Quel symbole utilise-t-on pour la proportion ?
Pour représenter le fait que deux variables sont proportionnelles l'une à l'autre, nous utilisons le symbole \(\propto\). Par exemple, la loi d'Ohm stipule que le courant qui traverse un conducteur entre deux points est directement proportionnel à la tension entre ces deux points. Si la tension est représentée par V et le courant par I, nous pouvons écrire \(V \propto I\).
Chaque fois que nous voyons un symbole de proportionnalité, nous pouvons le remplacer par un signe égal et une constante de proportionnalité. Cela signifie que nous pouvons écrire la loi d'Ohm comme \(V = kI\), où k est notre constante.
Qu'est-ce qu'une proportion directe ?
Si deux variables sont en proportion directe, lorsqu'une variable augmente, l'autre augmente aussi. Inversement, cela signifie que lorsqu'une variable diminue, l'autre diminue également. Toute relation directe, pour les variables A et B, peut être écrite sous la forme \(A = kB\). Cela signifie que sur un graphique, cette relation sera représentée par une ligne droite, passant par l'origine. C'est ce que montre le graphique ci-dessous.
Graphique montrant une relation directe de la forme \(A = kB\)Le poids d'un morceau de ficelle est directement proportionnel à sa longueur. Lorsque le morceau de ficelle mesure 30 cm de long, il pèse 0,2 N. Trouve le poids du morceau de ficelle lorsque la ficelle mesure 50 cm de long.
Nous savons que ce poids est directement proportionnel, nous connaissons donc la relation W(\propto\) L, où W représente le poids et L la longueur. Soit a notre constante de proportionnalité, de sorte que \(W = aL\). D'après la première partie de la question, nous connaissons \N(0,2 = a \cdot 30\), donc \N(a = \frac{1}{150}\). Nous pouvons maintenant l'utiliser pour trouver le poids lorsque la ficelle mesure 50 cm de long. La même relation s'applique, donc \(W = \frac{1}{150} L\). En substituant notre longueur de 50 cm, nous obtenons \(W = \frac{50}{150} = \frac{1}{3}\), donc à deux décimales près, W = 0,33N.
Qu'est-ce qu'une proportion inverse ?
On parle de proportion inverse lorsqu'une variable qui augmente entraîne la diminution d'une autre variable. Si cette relation se produisait entre les variables c et d, nous écririons \(c \propto \frac{1}{d}\). Un exemple de proportion inverse serait que si la vitesse augmente, le temps nécessaire pour parcourir une distance diminuera. Graphiquement, cela signifie que la forme de la relation sera représentée par \(y = \frac{x}{k}\), avec k constant, et x, y variables. Cela signifie que le graphique ne touchera jamais l'axe, mais qu'il s'en approchera de très près lorsque nous introduirons une valeur x très grande, ou une valeur x extrêmement proche de 0. Ce graphique est illustré ci-dessous.
Graphique montrant une relation inversement proportionnelle
Deux variables, b et n sont inversement proportionnelles l'une à l'autre. Lorsque b = 6, n = 2. Trouve la valeur de n lorsque b est égal à 15.
Nous savons que \(b \propto \frac{1}{n}\), donc \(b = \frac{k}{n}\), où k est notre constante de proportionnalité. En remplissant les valeurs de b et de n, nous obtenons \(6 = \frac{k}{2}\), donc k = 12. Cela signifie que pour toutes les valeurs de b et de n, \(b = \frac{12}{n}\). Nous devons trouver n lorsque b = 15, ce qui nous permet d'obtenir \(15 =\frac{12} {n}\). En réarrangeant cela pour n, nous obtenons \N(n = {12}{15} = 0,8\N).
Proportions et formes
Si deux formes sont proportionnées, cela signifie que les deux formes sont identiques, à l'exception de l'une d'entre elles qui aura été mise à l'échelle, soit vers le haut, soit vers le bas. Pour que deux formes soient semblables, il faut que tous les angles de la forme soient les mêmes et que tous les côtés soient proportionnés. Ici encore, nous aurons une constante de proportionnalité, qui relie les deux formes. En une dimension, on appelle cela un facteur d'échelle de longueur, en deux dimensions, un facteur d'échelle de surface, et en trois dimensions, un facteur d'échelle de volume. Nous pouvons passer du facteur d'échelle de longueur au facteur d'échelle de volume ou de surface. Pour obtenir le facteur d'échelle de surface, nous devons multiplier le facteur d'échelle de longueur en deux dimensions, soit (\text{facteur d'échelle de longueur})^2 = \text{facteur d'échelle de surface}\). Pour obtenir le facteur d'échelle de volume, nous devons multiplier le facteur d'échelle de longueur en trois dimensions, soit
((\text{facteur d'échelle de longueur})^3 = \text{facteur d'échelle de volume}\)
Deux cubes sont mathématiquement similaires. Le premier cube a une surface de face de 16m². Les côtés du deuxième cube sont deux fois moins longs que les côtés du premier cube. Trouve le volume du deuxième cube. Le facteur d'échelle de longueur entre les formes est \(\frac{1}{2}\), ce qui implique que le facteur d'échelle de volume est \(\big( \frac{1}{2} \big)^3 = \frac{1}{8}\). Si le premier cube a une surface de 16m², cela signifie qu'il doit avoir des côtés de 4m, ce qui implique qu'il a un volume de 64m³. Comme le facteur d'échelle du volume est \(\frac{1}{8}\), le volume du deuxième cube est \(\frac{64}{8} = 8m^3\).
Les triangles ABE et ACD sont semblables. Trouve la longueur de CD. (Toutes les longueurs sont en cm)
La constante de proportionnalité, k, entre AB et AC est donnée par (AC) = k (AB), ce qui donne 12 = k 8, donc k = 1,5. Cela signifie que, puisque les triangles sont semblables, CD = k (BE), donc \(CD = 1,5 \cdot 10 = 15 cm\)
Proportion - Points clés à retenir
Le symbole de la proportion est ∝
Si deux choses sont proportionnées, cela signifie qu'il existe une relation entre elles.
Les proportions directes sont de la forme \(y \propto x\).
Les proportions inverses sont de la forme \(y \propto \frac{1}{x}\).
Si deux variables/formes sont proportionnelles, il existe une constante de proportionnalité.
(facteur d'échelle de longueur) ² = facteur d'échelle de surface.
- (facteur d'échelle de longueur) ³ = facteur d'échelle de volume .
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