Au grand dam de nombreux mathématiciens purs, tous les problèmes ne peuvent pas être résolus de manière analytique, c'est-à-dire par une méthode qui utilise des règles et une logique connues pour parvenir à une solution exacte. C'est là que l'on utilise une méthode numérique. Une méthode numérique permet d'obtenir une solution approximative ou, dans le pire des cas, de déterminer l'emplacement de la solution.
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Équipe enseignants Méthodes Numériques
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Envoyer des commentairesNous pouvons utiliser des méthodes numériques dans tous les domaines des mathématiques où nous aurions autrement du mal à trouver une solution. En général, cela inclut les équations différentiellesa>, la résolution de systèmes linéairesa> (équations simultanéesa> en plusieurs variables) et la recherche de la dérivée d'une fonction en un point. Cependant, au niveau A, nous nous concentrerons sur la recherche de racines et la recherche de l'aire sous les courbes.
Certaines fonctions ne sont pas intégrables, ce qui signifie qu'il n'existe pas d'antidérivée pour cette fonction. Cependant, cela ne signifie pas que nous ne pouvons pas calculer approximativement l'aire sous ces fonctions (c'est-à-dire trouver une solution approximative pour une intégrale définie). Pour ce faire, nous divisons l'aire sous l'intégrale en aires plus petites (ou en formes qui ressemblent étroitement à l'aire de l'intégrale), nous trouvons l'aire de chacune de ces aires, puis nous les additionnons pour obtenir une approximation.
Au niveau A, nous nous concentrons sur la méthode des trapèzes. Il s'agit de diviser la surface en une série de trapèzes et de les additionner. Tu trouveras ci-dessous un schéma illustrant cette méthode.
Méthode trapézoïdale d'intégration numérique.
Plus on ajoute de trapèzes, plus l'approximation devient précise.
Formalisons cela pour obtenir une formule. Supposons que nous ayons une fonction
, et que nous voulions approximer l'intégrale de , avec n intervalles également espacés. Cela signifie que nous avons besoin de n + 1 points de données. Soit , puis pour . Nous trouvons ensuite les valeurs de ces points de données évaluées sur la fonction, ce qui nous donne .Pour tout trapèze, la surface est donnée par (la largeur) * (la hauteur moyenne des côtés de longueur inégale). Dans ce cas, notre largeur est donnée par
. La hauteur moyenne du trapèze i est donnée par . Cela signifie que la surface du trapèze i est donnée par . En faisant la somme de tous ces éléments, nous obtenons la formule de . Comme chaque est compté deux fois en dehors des deux points d'extrémité, nous pouvons simplifier cette formule en .Trouve une approximation de
en utilisant la règle du trapèze, avec quatre bandes de même largeur.Pour quatre bandes, nous avons besoin de 5 points. Les points sont 0, 0,5, 1, 1,5, 2.
Le tableau suivant montre à la fois
et :
| 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
| 0 | 0.5 | 2 | 4.5 |
D'après la formule donnée,
. Cela signifie que notre approximation de l'intégrale est donnée par .Si nous devions évaluer cette intégrale "correctement", nous obtiendrions
, qui est proche de 5,5, ce qui montre qu'il s'agit d'une bonne approximation.Toutes les équations ne peuvent pas être résolues à l'aide de méthodes algébriques. C'est là qu'intervient l'utilisation de méthodes numériques pour trouver les racines. Toutes les méthodes ne fonctionnent pas dans tous les cas, c'est pourquoi nous devons parfois être sélectifs quant à la méthode que nous utilisons.
Supposons qu'il existe une fonction,
et que nous pensons qu'une racine peut être située entre les points a et b. S'il y a une seule racine, alors le signe de sera différent de celui de . Si l'intervalle est trop grand entre a et b, il peut y avoir plusieurs racines, ce qui pourrait signifier que les signes restent les mêmes, même avec plusieurs racines (cela se produit si le nombre de racines est pair).Localisation d'une racine à l'aide de méthodes numériques
L'image ci-dessus devrait te permettre de comprendre comment le changement de signe indique une racine.
Montre qu'il existe une racine de
entre -1,5 et -1,4. et . Comme il y a un changement de signe, il y a une racine de f entre -1,5 et -1,4.
L'itération est le processus de répétition d'une fonction mathématique, en utilisant la réponse précédente comme entrée suivante. Par exemple, une fonction itérative peut être aussi simple que
. Dans cette équation, nous commençons par une donnée et nous l'utilisons pour trouver . Nous pouvons ensuite continuer ce processus pour trouver autant de que nécessaire. Ce processus peut nous permettre de trouver des racines d'équations à condition que soit suffisamment proche de la racine réelle.Si nous faisons continuellement cette itération (l'utilisation du bouton 'ans' de ta calculatrice t'aidera), tu atteindras une racine de -1.
Cette méthode peut être dérivée en utilisant des mathématiques que tu ne verras pas au niveau A (un développement de Taylor), mais il s'agit d'un type de formule itérative pour trouver une racine. Supposons que nous ayons une fonction
, qui est différentiable. L'itération de Newton-Raphson est donnée par , avec , et une valeur de départ appropriée .En utilisant la méthode de Newton-Raphson, trouve (avec 3 décimales) une deuxième approximation d'une racine de
, en prenant la première approximation comme . Trouvons d'abord qui est donné par .AINSI,
.Les méthodes numériques sont utilisées lorsqu'une réponse ne peut être trouvée de manière analytique.
La règle du trapèze avec n largeurs égales est donnée par
, avecSi
et , alors il y a une racine entre a et bLa formule de Newton-Raphson est donnée par
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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