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Dans cette section, nous allons comprendre le concept des nombres rationnels et des fractions et en quoi ils sont différents.
Signification des nombres rationnels et des fractions
Les nombres rationnels et les nombres fractionnaires sont deux concepts mathématiques qui semblent très étroitement liés et qui sont le plus souvent utilisés de façon interchangeable. Cependant, cette section présente la signification des nombres rationnels et des fractions, et explique en quoi ils sont différents.
Lesnombres rationnels sont un type de nombre réel qui peut être écrit comme le rapport de deux nombres entiers. Ils s'expriment sous la forme \(\frac{p}{q}\).
Il est à noter que \(p\N) et \N(q\N) sont tous deux des entiers et que \N(q\N) n'est pas nul. Des exemples de nombres rationnels sont \N(12, 10/12, 3/10,\N) et \N(0,5\N). L'ensemble des nombres rationnels est toujours désigné par \(\mathbb{Q}\).
Les nombresentiers sont l'ensemble de tous les nombres positifs, négatifs et zéro. Ils ne contiennent aucune forme décimale ou fractionnaire.
Lesfractions sont des nombres qui définissent une partie ou une portion d'une quantité entière écrite comme le rapport de nombres entiers. Elles se présentent sous la forme \(a / b\) où \(a\) est le numérateur et \(b\) le dénominateur.
Note que le numérateur et le dénominateur sont tous deux des nombres entiers et que le dénominateur ne peut pas être nul. Voici des exemples de fractions : \N(10/32, 12/10, 4/23,\N) et \N(6/7,\N).
Lesnombres entiers sont une collection de nombres naturels et de zéro. Il s'agit de tous les nombres entiers positifs avec zéro, sans décimale, fraction ou partie négative.
Bien que les fractions et les nombres rationnels se ressemblent, ils ne sont pas toujours identiques. Comme les nombres rationnels sont des nombres entiers et contiennent des nombres négatifs, ils ne peuvent pas être considérés comme des fractions. Les fractions ne comprennent pas de nombres négatifs.
Nombre rationnel
Comme défini ci-dessus, un nombre rationnel est un type de nombre réel qui s'exprime sous la forme \(p / q\), où \(p\) et \(q\) sont des nombres entiers et ne sont pas égaux à \(0\). Pour simplifier, on peut dire que toute fraction dont le dénominateur n'est pas nul est un nombre rationnel.
La forme standard des nombres rationnels est exprimée par le fait qu'il n' y a pas de facteur commun autre qu'un entre le dividende et le diviseur et que le diviseur est donc positif. La forme standard des fractions est donc obtenue en simplifiant les fractions. Par exemple, \(3/9\) est un exemple de nombre rationnel, mais il peut être divisible pour obtenir \(1/3\). Sous la forme \(1/3\), il est considéré comme la forme standard puisque le nombre n'est plus divisible par aucun autre nombre que \(1\) et lui-même.
N'oublie pas que le nombre que tu divises est appelé le dividende et que le nombre par lequel tu effectues la division est appelé le diviseur.
Les fractions
Le concept mathématique des fractions est utilisé pour décrire les parties d'un tout. Lorsque nous prélevons une part de pizza sur l'ensemble, par exemple, nous disons que nous en avons une fraction. Les fractions sont des nombres donnés sous la forme \(\frac{a}{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers et \(b\) n'est pas égal à \(0\).
La fraction dont le numérateur est \(0\) est \(0\), mais la fraction dont le dénominateur est \(0\) est indéfinie. Une fraction est désignée par le simple "/" sous la forme \(a/b\) où \(a\), le nombre supérieur est appelé numérateur, et \(b\), le nombre inférieur est appelé dénominateur. Des exemples de fractions sont \N(12/20, 5/6,\N) et \N(50/100,\N).
Fig. 1. Fraction des parties d'un cercle.
Différences entre les nombres rationnels et les fractions
Il existe des différences significatives entre les nombres rationnels et les fractions :
| Nombres rationnels | Fraction |
| 1. Les nombres rationnels sont de la forme \(p/q\), où \(p\) et \(q\) sont des entiers. | 1. Les nombres rationnels sont de la forme \(a/b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers. |
| 2. Les nombres rationnels ont la forme positive et négative des nombres. | 2. Les fractions n'ont que la forme positive des nombres. |
| 3. Les nombres rationnels ne peuvent pas être considérés comme des fractions. | 3. Les fractions peuvent être considérées comme des nombres rationnels. |
| 4. Exemples - \N(-3/7, 1/3, 12\) | 4. Exemples - \N4/5, 1\frac{2}{5}, 23/6\N |
Types de nombres rationnels
Il existe plusieurs types de nombres rationnels, qui sont les suivants ;
Les nombres entiers, par exemple, \N(-3, 5,\N) et \N(4,\N).
Les fractions de la forme \(p / q\) où \(p\) et \(q\) sont des entiers, par exemple, \(1/2\).
Les nombres qui n'ont pas de décimales infinies, par exemple, \(1/4\) de \(0,25\). Ils sont également appelés décimales terminales.
Les nombres qui ont des décimales infinies, par exemple, \(1/3\) de \(0,333....., 1,222.....\), etc. Ils sont connus sous le nom de décimales non terminales.
Les nombres entiers.
Types de fractions
Il existe un grand nombre de types de fractions. Si l'on se base sur le numérateur et le dénominateur, on peut les considérer comme trois : une fraction normale, une fraction mixte et une fraction impropre. Cependant, ces fractions sont subdivisées en différents types.
Fraction propre
Les fractions propres sont celles dont les numérateurs sont plus petits que les dénominateurs (numérateur < dénominateur). Par exemple, \(3/4\) est une fraction propre.
Fraction mixte
Les fractions mixtes sont des combinaisons d'entiers et de fractions propres. Elles s'écrivent sous la forme \(a\frac{m}{n}\) où \(a\) est le nombre entier. Un exemple de fraction mixte est \(1\frac{2}{5}\).
Fraction impropre
Les fractions impropres, contrairement aux fractions correctes, sont celles dont le dénominateur est plus petit que les numérateurs. (dénominateur < numérateur). Un exemple est \(4/3\).
Fractions similaires
Les fractions similaires sont des fractions qui ont les mêmes dénominateurs. Un exemple est \N(1/7\N) et \N(4/7\N). Ces deux fractions ont le même dénominateur que \N(7\N) et sont donc considérées comme des fractions similaires.
Fractions différentes
Ces types de fractions s'opposent aux fractions similaires. Elles ont des valeurs différentes dans leur dénominateur. Un exemple de fraction différente est \(11/13\) et \(4/9\).
Fraction équivalente
Deux fractions peuvent être considérées comme équivalentes lorsque, après avoir été simplifiées en effectuant une multiplication ou une division, elles donnent la même chose. Par exemple, \(2/3\) et \(4/6\) sont des fractions équivalentes parce que \(4/6\) peut être simplifié en \(2/3\).
Fractions unitaires
Lorsque le numérateur d'une fraction est égal à 1, on parle de fraction unitaire. Les exemples sont \(1/2\) (la moitié d'un tout) et \(1/4\) (le quart d'un tout).
Addition et soustraction de nombres rationnels et de fractions
Le dénominateur joue un rôle majeur dans l'addition et la multiplication des nombres rationnels et des fractions. Voyons comment nous pouvons effectuer les opérations d'addition et de soustraction sur les nombres rationnels et les fractions.
Addition et soustraction de fractions
Pour additionner et soustraire des fractions, il faut suivre les étapes indiquées :
Vérifie le type de fraction, s'il s'agit de fractions semblables ou non.
Si ce n'est pas le cas, convertis la fraction donnée en une fraction semblable. Passe à l'étape 4 s'il s'agit de fractions semblables.
Trouve le plus petit multiple commun pour les dénominateurs donnés. Multiplie ensuite par le nombre équivalent à tous les dénominateurs donnés pour obtenir la même valeur du dénominateur.
Additionne/soustractionne le numérateur tout en conservant le dénominateur tel quel.
Si possible, réduis les fractions obtenues.
Addition et soustraction de nombres rationnels
Nous suivons le même processus que pour les fractions pour ajouter et soustraire des nombres rationnels :
Convertir tous les dénominateurs en nombres positifs si l'un d'entre eux est négatif.
Utilise le LCM pour que tous les dénominateurs soient identiques s'ils sont différents.
Ajoute/soustrait les nombres entiers du numérateur en suivant les règles des nombres entiers. Et garde le dénominateur tel quel.
Simplifie le nombre rationnel.
Multiplication et division des nombres rationnels et des fractions
La multiplication et la division des nombres rationnels et des fractions suivent la même règle avec l'ajout des règles des entiers pour les nombres rationnels.
Multiplication des nombres rationnels et des fractions
La multiplication des nombres rationnels et des fractions suit les règles données :
Multiplie les numérateurs de tous les nombres donnés entre eux.
Multiplie les dénominateurs de tous les nombres entre eux.
Simplifie la fraction ou le nombre rationnel obtenu.
N'oublie pas que lorsqu'il s'agit de nombres rationnels, il faut toujours suivre les règles de multiplication des signes positifs et négatifs.
Division des nombres rationnels et des fractions
La division des nombres rationnels se fait comme suit :
Prends la réciproque de la deuxième fraction/du deuxième nombre rationnel en intervertissant le numérateur avec le dénominateur et vice versa.
Change le signe de division en multiplication après avoir effectué la réciproque.
Suis les règles de multiplication pour les nombres rationnels et les fractions comme ci-dessus.
Exemple de nombres rationnels et de fractions
Voyons quelques exemples de nombres rationnels et de fractions.
Identifie les types de fractions.
1. \(\frac{6}{7}, \frac{4}{7}\)
2. \N- (2\Nfrac{3}{8}\N)
3. \(\frac{12}{9}\)
Solution :
1. Fraction identique - Les deux dénominateurs sont identiques.
2. Fraction mixte - Elle comporte une fraction et un nombre entier.
3. Fraction impropre - Le numérateur est plus grand que le dénominateur.
Divise le nombre rationnel \(\frac{-3}{10}\) par \(\frac{7}{5}\).
Solution :
Ici, nous devons effectuer
\[\frac{-3}{10}\div\frac{7}{5}\]
Étape 1 - Prendre la réciproque de \(\frac{7}{5}\)
\N- [\NFlèche droite \Nfrac{5}{7}\N]
Étape 2 - Après avoir obtenu la réciproque, remplace le signe de la division par celui de la multiplication,
\[\frac{-3}{10}\times \frac{5}{7}\]
Étape 3 - Maintenant, nous multiplions le numérateur des deux nombres l'un par l'autre et nous faisons de même avec les dénominateurs.
\begin{align} \frac{-3}{10} \frac{5}{7} &= \frac{-3\times 5}{10\times 7} \\ &= \frac{-15}{70} \\N- \Nend{align}
Étape 4 - Nous réduisons maintenant le nombre rationnel obtenu.
\[\NFlèche droite \Nfrac{-15}{70} = \Nfrac{-3}{14}\N]
Calcule la fraction donnée.
\[\frac{1}{3}+\frac{4}{5}\]
Solution :
Étape 1 - Ici, les deux fractions ne sont pas des fractions semblables. Nous les convertissons donc en fractions semblables.
Étape 2 - Nous considérons le LCM des dénominateurs \(3\) et \(5\) pour convertir les fractions données en fractions similaires.
Par conséquent, le LCM de \(3\) et \(5\) est \(15\).
Étape 3 - Nous multiplions maintenant \(5\N) par \N(\Nfrac{1}{3}\N) pour obtenir le dénominateur \N(15\N). De même, nous multiplions \(3\N) par \N(\Nfrac{4}{5}\N) et nous ajoutons les deux numérateurs que nous obtenons,
\N- Début{align} \NFlèche droite \Nfrac{1\Nfois 5}{3\Nfois 5} + \frac{4\times 3}{5\times 3} &= \frac{5}{15}+\frac{12}{15} \\N- &=\frac{5+12}{15} \\ &=\frac{17}{15} \\N- \Nend{align}
Ici, \(\frac{17}{15}\) est déjà sous forme réduite.
Nombres rationnels et fractions - Principaux enseignements
- Un nombre rationnel est un type de nombre réel qui s'exprime sous la forme \(p / q\), où \(p\) et \(q\) sont des nombres entiers et ne sont pas égaux à \(0\).
- Les fractions sont des nombres exprimés sous la forme \(a / b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers et \(b\) n'est pas égal à \(0\).
- Toutes les fractions sont des nombres rationnels, mais tous les nombres rationnels ne sont pas des fractions.
Les nombres rationnels sont des nombres dont les décimales sont terminées ou non.
Les différents types de fractions sont les suivants : fraction propre, fraction impropre, fraction mixte, fraction semblable, fraction différente, fraction équivalente et fraction unitaire.
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