Proportions directes et inverses

Supposons que les deux quantités soient la taille d'un lit et l'autre le coût de sa fabrication. Lorsque la taille du lit augmente, le coût de sa fabrication augmente également de façon constante.

Supposons que le coût d'un lit de 4 mètres carrés soit de 400 $, de 8 mètres carrés de 800 $, de 16 mètres carrés de 1600 $, et ainsi de suite. On dit que ces deux quantités sont directement proportionnelles.

Un exemple typique de ces deux quantités dans le monde réel serait la croissance de la population de bactéries en fonction du temps.

Un autre exemple serait celui des travailleurs nécessaires pour accomplir une tâche ; plus il y a de travailleurs, moins le temps nécessaire est long.

Un bus se déplace à une vitesse de 40 km/h. Nous supposons que la vitesse est constante tout au long du trajet.

(i) Trouve la distance parcourue par le bus au cours des 30 premières minutes.

(ii) Trouve le temps nécessaire au bus pour parcourir une distance de 240 km.

Solution

Le bus se déplace à une vitesse constante, ce qui implique que la distance parcourue est uniforme pour un intervalle de temps donné.

Ainsi, la distance parcourue est directement proportionnelle au temps nécessaire pour parcourir cette distance.

Soit t le temps mis et d la distance parcourue, notre proportionnalité est donc ,

$d\propto t$

En convertissant cela en une équation, nous obtenons

$d=kt$

En réarrangeant l'équation, nous obtenons

$k=\frac{d}{t}$

Mais le rapport entre la distance et le temps est défini comme la vitesse, donc la constante kest la vitesse elle-même, donc

$40=\frac{d}{t}$

(i) Ainsi, pourtrouver la distance parcourue en 30 min=0,5 heure, il suffit de substituer t=0,5 heure à l'équation ci-dessus,

$d=40\times 0.5=20km$

La distance parcourue par le bus en 30 minutes est donc de 20 km.

(ii) Pour trouver le temps nécessaire pour parcourir 240 km, en remplaçant d=240 km, on obtient

$t=\frac{240}{40}=6hr$

Par conséquent, le temps nécessaire pour parcourir 240 km est de 6 heures.

Le coût de 2 kilogrammes de pommes est de 4 $. Trouve le coût de 7 kilogrammes de pommes.

Solution

Soit xle poids des pommes et yle coût des pommes.

Plus le poids de la pomme augmente, plus son coût augmente. Le poids et le coût des pommes sont donc linéairement proportionnels, ce qui nous permet d'utiliser la formule suivante,

$x=ky$

où kest la constante de proportionnalité. En introduisant les valeurs qui nous sont données, nous obtenons

$2=4k$

En isolant k, nous obtenons

Cela nous donne l'équation dont nous avons besoin,

$y=2x$

Ensuite, pour trouver le coût de 7 kilogrammes de pommes, nous remplaçons x par 7 pour obtenir ,

$y=2\times 7=14$

Ainsi, le coût de 7 kilogrammes de pommes est de 14 $.

Pour un gaz idéal à température constante, la pression qui lui est appliquée est inversement proportionnelle au volume occupé par le gaz.

Lors d'une expérience, on observe qu'à une pression de 10 bars, le volume du gaz est de 3 mètres cubes. Quel sera son volume lorsque celle-ci sera de 5 mètres cubes ?

Solution

Soit P et V qui désignent respectivement la pression et le volume du gaz. On sait qu'ils sont inversement proportionnels, ce qui donne ,

$PV=k$

où k est une constante.

En remplaçant P=10 et V=3, on obtient

$k=10\times 3=30$,

ce qui nous donne l'équation,

$PV=30$

Ensuite, on nous demande de trouver la pression lorsque le volume est de 5^m3, ce qui donne ,

$P=\frac{30}{V}=\frac{30}{5}$

$P=6bar$

Par conséquent, la pression du gaz occupant 5^m3 de volume est de 6 bars.

Dans une usine de fabrication de smartphones, 10 ouvriers peuvent assembler un téléphone en 6 heures.

Combien de travailleurs seront nécessaires pour assembler le téléphone en 4 heures ?

Solution

Intuitivement, nous pouvons en déduire que plus le nombre d'ouvriers augmentera, plus le temps nécessaire pour assembler le téléphone diminuera. Il s'agit donc d'une proportionnalité inverse.

Si w représente le nombre de travailleurs nécessaires pour assembler 1 téléphone et t le temps qu'il leur faut pour l'assembler, la proportionnalité inverse est la suivante,

$w\propto \frac{1}{t}$.

En convertissant la proportionnalité en une équation, on obtient ,

$w=\frac{k}{t}$

où k est la constante de proportionnalité.

On nous indique que 10 travailleurs ont mis 6 heures pour effectuer la tâche, ce qui donne : , $10=\frac{k}{6}$

Supposons qu'il ait fallu w travailleurs pour l'achever en 4 heures, d'où

$w=\frac{k}{4}$

En prenant le rapport des deux équations ci-dessus, k est éliminé et la seule inconnue reste w, nous avons

$\frac{w}{10}=\frac{6}{4}$

$w=15$

Par conséquent, il faudra 15 travailleurs pour assembler le téléphone en 4 heures.