Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
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Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
Voyons comment intégrer les fonctions trigonométriques telles que sin, cos et tan, ainsi que les fonctions trigonométriques inverses telles que arcsin, arccos et arctan.
Chaque fonction trigonométrique a son intégrale définie :
L'intégrale de \(\sin{x}\) est \(-\cos{x} + c\). En utilisant la notation intégrale, \(\int{\sin{x}}\space dx\).
L'intégrale de \(\cos{x}\) est \(\sin{x} + c\) ou \(\int{\cos{x}} dx = \sin{x} + c\).
L'intégrale de tan(x) est \N(ln|\cos{x}| + c\N) ou \N(\Nint{\tan{x} dx} = ln|\cos{x}| + c\N).
Voyons ce que cela donne.
Nous savons que \(\tan{x} = \frac {\sin{x}}{\cos{x}}\), nous pouvons donc substituer ceci dans l'intégrale \(\int{\tan{x} dx} = \int {\frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx}\).
Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser la substitution u = cos(x) donc \(\frac{du}{dx} = -\sin{x}\) et \(dx = -\frac{1}{\sin{x}} du\).
Notre intégrale se présente maintenant comme suit : \(\int{\frac{\sin{x}}{u}}{\frac{1}{-\sin{x}}} du\)
Nous pouvons annuler \(\sin{x}\) et obtenir \(\int{-\frac{1}{u} du}\).
Nous savons que l'intégrale de \( \frac{1}{x} = ln(x)\) , donc \(\int{-\frac{1}{u} du} = -ln(u) + c\) .
Si nous remplaçons \(\cos{x}\), nous obtenons \(\ln \cdot \cos {x}\), ce qui est équivalent à \(ln|\cos{x}|^{-1}\).
\(|\cos{x}|^{-1} = \frac {1}{\cos{x}} = \sec {x}\) donc \(\int{\tan{x} \space dx} = ln|\sec{x}| + c\)Trouve l'intégrale de \(x \sin{2x}\)
Nous utiliserons l'intégration par parties, en laissant \N(u = x\N) puisqu'elle s'annulera en \N(\Nfrac{du}{dx} = 1\N).
Par conséquent, \(dv = \sin {2x} \space dx\) et \(v = \frac {-\cos{2x}}{2}\), par la règle de la chaîne inversée.
\N- (\N- début{alignement}) \int{x \sin {(2x)} \space dx} = \frac {-x}{2} \cos{(2x)} + \frac {1}{2} \int {\cos{(2x)} \space dx} \\N- \Nfrac {-x}{2} \cos{(2x)} + \frac {1}{4} \sin {(2x)} + c \end{align}\)
Pour intégrer des fonctions trigonométriques au carré telles que \(\sin^2{x}\), tu peux utiliser les intégrales des fonctions trigonométriques que tu viens de déterminer, et les identités des angles doubles.
Par exemple, pour trouver \(\int{\sin^2{x} \space dx}\), tu peux utiliser l'identité \(\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}\).
Si nous réarrangeons cette expression pour trouver \(\sin^2{x}\), nous obtenons \(\sin^2{x} = \frac{1}{2} - \frac {\cos{2x}}{2}\).
Nous pouvons maintenant substituer ceci à notre intégrale :
\(\int{\sin^2{x}) \space dx} = \int {\frac{1}{2} -\frac{\cos{2x}}{2} \space dx}\)
Nous savons que l'intégrale de \(\cos{x}\) est \(\sin{x}\) donc l'intégrale de \(\cos{2x}\) est \( \frac{1}{2} \sin{2x}\).
En prenant en compte le facteur de \(\frac{1}{2}\), nous obtenons :
\(\int{\sin^2{x} \space dx} = \frac {1}{2}x - \frac {1}{4} \sin {2x} + c\).
Trouver \(\int{\cos^2{x} \space dx}\)
Nous utiliserons les identités \(\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}\) et \(\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}\).
Nous pouvons alors résoudre cette intégrale.
\(\begin{align}) \int{\cos^2{x} \space dx} &= \frac {1}{2} \int {\cos{2x} + 1} \\N- &= \frac {1}{2}(\frac{\sin{2x}}{2} + x) + c, \N- {utilisant la règle de la chaîne inversée pour} \sin {2x} \N- &= \frac {\sin{2x}}{4} + \frac{x}{2} + c \end{align}\).
Les fonctions trigonométriques inverses telles que l'arcsin, l'arccos et l'arctan ne peuvent pas être intégrées directement. C'est pourquoi nous utilisons l'intégration par parties. Nous savons que \(\int{u \space dv} = uv - \int {v \space du}\), et comme nous ne pouvons pas intégrer la fonction trigonométrique inverse mais que nous pouvons la dériver, nous laissons u = fonction trigonométrique inverse et v = 1. La formule d'intégration par parties est alors utilisée pour résoudre l'intégrale.
L'intégrale de \(\arcsin{x}\) peut être écrite comme \(\int{\arcsin{x} \cdot 1 \space dx}\).
Par conséquent, tu laisses \(u = \arcsin {x}, du = \frac {1}{\sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v =x\). .
Nous utilisons la formule d'intégration par parties et trouvons le \(\int{\arcsin{x}) \space dx} = x \cdot \arcsin {x} - \int {\frac {x}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}\).
Soit \N(w = 1 - x^2\N). Par conséquent, \N(dw = -2x \space dx\).
\(\int{\arcsin{x}) \space dx} = x \cdot \arcsin {x} + \frac{1}{2} \int {-2x(1 - x^2)^{-\frac{1}{2}} \space dx}\).
Alors, \(\int{\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac {(1-x^2)^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2}} + 1} = x \cdot \arcsin{x} + (1 - x^2)^{\frac{1}{2}}\) .
Par conséquent, \(\int {\arcsin{x} \space dx} = x \cdot \arcsin{x} + \sqrt {1 - x^2} + c\).
L'intégrale de \(\arccos{x}\) peut être écrite comme \(\int{\arccos{x} \cdot 1 \cdot dx}\). En utilisant l'intégration par parties, soit \(u = \arccos{x}, du = \frac {-1}{\sqrt{1-x^2}}, dv = 1, v = x\) . En utilisant la formule d'intégration par parties, on trouve que \(\int{\arccos{x}) \space dx} = x \cdot \arccos {x} - \int{\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \space dx}\), ou \(x \cdot \arccos{x} + \int{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx}\). Nous utilisons ensuite l'intégration par substitution, en laissant \(w = 1 - x^2\).
En suivant la même méthode que pour l'intégrale de \(\arcsin{x}\), nous trouvons que \(\int{\arccos{x} \cdot dx} = x \cdot \arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + c\).
L'intégrale de arctan(x) peut être écrite comme \(\int {\arctan{x} \cdot 1 \space dx}\). En utilisant l'intégration par parties, soit \(u = \arctan{x}, \space du = \frac{1}{1 + x^2}, \space dv = 1, \space v = x\). En utilisant la formule d'intégration par parties, nous trouvons que \N(\Nint\Narctan{x}) \space dx = x \cdot \arctan{x} - \int {\frac{x}{1 + x^2} dx}\). Nous reconnaissons cette intégrale comme un logarithme naturel de \((1 + x^2)\), puisque, en laissant \(w = 1 + x^2\), \(dw = 2x\). Cela signifie que le numérateur est \(x = \frac{1}{2} dw\).
On trouve donc que \(\int{\arctan{x} \space dx} = x \space \arctan{x} - \frac{1}{2} ln|1 + x^2| + c\).
Trouve \(\int{\arctan{2x} \space dx}\)
Nous devrons utiliser l'intégration par substitution et par parties.
Soit une nouvelle variable t = 2x.
Par conséquent, dt = 2 dx et \(\frac{dt}{2} = dx\).
En substituant ceci à l'intégrale, nous obtenons :
\(\int{\arctan{t}) \cdot \frac {dt}{2}}} = \frac{1}{2} \int {\arctan{t} \cdot 1 \cdot dt}\)
Nous allons maintenant utiliser l'intégration par parties, en laissant :
\(u = \arctan{t}, \space du = \frac {1}{1 + t^2} dt, \space dv = 1dt, \space v = t\).
En utilisant la formule d'intégration par parties, nous obtenons :
\(\begin{align}\frac{1}{2} (t \cdot \arctan{t} - \int{\frac{t}{1 + t^2} dt} &= \frac{1}{2} t \cdot \arctan{t} - \frac{1}{2}). \cdot \frac{1}{2} \int {\frac{2t}{1 + t^2} dt} \\N- &= \frac{1}{2} t \cdot \arctan{t} - \frac{1}{4} ln|1 + t^2| \Nend{align}\N).
Puisque nous avons laissé t = 2x, nous remplaçons maintenant x. D'où ,
Intégrer\(\cos^3{x} \sin{x}\) par rapport à x.
Nous utiliserons l'intégration par substitution.
\(\int{\cos^3{x} \sin{x} \space dx} = \int{(\cos{x})^3 \sin{x} \space dx}\).
Soit \(u = \cos{x}, \space \frac{du}{dx} = -\sin{x}\) . Par conséquent, en remplaçant les valeurs de u par les valeurs de x, nous obtenons \(\begin{align}) \int{u^3(\frac{-du}{dx})dx} &= - \int{u^3du} \\N &= - \frac {u^4}{4} +c \Nend{align}\)
Nous remplaçons ensuite les valeurs u par les valeurs x.
Ainsi, \(\int{\cos^3{x} \sin{x} \space dx} = - \frac {\cos^4{x}}{4}+ c\)
| Fonction trigonométrique | Notation intégrale | Solution intégrale |
| \(\sin{x}\) | \(\int{\sin{x}}\space dx\) | \N- (-\Ncos{x} + c\N) |
| \N- \N- \N- \N- \N- \N(\N- \Ncos{x}\N) | \(\int{\cos{x} \space dx}\) | \N- (\Nsin{x} + c\N) |
| \N- (\Ntan{x}\N) | \(\int{\tan{x} \space dx}\) | \N(ln|\cos{x}| + c\N) |
| \N(\Narcsin{x}\N) | \(\int {\arcsin{x} \space dx}\) | \(x \cdot \arcsin{x} + \sqrt {1 - x^2} + c\). |
| \N(\Narccos{x}\N) | \(\int{\arccos{x} \cdot dx}\) | \(x \cdot \arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + c\) |
| \N(\Narctan{x}\N) | \(\int{\arctan{x} \space dx}\) | \(x \space \arctan{x} - \frac{1}{2} ln|1 + x^2| + c\) |
Tableau 1. Intégration des fonctions trigonométriques.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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