Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
Get started for freeL'énoncé de ce que nous essayons de prouver ou de réfuter s'appelle ?
Quelle valeur de x est un contre-exemple de 5x > 4x ?
Il existe des nombres premiers divisibles par 6.
Est-ce que n²-1 est un multiple de 3, alors que n n'est pas un multiple de 3 démontré à l'aide d'une preuve par épuisement ?
Quand la preuve par épuisement est-elle dite complète ?
La valeur la plus basse est conservée quoi lorsqu'on utilise l'induction mathématique ?
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Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
La preuve est un élément très important des mathématiques. En tant que mathématiciens, nous ne pouvons pas croire un fait s'il n'a pas été entièrement prouvé par d'autres faits que nous connaissons.
Il existe quelques types de preuves clés que nous allons examiner brièvement. Les voici :
Nous passerons ensuite à des éléments de preuve plus difficiles, une preuve spéciale appelée induction mathématique.
Ces preuves sont relativement simples et méthodiques, cependant, nous examinerons quelques astuces que l'on peut utiliser pour accélérer le processus.
La preuve par contre-exemple est probablement l'une des preuves les plus élémentaires que nous allons étudier. Elle correspond à peu près à ce qu'elle énonce et consiste à prouver quelque chose en trouvant un contre-exemple.
Les étapes sont les suivantes.
| Étape | Pourquoi ? |
| Énonce clairement ta conjecture et ce que tu dois prouver. | Démontrer l'objectif de cette preuve. |
| Trouve un contre-exemple, nous pouvons le faire en testant des exemples et nous finirons par trouver un bon exemple. | Celui-ci réfutera notre conjecture. |
Conjecture : Énoncé de ce que nous essayons de prouver ou de réfuter.
Prenons un petit exemple pour nous aider à comprendre ce qui se passe.
Démontre par un contre-exemple que toutes les valeurs desont impaires, pour.
SOLUTION :
Si on laisse,
4 ne peut pas s'écrire sous la formeavec.
Donc 4 n'est pas impair.
Nous avons trouvé un contre-exemple qui réfute la conjecture.
La preuve par épuisement consiste à tester tous les exemples pertinents et à vérifier qu'ils satisfont tous la conjecture. Cette méthode, utilisée lorsque les cas sont limités, permet donc de tester tous les exemples pertinents, ce qui ne prend pas beaucoup de temps. Voyons comment nous procédons en plusieurs étapes :
| Étape | Pourquoi ? |
| Énonce ta conjecture. | Trouve l'objectif de notre preuve. |
| Trouve tous les exemples nécessaires à tester. | Permet de voir quels sont les cas que nous devons tester. |
| Teste tous les cas pertinents. | Vérifie que tous nos cas "épuisés" fonctionnent. |
| Fais une déclaration au sujet de ta preuve. | Résume bien la preuve. |
Voyons un petit exemple de fonctionnement.
Prouve par épuisement que les nombres pairs positifs consécutifs inférieurs à 10, s'additionnent en nombres pairs.
SOLUTION :
Nous voulons voir que la somme de deux nombres pairs positifs consécutifs inférieurs à 10 est paire.
Les nombres que nous allons utiliser sont donc 2, 4, 6 et 8.
6, 10 et 14 sont tous des nombres pairs car ce sont tous des multiples de 2 :
Par conséquent, ces sommes sont toutes des nombres pairs.
Notre conjecture a donc été prouvée.
Il existe quelques symboles utiles que nous pouvons utiliser pendant et après avoir terminé une preuve. Cela peut donner à notre preuve une allure un peu plus fantaisiste. Ces symboles sont les suivants :
| Symbole | Explication |
| Q.E.D | Q.E.D. signifie quod erat demonstrandum. En latin, cela signifie qu'il a été prouvé. |
| Cela signifie exactement la même chose que Q.E.D.. | |
| Cela implique que. Tu utiliseras donc cette expression lorsqu'une affirmation en implique directement une autre. | |
| Lorsque deux affirmations s'impliquent l'une et l'autre, on utilise cette flèche. | |
| ∴ | Ces trois points signifient donc que l'on utilise un énoncé de fait comme base pour un nouvel énoncé de fait, par exemple a=2 ∴ a+2=4. |
La preuve par contradiction consiste à tenter de prouver le contraire de ce que l'on nous demande. Réalise ensuite qu'il y a une contradiction dans notre preuve listée.
Il n'y a pas vraiment de liste d'étapes à suivre. Nous commençons simplement par essayer de prouver le contraire, puis nous utilisons des manipulations algébriques pour finalement montrer que c'est faux. Examinons un exemple clé de cette méthode, qui devrait être suffisamment explicite.
Prouve queest irrationnel.
SOLUTION :
Tout d'abord, décomposons ce qui nous est demandé. Nous voulons montrer quene peut pas s'écrire sous forme de fraction.
Essayons donc de prouver que c'est une fraction et trouvons notre contradiction.
Soitoùest une fraction dans sa forme la plus simple.
Si nous élevons les deux côtés au carré :
doit être pair, carest pair et la racine carrée d'un nombre pair est paire.
Soit,
Cela signifie queest pair. Par conséquent, cela signifie queest pair.
Si à la foisetsont pairs, cela signifie quen'est pas dans sa forme la plus simple.
Il s'agit d'une contradiction puisque nous avons supposé à l'origine queétait sous sa forme la plus simple.
Par conséquentn'est pas rationnel et est irrationnel.
Dans cet exemple, nous avons utilisé la manipulation algébrique et des faits mathématiques de base pour déplacer certains termes et montrer que quelque chose est irrationnel. Par conséquent, chaque fois que l'on nous pose une question comme celle-ci, il suffit d'utiliser l'algèbre et les faits relatifs aux nombres pour montrer qu'il y a une contradiction.
En latin, on parle de reductio ad absurdum, c'est-à-dire de preuve par l'absurde : on suppose quelque chose d'erroné et on trouve une contradiction.
L'induction mathématique est le processus par lequel nous utilisons des valeurs antérieures pour trouver de nouvelles valeurs. Nous l'utilisons donc lorsque nous essayons de prouver que quelque chose est vrai pour toutes les valeurs. Voici donc la liste des étapes à suivre pour répondre à une question générale :
Prouve que la"conjecture" est vraie pour toutes les valeurs n≥m.
| Étape | Pourquoi ? |
| 1. Prouve que c'est vrai pour notre valeur la plus faible, (n=m dans ce cas). | Montre que notre valeur bornée inférieure est vraie. |
| 2. Suppose qu'elle est vraie pour la valeur n=k. | Nous supposons que la conjecture est vraie pour une certaine valeur de notre plage pour l'utiliser en référence future. |
| 3. Utilise le fait que n=k est vrai, prouve que n=k+1 est vrai. | Cela montre que pour certains n=k, n=k+1 est vrai. Par induction, cela signifie que les valeurs sont vraies. |
| 4. Fais une déclaration pour conclure ceci dans la structure : Cela a été prouvé pour n=m, et pour certains n=k, n=k+1 est vrai. La conjecture est donc vraie pour toutes les valeurs n≥m. | Cela donne un énoncé récapitulatif à notre preuve et nous permet de voir notre objectif prouvé. |
Voyons deux exemples de cela, l'un qui est plus général et l'autre qui est spécifique aux séries et aux suites.
Prouve par induction mathématique queest divisible par 4 pour tous les.
SOLUTION :
Étape 1: Nous devons d'abord testerce qui donne.
Il s'agit donc d'un multiple de 4.
Étape 2: Suppose que lorsquel'énoncé est correct.
Si nous l'écrivons en notation mathématique, nous obtenonsoù m est un nombre positif.
Étape 3: Utilisons maintenant le fait queest vrai pour prouver que pour:
Nous remplaçons maintenantà la place dedans lenous obtenons :
Étape 4: Par conséquent, en se basant sur le fait queest un multiple de 4,est un multiple de 4.
C'est donc vrai pouret pour certains, c'est vrai pour certains.
La conjecture est donc prouvée.
Voyons un autre exemple spécifique aux séries et aux séquences.
Prouve par induction mathématique quepour tout.
SOLUTION :
Étape 1: Tout d'abord, nous devons tester le cas où.
Étape 2: Nous supposons que le cas deest correct.
Étape 3: Maintenant, en utilisant le fait, nous devons tester pour:
Si nous simplifions cela, nous obtenons :
Si nous annulons le termedu numérateur et du dénominateur, nous obtenons :
Si nous annulons le terme du numérateur et du dénominateur, nous obtenons : , si nous revenons au fait que,
Étape 4: On a donc prouvé que lorsqueet pour certainsil a été prouvé pour. Par conséquent, c'est vrai pour tout.
Nous voyons donc qu'il suffit de manipuler l'algèbre et d'utiliser certaines règles sur les séries pour prouver des conjectures pour toutes les valeurs.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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