Opérations avec les polynômes

Additionne les polynômes$3x^3+2x^2+6x+5$ et$x^4+x^2+3x+2$.

Le polynôme résultant est :

$0x^4+3x^3+2x^2+6x+5$

$x^4+0x^3-x^2+3x+2$ +

$\mathbf{}{\mathit{x}}^{\mathbf{4}}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{9}\mathit{x}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{7}$

$3x^3+2x^2+6x+5$ $x^4+x^2+3x+2$Soustrais les polynômes et .

Méthode horizontale

$(3x^3+2x^2+6x+5)-(x^4-x^2+3x+2)$

$3x^3+2x^2+6x+5-x^4+x^2-3x-2$ Change les signes de tous les termes du deuxième polynôme.

$3x^3+\mathbf{2}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}+\mathbf{6}\mathit{x}+\mathbf{5}-x^4+{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}-\mathbf{3}\mathit{x}-\mathbf{2}$ Combine les termes semblables.

$\mathbf{-}{\mathit{x}}^{\mathbf{4}}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{3}$

Méthode verticale

$\mathbf{-}{\mathit{x}}^{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{3}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{3}$ Additionne les termes similaires.

Multiplie $2x^2-3x+5$ et $(x+2)$ en utilisant les méthodes horizontale et verticale.

Méthode horizontale

Multiplie chaque terme du premier polynôme par le second polynôme (propriété distributive).

Développe les parenthèses et combine les termes similaires

Méthode verticale

______________

$4x^2-6x+10$ Multiplier $2x^2-3x+5$ par $2$

$2x^3-3x^2+5x$ Multiplier $2x^2-3x+5$ par $x$

______________

$\mathbf{2}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{10}$ Additionne les termes similaires

Divise$x^3+x^2-36$ par$\left(x-3\right)$ en utilisant la division longue.

Avant de commencer, nous devons identifier chaque partie de la division. $x^3+x^2-36$est le dividende, $(x-3)$est le diviseur, et le résultat s'appelle le quotient. Ce qui reste à la fin est le reste.

1. Tout d'abord, divise le premier terme du dividende$x^3$ par le premier terme du diviseur$x$puis place le résultat$x^2$ comme premier terme du quotient.
2. Multiplie le premier terme du quotient$x^2$ par les deux termes du diviseur, et place les résultats sous le dividende, alignés avec leur exposant correspondant.
3. Soustrais les termes semblables en faisant attention aux signes.
4. Fais descendre le terme suivant du polynôme (dividende).
5. Répète les étapes 1 à 4 jusqu'à ce que le degré de l'expression du reste soit inférieur à celui du diviseur.

Complète les termes manquants avec le coefficient zéro.

Soustrais les termes semblables.

Abaisse 0x.

Soustrais les termes semblables.

Abaisse -36.

Soustrais les termes semblables.

Le reste est zéro.

Le résultat peut être exprimé de la façon suivante : $\frac{x^3+x^2-36}{x-3}=x^2+4x+12$.

Divise $x^3+x^2-36$ par $(x-3)$ en utilisant la division synthétique.

• Le diviseur est $(x-3)$Par conséquent, nous évaluons le dividende lorsque $x=3$.

• Fais descendre le coefficient principal sous la ligne horizontale. Multiplie le coefficient de tête par la valeur de x. Écris le résultat de la multiplication juste sous le coefficient suivant. Ensuite, additionne les valeurs de la deuxième colonne en tenant compte de leurs signes.

• Multiplie le résultat de l'addition par la valeur de x, et mets le résultat de la multiplication juste sous le coefficient suivant. Additionne ensuite les valeurs en tenant compte de leur signe. Répète cette étape pour tous les coefficients.

La valeur finale sous la ligne horizontale sera la valeur de $f\left(3\right)$.

$f\left(3\right)=0$Par conséquent, le reste de la division est zéro (0).

Le résultat est donc : $\frac{x^3+x^2-36}{x-3}=x^2+4x+12$.

Facteur $x^2+5x+6=0$.

Trouve les facteurs de 6 qui, une fois multipliés, sont égaux à +6 et qui, une fois additionnés, sont égaux à +5. Dans ce cas, les facteurs qui correspondent aux exigences sont 2 et 3.

$(x+2)(x+3)=0$

Maintenant, pour trouver les solutions qui rendent l'équation ci-dessus égale à zéro, nous devons tenir compte de la propriété du produit nul .

Nous devons donc faire en sorte que chaque facteur de $(x+2)(x+3)=0$ égal à zéro, et résoudre x.

$$\begin{gathered} x+2=0x+3=0 \\ x+2\mathbf{-}\mathbf{2}=\mathbf{-}\mathbf{2}x+3\mathbf{-}\mathbf{3}=\mathbf{-}\mathbf{3} \\ \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}}\boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}} \end{gathered}$$

Facteur $2x^2+13x+15=0$.

1. Multiplie le coefficient de $x^2$ et la constante.

$2\times 15=30$

2. Trouve les facteurs de 30.

Les facteurs de 30 qui donnent 13 lorsqu'ils sont additionnés sont 3 et 10.

3. Recopie le terme et la constante comme dans le polynôme original.$2x^2$ et la constante comme dans le polynôme original, et entre ces termes, ajoute les facteurs trouvés à l'étape précédente.

$2x^2+3x+10x+15=0$

$2x^2+3x+10x+15=0$ Retire les facteurs communs des deux groupes.

Rends chaque facteur de $\left(2x+3\right)\left(x+5\right)=0$ égal à zéro, et résous x.

$$\begin{gathered} 2x+3=0x+5=0 \\ 2x+3\mathbf{-}\mathbf{3}=\mathbf{-}\mathbf{3}x+5\mathbf{-}\mathbf{5}=\mathbf{-}\mathbf{5} \\ 2x=-3\boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5}} \\ \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}=\frac{-3}{2} \\ \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}} \end{gathered}$$

Facteur $6x^3+11x^2+4x=0$.

$x(6x^2+11x+4)=0$

Suis maintenant les étapes du cas précédent lorsque le degré est 2, et que le coefficient de$x^2$ n'est pas 1.

$6\times 4=24$

Les facteurs de 24 qui donnent 11 lorsqu'ils sont additionnés sont 3 et 8.

$x(6x^2+3x+8x+4)=0$ Maintenant, factorise en regroupant l'expression à l'intérieur des parenthèses.

$x\left(3x\right(2x+1)+4(2x+1\left)\right)=0$

$x\left(\right(2x+1\left)\right(3x+4\left)\right)=0$

Rends chaque facteur de $x\left(\right(2x+1\left)\right(3x+4\left)\right)=0$ égal à zéro, et résous x.

$$\begin{gathered} \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{0}}2x+1=03x+4=0 \\ 2x+1\mathbf{-}\mathbf{1}=\mathbf{-}\mathbf{1}3x+4\mathbf{-}\mathbf{4}=\mathbf{-}\mathbf{4} \\ 2x=-13x=-4 \\ \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}=\frac{-1}{2}\frac{\cancel{3}x}{\cancel{3}}=\frac{-4}{3} \\ \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}\boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{3}}} \end{gathered}$$

Les solutions sont$x=0,x=\frac{-1}{2}$et$-\frac{4}{3}$.

Simplifie les fractions suivantes :

• $\frac{\left(x+4\right)\left(3x-1\right)}{\left(3x-1\right)}=\frac{\left(x+4\right)\cancel{\left(3x-1\right)}}{\cancel{\left(3x-1\right)}}=x+4$ Annule le facteur commun $(3x-1)$.

• $\frac{x^2+x-12}{(x-3)}$ Factorise le numérateur.

$\frac{x^2+x-12}{(x-3)}=\frac{\cancel{\left(x-3\right)}\left(x+4\right)}{\cancel{\left(x-3\right)}}=x+4$ Annule le facteur commun $(x-3)$.

• $\frac{x^2+3x+2}{x^2+5x+4}$ Factorise le numérateur et le dénominateur.

$\frac{x^2+3x+2}{x^2+5x+4}=\frac{\cancel{\left(x+1\right)}\left(x+2\right)}{\cancel{\left(x+1\right)}(x+4)}=\frac{x+2}{x+4}$ Annule le facteur commun $(x+1)$.

• $\frac{2x^2+7x+6}{(x-5)(x+2)}$ Factorise le numérateur.

$2\times 6=12$

Les facteurs de 12 qui donnent 7 lorsqu'ils sont additionnés sont 3 et 4.

$2x^2+3x+4x+6=0$ Maintenant, factorise en regroupant et en retirant les facteurs communs.

$x(2x+3)+2(2x+3)=0$

$(2x+3)(x+2)=0$

Reviens à la fraction :

$\frac{2x^2+7x+6}{(x-5)(x+2)}=\frac{\left(2x+3\right)\cancel{\left(x+2\right)}}{\left(x-5\right)\cancel{\left(x+2\right)}}=\frac{2x+3}{x-5}$ Annulation du facteur commun$(x+2)$.

• Montre que$(x-1)$ est un facteur de $4x^3-3x^2-1$.

$f\left(1\right)=4{\left(1\right)}^3-3{\left(1\right)}^2-1$

$f\left(1\right)=4-3-1$

$f\left(1\right)=0$ $(x-1)$ est en effet un facteur de $4x^3-3x^2-1$

• Montre que$(x-1)$ est un facteur de $x^3+6x^2+5x-12$.

$f\left(1\right)=1^3+6{\left(1\right)}^2+5\left(1\right)-12$

$f\left(1\right)=1+6+5-12$

$f\left(1\right)=12-12$

$f\left(1\right)=0$

Divise f (x) par (x - p)

Ecris f (x) comme $(x-p)(a{x}^2+bx+c)$

$x^3+6x^2+5x-12=(x-1)(x^2+7x+12)$ Factorise la quadratique restante

$=(x-1)(x+3)(x+4)$

Rends chaque facteur de $(x-1)(x+3)(x+4)=0$ égal à zéro, et résous x.

$$\begin{gathered} x-1=0x+3=0x+4=0 \\ x-1\mathbf{+}\mathbf{1}=\mathbf{1}x+3\mathbf{-}\mathbf{3}=\mathbf{-}\mathbf{3}x+4\mathbf{-}\mathbf{4}=\mathbf{-}\mathbf{4} \\ \boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{1}}\mathbf{}\boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}}\boxed{\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{4}} \end{gathered}$$

Les solutions sont $x=1$, $x=-3$et $x=-4$.