Module et Phase: 'Apprentissage', 'Éducation'

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Petit tour d'horizon des nombres complexes - la formule et le symbole

C'est une idée très fructueuse que de représenter les nombres complexes par des points dans le plan XY. Mais ce plan n'est pas un plan cartésien régulier avec des coordonnées cartésiennes normales, mais nous l'appellerons le plan complexe. On l'appelle aussi parfois plan d'Argand, du nom du mathématicien Jean-Robert Argand.

Les nombres complexes sont représentés de façon très naturelle dans ce plan. Soit un plan complexe de la forme $z = a + ib$ où $a, b \in ℝ$ . Ici, a est appelé la partie réelle, et b est appelé la partie imaginaire. Les coordonnées de z sur le plan complexe seront (a, b). L'axe des y est appelé axe imaginaire, et l'axe des x est l'axe réel. La ligne 'r' est appelée bras terminal dans cet article.

Modulus et Phase, Nombres complexes composés de parties Les nombres complexes sont constitués d'une partie réelle et d'une partie imaginaire, StudySmarter Originals

Le module d'un nombre complexe

Notons r la distance du point par rapport à l'origine, et nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer sa distance par rapport à l'origine, soit

$r^{2} = a^{2} + b^{2}$

Cette distance r est connue sous le nom de module de z, d'où le résultat suivant,

$|z| = r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

où $|z|$ représente le module de z.

Le module d'un nombre complexe est la distance de ce point à l'origine sur un plan complexe. Autrement, le carré du module d'un nombre complexe est égal à la somme des carrés de ses parties réelle et imaginaire. ( ${|z|}^{2} = a^{2} + b^{2}$ )

Calcule le module du nombre complexe z=3+4i

Solution :

Étape 1 : à partir de la définition du module d'un nombre complexe,

${|z|}^{2} = {(real part)}^{2} + {(imaginary part)}^{2}$

Étape 2 : Le nombre à côté du $i$ est toujours la partie imaginaire. D'après la question, 3 et 4 sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire :

$\begin{array}{l} |z| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ \Rightarrow |z| = 5 \end{array}$

Ainsi, le module de z=3+4i est 5

Une relation entre un nombre complexe, son conjugué et son module.

Soit $z = a + ib$ est un nombre complexe, alors son conjugué est $\bar{z} = a - ib$ (rappelle-toi la section de l'article sur les nombres complexes concernant les conjugués) !

Étape 1 : Si nous multiplions les conjugués ensemble, comme suit :

$z \bar{z} = (a + ib) (a - ib)$

Étape 2 : Et lorsque nous développons les parenthèses, nous obtenons

$z \overline{z} = a^{2} - abi + abi - i^{2} b^{2} = a^{2} - i^{2} b^{2}$

Et comme $i = \sqrt{- 1}$ donc

$i^{2} = - 1$

Étape 3: En substituant $i^{2} = - 1$ dans l'équation de l'étape 2, on obtient

$z \overline{z} = a^{2} - (- 1) b^{2} z \overline{z} = a^{2} + b^{2}$

Le côté droit est simplement le carré du module ! Nous avons donc

$z \overline{z} = {|z|}^{2}$

En d'autres termes,

$(c o m p l e x n u m b e r) \times (i t' s c o n j u g a t e) = m o d u l u s^{2}$

Module et angle de phase

Revenons à la vision géométrique du nombre complexe,

Modulus et Phase, phase d'un nombre complexe, StudySmarter La phase d'un nombre complexe est l'angle entre l'axe x positif et le bras terminal, StudySmarter Originals.

Soit $θ$ l'angle formé par z avec l'axe des x positif. Nous appelons cet angle $θ$ l'angle de phase de z, également connu sous le nom d'argument de z. Sous forme polaire, z s'exprime par ,

$z = r (cosθ + isinθ)$

et d'après le graphique, nous pouvons utiliser les rapports trigonométriques pour dire que,

$tanθ = \frac{b}{a}$

En résolvant pour $θ$ nous obtenons

$θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})$

IMPORTANT ! Dans le cadre de cet article, le -1 sur tan n' est pas un exposant (ce n'est pas la réciproque de tangente - cotangente). Il est utilisé parce qu'il représente la fonction tangente inverse, arctangente, sur la plupart des calculatrices.

Une autre façon de calculer l'angle de phase est d'utiliser le sinus et le cosinus.

$\sin θ = \frac{o p p o s i t e s i d e}{h y p o t e n u s e}$

En introduisant les variables de la figure 2 ci-dessus, nous obtenons :

$\sin θ = \frac{b}{r}$

Nous venons d'apprendre que r est le module, $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . En substituant cette expression pour r dans l'équation ci-dessus, nous obtenons

$sinθ = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

En utilisant le théorème de Pythagore, nous pouvons déterminer r en fonction de a et b :

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

En substituant r au cosinus, on obtient (comme pour le sinus) :

$cosθ = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Arguments principaux des nombres complexes

On peut remarquer que si l'angle est modifié par $360^{0}, 720^{0}$ et ainsi de suite, le nombre complexe reste le même. Il n'y aura donc pas une valeur unique de $θ$ mais une infinité. Par conséquent, nous appelons la première valeur de $θ$ l' argument principal de z, Arg(z) .

Calcule l'argument principal du nombre complexe $z = 1 + i$ .

Solution :

Étape 1 : Nous savons que $\tan θ = \frac{b}{a}$ . D'après la question, nous avons $a = 1 a n d b = 1$ . Ainsi, nous avons la valeur de la tangente comme,

$\begin{array}{l} tanθ = \frac{1}{1} \end{array}$

Étape 2 : En résolvant pour $θ$ , nous obtenons

$\begin{array}{l} θ = \tan^{- 1} (1) \\ θ = 45 ° \end{array}$

Ainsi, l'argument principal, Arg(z), de $z = 1 + i$ est $45 °$ . Cela signifie que nous pouvons ajouter ou soustraire des multiples de 360 degrés à 45 et obtenir le même nombre complexe !

Théorème de Moivre

Le théorème de De Moivre est fondamental dans le domaine des nombres complexes. Le théorème s'énonce comme suit :

Théorème : Soit $z_{1}, z_{2}$ être deux nombres complexes distincts et que leurs formes polaires sont

$z_{1} = r_{1} ({cosθ}_{1} + {isinθ}_{1})$ et $z_{2} = r_{2} ({cosθ}_{2} + {isinθ}_{2})$

Le produit $z_{1} z_{2}$ sera un nombre complexe dont la phase est $θ_{1} + θ_{2}$ .

Une conséquence importante du théorème de De Moivre : Nous avons défini $θ$ comme l'angle de phase d'un nombre complexe z. Nous allons maintenant voir comment l'angle de phase change en fonction de la puissance élevée à z. Multiplions z par lui-même n fois. Nous obtenons un nouveau nombre complexe, $z^{n}$ avec un angle de phase différent. Une conséquence du théorème ci-dessus est que

$z^{n} = r^{n} {(cosθ + isinθ)}^{n}$

se simplifie à

$z^{n} = r^{n} (cosnθ + isinnθ)$

qui a un angle de phase de $nθ$ . Ceci est vrai pour toutes les valeurs entières de n, c'est-à-dire. $n \in ℤ$

Cette conséquence nous aide à trouver l'argument d'un nombre complexe élevé à une puissance de façon beaucoup plus efficace plutôt que de multiplier tous les termes.

Exemples de module et de phase

Sans développer le nombre complexe $z = {(1 + i)}^{6}$ trouve son argument.

Solution :

Étape 1: convertis le nombre complexe en sa forme polaire :

$z = r^{6} {(\cos θ + i s in θ)}^{6}$ $= r^{6} (\cos n θ + i \sin n θ)$

$z = {(\sqrt{2})}^{6} {(\frac{1 + i}{\sqrt{2}})}^{6}$

Étape 2: En comparant avec la forme générale, on en déduit que

\sin n θ = \cos n θ = \frac{1}{\sqrt{2}}

Ce qui nous donne l'argument de principe suivant :

$\tan n θ = \frac{1}{1} = 1$

$n θ = \frac{π}{4}$

Étape 3: Introduis la valeur de n , qui est 6 :

$6 θ = \frac{π}{4}$

$θ = \frac{π}{24}$

L'argument de principe est donc $π / 24$ radians.

Applications des nombres complexes

Le concept des nombres complexes n'est pas entièrement pur et abstrait, mais il a des applications partout.

L'une des applications les plus simples des nombres complexes est la recherche des racines d'une équation quadratique. C'est aussi l'un des endroits où le concept de nombre complexe est apparu.

Trouve la racine de l'équation quadratique $x^{2} - x + 4 = 0$ .

Solution :

Étape 1 : Utilise la formule quadratique pour trouver les racines de cette équation :

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2}$

Étape 2 : En simplifiant, on obtient :

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2}$

Mais comment simplifier la partie $\sqrt{- 15}$ car nous ne connaissons pas la racine carrée d'un nombre négatif ?

C'est ici que nous utilisons notre connaissance de l'utilisation de $i = \sqrt{- 1}$ qui simplifie la forme donnée en

$x = \frac{1 \pm 15 i}{2}$

Qui peut maintenant être traitée selon les lois des nombres complexes.

Toute une branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse complexe est basée sur l'étude des nombres complexes et l'application de leurs propriétés à d'autres domaines des mathématiques.

Une équation très populaire en physique fait également appel aux nombres complexes, l'équation de Schrodinger:

$\overline{h} \frac{\partial ψ}{\partial t} = \overset{\land}{H} ψ$

Qui est une équation d'onde utilisée pour modéliser les orbites des électrons autour du noyau d'un atome.

Les applications sont nombreuses, de l'équation différentielle d'un circuit inducteur-condensateur (LC) à la modélisation des signaux reçus.

Module et phase - Principaux enseignements

Le module d'un nombre complexe est sa distance à l'origine sur un plan complexe.
Un nombre complexe est lié à son module et à son conjugué par l'équation suivante $z \overline{z} = {|z|}^{2}$
L'angle de phase ou l'argument d'un nombre complexe est l'angle que fait r(segment de droite reliant l'origine au nombre complexe) avec l'axe x positif.
L'angle de phase d'un nombre complexe z=a+ib est $θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})$ .
Le théorème de De Moivre décrit comment un nombre complexe élevé à une puissance intégrale peut être calculé facilement sans utiliser le théorème binomial.
Une conséquence importante du théorème de De Moivre est que $z^{n} = r^{n} (cosn + isinnθ)$ (l'argument d'un nombre complexe élevé à la puissance n est n fois l'argument du nombre complexe original).

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Qu'obtient-on lorsque l'on multiplie un nombre complexe $z$ et son conjugué complexe $\bar{z}$ ensemble ?

$|z|^2$.

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Questions fréquemment posées en Module et Phase

Qu'est-ce qu'un module en mathématiques?

Le module, ou norme, d'un nombre complexe est sa distance à l'origine dans le plan complexe. Il est calculé comme √(a² + b²) pour un nombre complexe a + bi.

Comment déterminer la phase d'un nombre complexe?

La phase, ou argument, d'un nombre complexe est l'angle formé avec l'axe réel positif dans le plan complexe. Calculé par arctan(b/a) pour un nombre complexe a + bi.

Quelle est la relation entre module et phase d'un nombre complexe?

La relation permet de représenter un nombre complexe en forme polaire, comme r(cosθ + isinθ), où r est le module et θ est la phase.

Pourquoi les concepts de module et de phase sont-ils importants?

Ils sont importants pour simplifier les multiplications et divisions de nombres complexes et pour les représentations graphiques dans le planning vectoriel.

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Petit tour d'horizon des nombres complexes - la formule et le symbole

Le module d'un nombre complexe

Une relation entre un nombre complexe, son conjugué et son module.

Module et angle de phase