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Exemple 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals
À première vue, nous pourrions certainement représenter ce nombre sous la forme d'une fraction. Comme nous l'avons vu dans des articles précédents, les fractions expriment des nombres qui ne sont pas des nombres entiers. Dans ce cas, nous aurions la fraction . Et si je te disais qu'il existe une autre façon d'écrire les nombres qui ne sont pas entiers ? C'est bien cela ! C'est ce qu'on appelle les décimales.
Dans cet article, nous allons explorer les décimales, leur définition, les opérations sur les décimales, les opérations mixtes et de nombreux exemples.
Les décimales
Commençons par la définition d'une décimale.
Une décimale est un nombre qui contient une virgule.
La virgule est représentée par un point et sépare un nombre entier de sa partie fractionnaire. La valeur de la partie fractionnaire est toujours inférieure à un. Le nombre de chiffres formés par la partie fractionnaire détermine le nombre de décimales. Démontrons la position des décimales sur une droite numérique pour nous faire une idée plus claire de ce concept. L'exemple ci-dessous est illustré.
Exemple 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Une autre façon d'aborder les décimales est de les représenter dans un tableau de valeurs de place. Cela nous aidera à identifier le nombre de décimales pour chaque valeur décimale donnée, ce qui est important à noter lorsque l'on effectue des opérations impliquant des décimales. Construisons ce tableau de valeurs de place ci-dessous.
| Milliers | Centaines | Dix | Un | Point décimal (.) | Dixièmes | Centièmes | Mille | |
| 1000 | 100 | 10 | 1 | . | 0.1 | 0.01 | 0.001 | |
Les chiffres avant la virgule représentent la partie entière du nombre tandis que les chiffres après la virgule représentent la partie décimale du nombre.
Étant donné la décimale 12,45, la position de chaque chiffre est définie ci-dessous.
| Chiffre | 1 | 2 | . | 4 | 5 |
| Valeur de Place | Dix | Un | Place décimale | Dixième | Les centièmes |
| Le nombre associé à la valeur de place | 10 | 2 | . | 0.4 | 0.05 |
Dans certains manuels, la partie fractionnaire est également appelée partie décimale.
Le nombre décimal 3,4512 a pour composante entière 3 et pour partie fractionnaire 0,4512.
Il y a quatre décimales ici puisqu'il y a quatre chiffres après la virgule.
Récapitulation : Convertir des fractions en décimales
Méthode 1 : Utilisation d'une calculatrice
La façon la plus simple de convertir une fraction en décimale est d'utiliser une calculatrice. Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur. En introduisant ces chiffres dans ta calculatrice, tu obtiendras ta réponse.
Méthode 2 : Division longue
Utilise la division longue pour convertir en décimale.
Par conséquent,
Récapitulation : Conversion des pourcentages en décimales
Rappelle-toi qu'un pourcentage se présente sous la forme . Pour convertir un pourcentage en décimale, il suffit d'enlever le signe % et de diviser le chiffre restant par 100. Pour ce faire, on déplace la virgule de deux espaces vers la gauche.
Convertir 45 % en décimale.
En déplaçant la virgule de deux cases vers la gauche, on obtient 45 % = 0,45.
Convertir 3,67 % en décimale.
En déplaçant la virgule de deux espaces vers la gauche, on obtient 3,67 % = 0,0367.
Ordre des opérations
Lorsque l'on effectue des opérations arithmétiques de base sur des nombres décimaux, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, il faut tenir compte de l'ordre des opérations. Ceci est particulièrement important lorsqu'il s'agit d'opérations mixtes impliquant des nombres décimaux. L'ordre des opérations pour les décimales est abrégé par l'acronyme PEMDAS, décrit dans le tableau ci-dessous.
| Commande | Lettre | Concept | Explication |
| 1 | P | Parenthèse | Il s'agit d'expressions à l'intérieur d'une paire de parenthèses ou de crochets telles que (x + y) et [x + y] ou sous la forme d'un regroupement tel que |
| 2 | E | Exposant | Ce sont des expressions de la forme xy |
| 3 | M | Multiplication | Ces deux opérations ont la même priorité, on exécute donc simplement l'ordre d'opération de gauche à droite |
| 4 | D | Division | |
| 5 | A | Addition | Ces deux opérations ont la même priorité, nous exécutons donc simplement l'ordre des opérations de gauche à droite. |
| 6 | S | Soustraction |
N'oublie jamais PEMDAS: Parenthèse, Exposant, Multiplication/Division, Addition/Soustraction.
Addition et soustraction de nombres décimaux
L'addition et la soustraction de nombres décimaux sont similaires à l'addition et à la soustraction de nombres entiers. Nous commençons toujours par le côté droit et nous appliquons la méthode des colonnes. La méthode des colonnes permet de maintenir clairement les valeurs de place et les décimales afin d'obtenir une addition ou une déduction précise entre les décimales.
Écris les nombres en colonnes de façon à ce que les décimales soient alignées verticalement ;
Mets des zéros comme substituts (si nécessaire) pour que les nombres soient de la même longueur ;
Additionne ou soustrais en utilisant l'addition ou la soustraction en colonne ;
Remettre la virgule dans la somme ou la différence de façon à ce qu'elle soit alignée verticalement avec les nombres additionnés ou soustraits.
Démontrons cette méthode à l'aide de quelques exemples pratiques ci-dessous.
N'oublie pas d'ajouter la virgule à la fin de ta réponse !
Additionne 5,7 et 8,9
Soustrais 2,3 de 4,8
Addition et soustraction de nombres décimaux avec des nombres entiers
N'oublie pas d'ajouter des zéros comme substituts pour que les nombres soient de la même longueur ! Tu trouveras ci-dessous des exemples concrets qui illustrent ce principe.
Additionne 6 et 4.3
Soustraire 5 de 9.2
Addition et soustraction de deux nombres décimaux différents
Comme précédemment, assure-toi que les nombres décimaux sont de la même longueur en ajoutant des zéros comme caractères de remplacement. Voici deux exemples pratiques qui illustrent ce principe.
Additionne 5,43 et 6,678
Soustrais 2,3456 de 4,1
Multiplier des nombres décimaux
Pour multiplier des nombres décimaux, nous devons tenir compte des règles de multiplication des nombres décimaux.
Enlève la virgule des nombres donnés et effectue la multiplication comme d'habitude ;
Compte le nombre de décimales dans chacun des nombres originaux et trouve sa somme ;
La valeur de place de la réponse finale est la somme des décimales trouvées à l'étape 2 ;
Positionne la virgule dans le produit calculé à l'étape 1.
Démontrons cette technique à l'aide des exemples suivants.
Multiplie 3,6 par 2,3
En ignorant les décimales, nous obtenons 36 × 23 = 826.
Les deux décimales, 3,6 et 2,3 ont chacune une décimale.
La somme de ces décimales est de deux.
Ainsi, le produit de 36 × 23 = 826 doit avoir deux décimales.
En mettant la virgule, on obtient 3,6 × 2,3 = 8,26.
Multiplication des nombres décimaux par des nombres entiers
Multiplie 5,7 par 8
En ignorant les décimales, on obtient 57 × 8 = 456.
La décimale 5,7 a une décimale tandis que le nombre entier 8 n'a pas de décimale.
La somme de ces décimales est égale à un.
Ainsi, le produit de 57 × 8 = 456 doit avoir une seule décimale.
En mettant la virgule, on obtient 5,7 × 8 = 45,6.
Multiplication de deux décimales différentes
Multiplie 2,165 par 9,1
En ignorant les décimales, on obtient 2165 × 91 = 197015.
Les décimales 2,165 et 9,1 ont respectivement 3 décimales et une décimale.
La somme de ces décimales est de quatre.
Ainsi, le produit de 2165 × 91 = 197015 doit avoir quatre décimales.
En mettant la virgule, on obtient 2,165 × 9,1 = 19,7015.
Multiplication des décimales par des puissances de 10
Lorsque l'on multiplie des nombres décimaux par des puissances de 10, il suffit de déplacer la virgule vers la droite en fonction du nombre de zéros présents dans la puissance de 10. Tu trouveras ci-dessous deux exemples pratiques.
Multiplier 3,87 par 100
Le nombre 100 comporte deux zéros, nous devons donc décaler la virgule de 3,87 de deux places vers la droite.
3.87 × 100 = 387
Multiplier 7,3956 par 1000
Il y a trois zéros dans le nombre 1000, nous devons donc décaler la virgule de 7,3956 de trois places vers la droite.
7.3956 × 1000 = 7395.6
Division des décimales
Lorsque l'on divise des nombres en général, il est toujours plus facile de diviser par un nombre entier.
Le diviseur est le nombre par lequel on divise. Par exemple, dans l'expression 32 ÷ 2,3, 32 est le dividende et 2,3 est le diviseur.
Tu trouveras ci-dessous les étapes essentielles pour diviser des nombres décimaux.
Transforme le diviseur en un nombre entier en le multipliant par une puissance de 10 ;
Multiplie le dividende par la même puissance de 10 trouvée à l'étape 1 ;
Divise ces nombres en utilisant la division longue.
Les exemples suivants illustrent l'application de cette méthode.
La réponse à l'étape 3 nous donne le même rendement que si nous avions divisé les nombres décimaux.
Divise 4,62 par 0,12
Ici, nous avons 4,62 ÷ 0,12 où le dividende est 4,62 et le diviseur est 0,12.
Pour transformer le diviseur en un nombre entier, nous le multiplions par 100. Cela donne 0,12 × 100 = 12.
En multipliant cette même valeur au dividende, on obtient 4,62 × 100 = 462.
On a donc 462 ÷ 12, ce qui est la même chose que 4,62 ÷ 0,12.
En effectuant une division longue, on obtient
Ainsi, 4,62 ÷ 0,12 = 38,5.
Division de nombres décimaux par des nombres entiers
Divise 5,525 par 5
Ici, nous avons 5,525 ÷ 5 où le dividende est 5,525 et le diviseur est 5.
Le diviseur est déjà sous la forme d'un nombre entier. Cependant, le dividende est encore sous la forme d'un nombre décimal.
Pour résoudre ce problème, nous allons effectuer une division longue en ignorant la virgule du dividende.
Nous allons maintenant placer la virgule de la réponse directement au-dessus de la virgule du dividende, comme ci-dessous.
Ainsi, 5,525 ÷ 5 = 1,105.
Division de deux décimales différentes
Divise 3,432 par 1,04
Ici, nous avons 3,432 ÷ 1,04 où le dividende est 3,432 et le diviseur est 1,04.
Pour transformer le diviseur en un nombre entier, nous le multiplions par 100. Cela donne 1,04 × 100 = 104.
En multipliant cette même valeur au dividende, on obtient 3,432 × 100 = 343,2.
Nous avons donc 343,2 ÷ 104, ce qui est identique à 3,432 ÷ 1,04.
Bien que le diviseur soit déjà sous la forme d'un nombre entier, le dividende est encore sous la forme d'un nombre décimal.
Comme précédemment, nous effectuerons la division longue en ignorant la virgule du dividende.
Nous placerons maintenant la virgule de la réponse directement au-dessus de la virgule du dividende, comme ci-dessous.
Ainsi, 3,432 ÷ 1,04 = 3,3.
Division des décimales par des puissances de 10
Lorsque l'on divise des décimales par des puissances de 10, il suffit de déplacer la virgule vers la gauche en fonction du nombre de zéros présents dans la puissance de 10. Tu trouveras ci-dessous deux exemples pratiques.
Diviser 2,34 par 10
Il y a un zéro dans le nombre 10, nous devons donc décaler la virgule de 2,34 d'une place vers la gauche.
2.34 ÷ 10 = 0.234.
Divise 17635.6 par 1000
Il y a trois zéros dans le nombre 1000, alors nous devons déplacer la virgule de 17635.6 de trois places vers la gauche.
17635.6 ÷ 1000 = 17.6356
Opérations mixtes avec les décimales
Dans cette section, nous allons utiliser l'ordre des opérations de PEMDAS pour les décimales. Tu trouveras ci-dessous quelques exemples pratiques.
Évalue.
Solution
Nous commençons par convertir le terme en pourcentage
4.5% = 4.5 ÷ 100 = 0.045
Nous pouvons maintenant effectuer la soustraction comme d'habitude
La réponse finale est donc 0,078.
Évalue .
Solution
Nous commençons par convertir le terme de la fraction
Nous pouvons maintenant effectuer l'addition comme d'habitude
La réponse finale est donc 1,32
Évaluer.
Solution
Nous allons d'abord calculer l'expression à l'intérieur de la parenthèse
Ensuite, nous effectuerons une multiplication
Enfin, nous effectuerons une soustraction
La réponse finale est donc 7,9004.
Évaluer.
Solution
Nous allons d'abord calculer l'expression sous forme de groupement.
Pour une expression sous forme de groupement, pense toujours à résoudre le numérateur avant le dénominateur
Ensuite, nous effectuerons l'addition
Enfin, nous effectuerons une soustraction
La réponse finale est donc 3,8.
Évaluer .
Solution
Nous allons d'abord calculer l'expression à l'intérieur de la parenthèse
Ensuite, nous déduirons l'exposant
Ensuite, nous effectuerons la division
Enfin, nous effectuerons l'addition.
La réponse finale est donc 0,9025.
Opérations avec les décimales - Points clés à retenir
- L'ordre des opérations pour les nombres décimaux obéit au principe PEMDAS: Parenthèse, Exposant, Multiplication/Division, Addition/Soustraction.
- Étapes de l'addition et de la soustraction des nombres décimaux
Écris les nombres sous forme de colonnes. Veille à ce que les décimales soient alignées
Ajoute des zéros pour que les nombres aient la même longueur.
Additionne ou soustrais en utilisant l'addition ou la soustraction en colonne.
- Étapes de la multiplication des nombres décimaux
Enlève les décimales et multiplie les nombres.
Compte le nombre de décimales dans chaque nombre donné. Trouve sa somme
La valeur de position de la réponse finale est la somme des décimales obtenues à l'étape 2.
- Étapes de la division des nombres décimaux
Transforme le diviseur en un nombre entier en le multipliant par une puissance de 10.
Multiplie le dividende par la même puissance de 10 que celle trouvée à l'étape 1.
Divise ces nombres en utilisant la division longue
Lorsque l'on multiplie des nombres décimaux par des puissances de 10, on décale simplement la virgule vers la droite en fonction du nombre de zéros dans la puissance de 10.
Lorsque l'on divise des nombres décimaux par des puissances de 10, il suffit de déplacer la virgule vers la gauche en fonction du nombre de zéros dans la puissance de 10.
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