Plus grand commun diviseur

Quel est le FCM de 14 et de 21 ?

Solution

Dressons d'abord la liste des facteurs de 14. Le nombre 14 peut être écrit comme le produit des paires de nombres suivantes.

\[ \N- 1 \N- 14 &= 14 \N- 2 \N- 7 &= 14. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

Les facteurs de 14 sont donc 1, 2, 7 et 14. Dressons ensuite la liste des facteurs de 21. En appliquant la même méthode que précédemment, nous obtenons

\[ \N- 1 \N- 21 &= 21 \N- 3 \N- 7 &= 21. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-]

Les facteurs de 21 sont donc 1, 3, 7 et 21. En listant ces deux listes de facteurs et en les comparant, nous constatons que les facteurs communs de 14 et 21 sont 1 et 7. Entre ces deux facteurs communs, observe que 1 est inférieur à 7.

Par conséquent, 7 est le facteur commun le plus élevé entre 14 et 21. En effet, 7 divise à la fois 14 et 21.

Trouve la HCF de 23 et 31.

Solution

Les nombres 23 et 31 sont effectivement premiers car ils ne sont divisibles par aucun autre nombre à part 1 et lui-même. Par conséquent, leurs facteurs sont simplement énumérés ci-dessous.

Facteurs de 23 : 1 et 23

Facteurs de 31 : 1 et 31

Observe que le seul facteur commun entre ces deux nombres est 1. Comme il n'y a pas d'autres facteurs communs auxquels comparer ce chiffre, nous concluons que le FCM de 23 et 31 est 1.

Trouve le facteur commun le plus élevé de 27 et 36.

Solution

Étape 1 : Dressons la liste des facteurs de 27 et 36.

Facteurs de 27 : 1, 3, 9, 27

Facteurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Étape 2 : À partir de ces deux listes, déterminons les facteurs communs partagés entre 27 et 36.

Facteurs communs à 27 et 36 : 1, 3, 9.

Étape 3: Enfin, nous allons identifier le plus grand facteur commun de cette liste.

Ici, 9 est le plus grand facteur commun. Ainsi, $\text{HCF}(27,36)=9$.

Trouve le facteur commun le plus élevé de 7, 35 et 42.

Solution

Étape 1 : Dressons la liste des facteurs de 7, 35 et 42.

Facteurs de 7 : 1, 7

Facteurs de 35 : 1, 5, 7, 35

Facteurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Étape 2 : À partir de ces trois listes, déterminons les facteurs communs partagés entre 7, 35 et 42.

Facteurs communs à 7, 35 et 42 : 1 et 7.

Étape 3 : Enfin, nous allons identifier le plus grand facteur commun de cette liste.

Ici, 7 est le plus grand facteur commun. Ainsi, $\text{HCF}(7,35,42)=7.$

Trouve les HCF de 12, 15, 21 et 24.

Solution

Étape 1 : Dressons la liste des facteurs de 12, 15, 21 et 24.

Facteurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

Facteurs de 15 : 1, 3, 5, 15

Facteurs de 21 : 1, 3, 7, 21

Facteurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Étape 2 : À partir de ces trois listes, déterminons les facteurs communs partagés entre 12, 15, 21 et 24.

Facteurs communs de 12, 15, 21 et 24: 1 et 3.

Étape 3 : Enfin, nous allons identifier le plus grand facteur commun de cette liste.

Ici, 3 est le plus grand facteur commun. Ainsi, $\text{HCF}(12,15,21,24)=3.$

Trouve le FCM de 24 et de 32.

Solution

Étape 1 : Nous allons écrire chaque nombre comme un produit de nombres premiers.

Factorisation première de 24 :

$$\begin{array}{cc}2& 24\\ 2& 12\\ 2& 6\\ 3& 3\\ & 1\end{array}$$

\N- 24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 2^3 \cdot 3\N]

Factorisation première de 32 :

$$\begin{array}{cc}2& 32\\ 2& 16\\ 2& 8\\ 2& 4\\ 2& 2\\ & 1\end{array}$$

\N- [32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 = 2^5\N]

Étape 2 : dresse la liste des nombres premiers communs à 24 et 32.

\N- [\N- 24 &= 2\N- 2\N- 2\N- 2\N- 3 \N- 32 &= 2\N- 2\N- 2\N- 2\N- 2\N- 2\N- 2 \N- 2 \N- 2 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- end{align} \]

Ici, les nombres premiers communs de 24 et 32 sont les trois instances du nombre 2.

Étape 3 : Multiplie les facteurs communs.

\N- 2\cdot 2\cdot 2=8.\N]

Ainsi, \(\mbox{HCF}(24, 32) = 8.\N)

Trouve le plus grand facteur commun de 8, 12 et 20.

Solution

Étape 1 : nous allons écrire chaque nombre comme un produit de nombres premiers.

Factorisation première de 8 :

$$\begin{array}{cc}2& 8\\ 2& 4\\ 2& 2\\ & 1\end{array}$$

\N- 8 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot = 2^3 \N- 8 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot = 2^3 \N]

Factorisation première de 12 :

$$\begin{array}{cc}2& 12\\ 2& 6\\ 3& 3\\ & 1\end{array}$$

\N- [12 = 2\cdot 2\cdot 3 = 2^2 \cdot 3\N]

Factorisation première de 20 :

$$\begin{array}{cc}2& 20\\ 2& 10\\ 5& 5\\ & 1\end{array}$$

\N- 20 = 2\cdot 2\cdot 5 = 2^2 \cdot 5\N]

Étape 2 : Énumère les nombres premiers communs à 8, 12 et 20.

$$\begin{array}{rl}8& =2\cdot 2\cdot 2\cdot \\ 12& =2\cdot 2\cdot 3\\ 20& =2\cdot 2\cdot 5.\end{array}$$

Ici, les nombres premiers communs de 8, 12 et 20 sont les deux instances du nombre 2.

Étape 3 : Multiplie les facteurs communs.

\N- 2 \Ncdot 2 = 4.\N]

Ainsi, \N( \Nmbox{HCF}(8, 12, 20) = 4.\N)

Trouve les HCF de 9, 27, 36 et 45.

Solution

Étape 1 : nous allons écrire chaque nombre comme un produit de nombres premiers.

Factorisation première de 9 :

$$\begin{array}{cc}3& 9\\ 3& 3\\ & 1\end{array}$$

\N- [9 = 3\Ncdot 3 = 3^2\N]

Factorisation première de 27 :

$$\begin{array}{cc}3& 27\\ 3& 9\\ 3& 3\\ & 1\end{array}$$

\N- [27 = 3\cdot 3\cdot 3 = 3^3\N]

Factorisation première de 36 :

$$\begin{array}{cc}2& 36\\ 2& 18\\ 3& 9\\ 3& 3\\ & 1\end{array}$$

\N- [36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2\N]

Factorisation première de 45

$$\begin{array}{cc}3& 45\\ 3& 15\\ 5& 5\\ & 1\end{array}$$

\N- 45 = 3\cdot 3\cdot 5 = 3^2 \cdot 5\N]

Étape 2 : liste des nombres premiers communs de 9, 27, 36 et 45.

Ici, les nombres premiers communs de 9, 27, 36 et 45 sont les deux instances du nombre 3.

Étape 3 : Multiplie les facteurs communs.

\N- 3 \Ncdot 3 = 9\N]

Ainsi, $\text{HCF}(9,27,36,45)=9.$

Trouve le FCM de 40 et de 50.

Solution

Étape 1 : Divise 50 par 40.

\[ \begin{array}{rl} 1 & \\N40\N ; \Nenclose{longdiv}{\N;50} \N-.2ex\N \Nunderline{40} \N- & \N- 10 \N- & \Nend{array}\N]

Étape 2 : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 10) le diviseur et du diviseur (= 40) le dividende.

\[ \begin{array}{rl} 4 & \10\; \enclose{longdiv}{\;40} \N-.2ex\N \Nunderline{40} \N- & \N- 0 \N- & \N- [end{array}\N]

Étape 3 : Comme le reste de l'étape 2 est égal à 0, le diviseur = 10 est le HCF .

Ainsi, $\text{HCF}(40,50)=10.$

Trouve les HCF de 33, 121 et 154.

Solution

Étape 1(a) : Trouve la HCF de 33 et 121 en utilisant la division longue.

\[ \begin{array}{rl} 3 & \33\; \enclose{longdiv}{\;121} \N-.2ex\N \Nunderline{99} \N- & \N- 22 \N- & \Nend{array}\N]

Étape 1(b) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 22) le diviseur et du diviseur (= 33) le dividende.

\[ \begin{array}{rl} 1 & \22\; \enclose{longdiv}{\;33} \N-.2ex\N \Nunderline{22} \N- & \N- 11 \N- & \N- [end{array}\N]

Étape 1(c) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 11) le diviseur et du diviseur (= 22) le dividende.

\[ \begin{array}{rl} 1 & \11\; \enclose{longdiv}{\;22} \N-.2ex\N \Nunderline{22} \N- & \N- 0\N- & \Nend{array}\N]

Lereste est finalement égal à 0. Ainsi, le diviseur = 11 est le HCF de 33 et 121.

Étape 2 : Maintenant que nous avons la HCF de 33 et 121, trouvons maintenant la HCF de 33, 121 et 154. Pour ce faire, le HCF (de 33 et 121) trouvé à l'étape 1(c) devient le diviseur et 154 le divisé. Applique la division longue comme d'habitude.

\[ \begin{array}{rl} 14 & \\11\ ; \enclose{longdiv}{\;154} \N-.2ex\N \Nunderline{154} \N- & \N- 0 \N- & \Nend{array}\N]

Ainsi, $\text{HCF}(33,121,154)=11.$

Trouve les HCF de 24, 48, 63 et 75.

Solution

Étape 1 : Trouve la HCF de 24 et 48 en utilisant la division longue.

\[ \N-{array}{rl} 2 & \N-{24\N ; \N-{longdiv}{\N;48} \N-.2ex\N \Nunderline{48} \N- & \N- 0 \N- & \Nend{array}\N]

Comme le reste est égal à 0, le diviseur = 24 est le HCF de 24 et 48 .

Étape 2(a) : Maintenant que nous avons la HCF de 24 et 48, trouvons maintenant la HCF de 24, 48 et 63. Pour ce faire, le HCF (de 24 et 48) trouvé à l'étape 1 est le diviseur et 63 est le divisé. Effectue la division longue comme précédemment.

\[ \begin{array}{rl} 2 & \24\; \enclose{longdiv}{\;63} \N-.2ex\N \Nunderline{48} \N- & \N- 15 \N- & \N- [end{array}\N]

Étape 2(b) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 15) le diviseur et du diviseur (= 24) le dividende.

\[ \begin{array}{rl} 1 & \15\; \enclose{longdiv}{\;24} \N-.2ex\N \Nunderline{15} \N- & \N- 9 \N- & \N- [end{array}\N]

Étape 2(c) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 9) le diviseur et du diviseur (= 15) le dividende.

\[ \begin{array}{rl} 1 & \9\; \enclose{longdiv}{\;15} \N-.2ex\N \Nunderline{9} \N- & \N- 6 \N- & \N- [end{array}\N]

Étape 2(d) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 6) le diviseur et du diviseur (= 9) le dividende.

\[ \begin{array}{rl} 1 & \6\; \enclose{longdiv}{\;9} \N-.2ex\N \Nunderline{6} \N- & \N- 3 \N- & \N- [end{array}\N]

Étape 2(e) : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste (= 3) le diviseur et du diviseur (= 6) le dividende.

\[ \begin{array}{rl} 2 & \3\; \enclose{longdiv}{\;6} \N-.2ex\N \Nunderline{6} \N- & \N- 0 \N- & \Nend{array}\N]

Lereste est finalement égal à 0. Ainsi, le diviseur = 3 est le HCF de 24, 48 et 63 .

Étape 3 : Comme nous avons maintenant la HCF de 24, 48 et 63, nous devons enfin trouver la HCF de 24, 48, 63 et 75. Pour ce faire, la CCF (de 24, 48 et 63) trouvée à l'étape 2(e) devient le diviseur et 75 le divisé. Applique la division longue comme d'habitude .

\[ \begin{array}{rl} 25 & \3\; \enclose{longdiv}{\;75} \N-.2ex\N \Nunderline{75} \N- & \N- 0 \N- & \Nend{array}\N]

Ici, le reste est égal à 0. Le diviseur = 3 est donc le HCF des quatre nombres donnés .

Ainsi, $\text{HCF}(24,48,63,75)=3.$

Vérifie que la formule ci-dessus est satisfaite pour les nombres 9 et 12.

Solution

Trouvons d'abord le FCM de 9 et de 12. En utilisant la méthode de l'énumération, nous obtenons :

Facteurs de 9 : 1, 3, 9

Facteurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

Facteurs communs de 9 et 12 : 1 et 3

Ainsi, HCF(9, 12) = 3

Trouvons maintenant le LCM de 9 et 12. Pour trouver le LCM, reporte-toi à la rubrique : Le plus petit commun multiple.

$$\begin{array}{cc}3& 912\\ 2& 3,4\\ 2& 3,2\\ 3& 3,1\\ & 1,1\end{array}$$

\N- [36 = 3\cdot 2\cdot 2\cdot 3\N]

Donc \( \mbox{LCM}(9, 12) = 36.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N)

En se référant à la formule donnée, on constate d'abord que le produit de 9 et 12 est égal à 108. Déduisons maintenant le produit de leur HCF et de leur LCM.

$$\text{HCF}(9,12)\cdot \text{LCM}(9,12)=3\cdot 36=108.$$

Comme tu peux le voir, le produit du HCF et du LCM de 9 et 12 est également égal au produit de 9 et 12. La formule est donc valable pour cette paire de nombres.

Détermine la HCF de 45 et 72 en utilisant la méthode de l'énumération, la méthode de factorisation des nombres premiers et la méthode de division pour trouver la HCF.

Méthode de l'énumération

Étape 1 : Dressons la liste des facteurs de 45 et 72.

Facteurs de 45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45

Facteurs de 72 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Étape 2 : À partir de ces deux listes, déterminons les facteurs communs partagés entre 45 et 72.

Facteurs communs à 45 et 72: 1, 3, 9

Étape 3 : Enfin, nous allons identifier le plus grand facteur commun de cette liste.

Ici, 9 est le plus grand facteur commun. Ainsi, $\text{HCF}(45,72)=9.$

Méthode de factorisation des nombres premiers

Étape 1 : Nous allons écrire chaque nombre comme un produit de nombres premiers.

Factorisation première de 45

$$\begin{array}{cc}3& 45\\ 3& 15\\ 5& 5\\ & 1\end{array}$$

\N- [45 = 3\cdot 3\cdot 5 = 3^2 \cdot 5\N]

Factorisation première de 72

$$\begin{array}{cc}2& 72\\ 2& 36\\ 2& 18\\ 3& 9\\ 3& 3\\ & 1\end{array}$$

$$72=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=2^3\cdot 3^2$$

Étape 2 : dresse la liste des nombres premiers communs à 45 et 72.

\N- [\N- Début{align} 45 &= 3\cdot 3\cdot 5 \c 72 &= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 3 .\cend{align} \]

Ici, les nombres premiers communs de 45 et 72 sont les deux instances du nombre 3.

Étape 3 : Multiplier les facteurs communs

\N- 3\cdot 3 = 9 \N]

Ainsi, \ ( \mbox{HCF}(45, 72) = 9.\N)

Méthode de division

Étape 1 : Diviser 72 par 45

\[ \begin{array}{rl} 1 & \\N45\N ; \enclose{longdiv}{\N;72} \N-.2ex\N \Nunderline{45} \N- & \N- 27 \N- & \Nend{array}\N]

Étape 2 : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste = 27 le diviseur = 45 le dividende.

\[ \begin{array}{rl} 1 & \27\; \enclose{longdiv}{\;45} \N-.2ex\N \Nunderline{27} \N- & \N- 18 \N- & \Nend{array}\N]

Étape 3 : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste = 18 le diviseur = 27 le dividende .

\[ \begin{array}{rl} 1 & \18\; \enclose{longdiv}{\;27} \N-.2ex\N \Nunderline{18} \N- & \N- 9 \N- & \Nend{array}\N]

Étape 4 : Puisque le reste n'est pas 0, fais du reste = 9 le diviseur = 18 le dividende.

\[ \begin{array}{rl} 2 & \9\; \enclose{longdiv}{\;18} \N-.2ex\N \Nunderline{18} \N- & \N- 0 \N- & \Nend{array}\N]

Étape 5 : Comme le reste de l'étape 4 est égal à 0, le diviseur = 9 est le HCF .

Ainsi, \ ( \mbox{HCF}(45, 72) = 9.\)