité d'une planète pour changer sa vitesse et sa direction, en suivant une trajectoire hyperbolique.
:x = 7 * cosh(t) y = 3 + 4 * sinh(t)Ces équations paramétriques peuvent être utilisées en conjonction avec la mécanique gravitationnelle et orbitale pour calculer la trajectoire du satellite pendant de telles manœuvres, optimisant ainsi l'efficacité et les performances des missions spatiales.
:x = h + a * cos(t) y = k + b * sin(t)
Par exemple, avec l'équation de l'ellipse \N( \frac{(x - 2)^2}{9}) + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1 \), les équations paramétriques sont :
x = 2 + 3 * cos(t) y = -1 + 2 * sin(t)
:x = h + t y = k + a * t^2Parabole horizontale
:x = h + a * t^2 y = k + t.
Par exemple, avec l'équation parabolique \( y = x^2 - 6x + 8 \), réécris-la d'abord sous forme standard : \( y = (x - 3)^2 - 1 \). Les équations paramétriques correspondantes sont :
x = 3 + t y = -1 + t^2
Hyperboles paramétriques : sections coniques représentées à l'aide d'équations paramétriques, fournissant des indications précieuses sur leurs propriétés et leur comportement.
Forme standard d'une hyperbole : \(\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\), où (h, k) est le centre et a et b représentent les distances aux sommets et aux co-vertices.
Équations paramétriques pour les hyperboles : hyperbole horizontale - \(x = h + a * \cosh(t), y = k + b * \sinh(t)\) ; hyperbole verticale - \(x = h + a * \sinh(t), y = k + b * \cosh(t)\).
Prouve les équations paramétriques de l'hyperbole : Élimine le paramètre à l'aide des fonctions hyperboliques ou trigonométriques et vérifie si l'expression obtenue correspond à l'équation originale.
Applications réelles des hyperboles paramétriques : Optique, électronique, astronomie, systèmes de navigation et cartographie.
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
StudySmarter is a global EdTech platform helping millions of students learn faster and succeed in exams like GCSE, A Level, SAT, ACT, and Abitur. Our expert-reviewed content, interactive flashcards, and AI-powered tools support learners across STEM, Social Sciences, Languages, and more.
Access subjects, mock exams, and features to revise more efficiently. All 100% free!
Get your free account!
