Qu'est-ce qu'un exposant en mathématiques?

Un exposant indique combien de fois un nombre, appelé base, est multiplié par lui-même.

Comment calcule-t-on une puissance?

Pour calculer une puissance, multipliez la base par elle-même autant de fois que l'indique l'exposant.

Quelles sont les règles des exposants?

Les règles incluent: produit des puissances (additionner les exposants), puissance d'une puissance (multiplier les exposants), et quotient des puissances (soustraire les exposants).

Quelle est la différence entre une base et un exposant?

La base est le nombre à multiplier et l'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même.

Puissances et exposants: Définition, Exemples

Puissances et exposants

Lespuissances et les exposants sont des termes qui peuvent prêter à confusion, car ils sont parfois utilisés de manière interchangeable. Cependant, dans cet article, nous expliquerons leur définition officielle et leur signification, ainsi que les différentes lois que tu peux utiliser pour résoudre les problèmes impliquant des puissances en algèbre à l'aide d'exemples pratiques.

C'est parti

Signification des puissances et des exposants

Les puissances sont des expressions mathématiques de la forme $x^{n}$ où x est la base et n l'exposant. Les puissances représentent des multiplications répétées, où la base est le nombre ou la variable qui est multipliée à plusieurs reprises, et l'exposant indique combien de fois il faut multiplier la base par elle-même.

À partir de la définition ci-dessus, identifions chaque partie d'une puissance et sa signification :

Puissances et exposants Représentation des puissances StudySmarter Parties d'une puissance, StudySmarter Originals

L'expression $x^{n}$ peut être lue comme x à la puissance $n^{t h}$ . La base (x) est écrite en taille réelle, et l'exposant (n) est écrit en plus petit et en haut de la ligne à l'aide d'un exposant (si tu le tapes sur un ordinateur). Par exemple, $x^{2}$ se lit comme x à la deuxième puissance, ou x au carré, ce qui signifie en pratique que la valeur de x est multipliée par elle-même autant de fois que la valeur de l'exposant, qui dans ce cas est 2, comme ceci :

$x^{2} = x \cdot x$ .

Rappelle-toi : La valeur de l'exposant t'indique combien de fois la base sera répétée dans la multiplication. Si un nombre ou une variable n'a pas d'exposant, on considère qu'il vaut 1. Par exemple , $x^{1} = x$ . De même, tout nombre ou variable dont l'exposant est 0 (zéro) est égal à 1. Par exemple , $x^{0} = 1$ .

Exemples de puissances

Voici quelques exemples de puissances, y compris la façon dont tu peux lire les expressions et leur signification :

Pouvoir	En mots	Signification
$3^{1}$	Trois à la première puissance	$3$
$5^{2}$	Cinq puissance deux, ou cinq au carré	$5 \cdot 5$
$2^{3}$	Deux à la troisième puissance, ou deux au carré	$2 \cdot 2 \cdot 2$
$7^{4}$	Sept puissance quatre	$7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$
$10^{5}$	Dix puissance cinq	$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
$x^{n}$	x à la puissance ⁿ	$x \cdot x \cdot x \cdot . . . \cdot x$ x est répété autant de fois que la valeur de n

Comment résoudre les puissances

Pour résoudre des puissances, tu dois considérer deux situations différentes :

1. Si la base est un nombre : dans ce cas, il te suffit de multiplier la base par elle-même autant de fois que la valeur de l'exposant pour trouver la solution.

Résoudre $3^{3}$

3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27

2. Si la base est une variable : Dans ce cas, tu dois remplacer la variable par une valeur, puis procéder comme précédemment.

Résous $x^{5}$ lorsque x = 2

$x^{5} = 2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

Lois des exposants

Les différentes lois des exposants que tu peux utiliser pour résoudre des problèmes en algèbre sont les suivantes :

Nom	Loi	Description de la loi	Exemple
Un comme exposant	$x^{1} = x$	Tout nombre ou variable élevé à la première puissance est égal au même nombre ou variable.	$2^{1} = 2$
Zéro comme exposant	$x^{0} = 1$	Tout nombre ou variable élevé à la puissance zéro est égal à 1.	$5^{0} = 1$
Exposant négatif	$x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$	Tout nombre ou variable élevé à un exposant négatif est égal à sa réciproque, qui est 1 sur le même nombre ou variable avec un exposant positif.	$x^{- 2} = \frac{1}{x^{2}}$
Puissance d'une puissance	${(x^{m})}^{n} = x^{m \cdot n}$	Si tu as une puissance élevée à une autre puissance, tu peux simplifier cette expression en multipliant les exposants.	${(x^{2})}^{3} = x^{2 \cdot 3} = x^{6}$
Produit	Même base $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$	Si tu as le produit de deux puissances ayant la même base, alors tu peux les combiner en additionnant les exposants.	$x^{3} \cdot x^{5} = x^{3 + 5} = x^{8}$
Produit	Base différente $x^{m} \cdot y^{n} = (x^{m}) \cdot (y^{n})$	Si tu as le produit de deux puissances ayant des bases et des exposants différents, tu dois résoudre chaque puissance séparément, puis multiplier les résultats ensemble.	$2^{3} \cdot 3^{2} = (2^{3}) \cdot (3^{2}) = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) = 8 \cdot 9 = 72$
Quotient	$\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m - n}$	Si tu as le quotient de deux puissances ayant la même base, tu peux les combiner en soustrayant l'exposant du numérateur moins l'exposant du dénominateur.	$\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{6 - 2} = x^{4}$
Puissance d'un produit	${(x \cdot y)}^{n} = x^{n} \cdot y^{n}$	Si tu as la puissance d'un produit, alors tu peux distribuer l'exposant à chaque facteur.	${(x \cdot y)}^{5} = x^{5} \cdot y^{5}$
Puissance d'un quotient	${(\frac{x}{y})}^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}}$	Si tu as la puissance d'un quotient, alors tu peux distribuer l'exposant au numérateur et au dénominateur.	${(\frac{x}{y})}^{4} = \frac{x^{4}}{y^{4}}$

Résoudre les puissances et les exposants

Parfois, tu devras utiliser plus d'une loi des exposants pour pouvoir résoudre des problèmes plus complexes :

1. Évalue ou simplifie $\frac{24 x^{4} y^{5}}{4 x^{5}}$

$\frac{24 x^{4} y^{5}}{4 x^{5}} = 6 x^{- 1} y^{5}$ en utilisant la loi du quotient $\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m - n}$

$\frac{24 x^{4} y^{5}}{4 x^{5}} = \frac{6 y^{5}}{x}$ en utilisant la loi des exposants négatifs $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$

2. Évalue ou simplifie ${(\frac{3 x y^{2}}{2 x^{3}})}^{- 2}$

${(\frac{3 x y^{2}}{2 x^{3}})}^{- 2} = {(\frac{2 x^{3}}{3 x y^{2}})}^{2}$ en utilisant la loi des exposants négatifs $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$ , retourne la fraction

$= \frac{{(2 x^{3})}^{2}}{{(3 x y^{2})}^{2}}$ en utilisant la loi de la puissance d'un quotient ${(\frac{x}{y})}^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}}$ distribue l'exposant

$= \frac{4 x^{6}}{9 x^{2} y^{4}}$ en utilisant la loi du quotient $\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m - n}$

${(\frac{3 x y^{2}}{2 x^{3}})}^{- 2} = \frac{4 x^{4}}{9 y^{4}}$

Application des puissances et des exposants

Tu dois te dire que les puissances et les exposants sont très intéressants, mais où et quand aurais-je besoin de les utiliser ? Nous allons te donner une idée des diverses applications des puissances et des exposants dans la vie réelle.

Les puissances et les exposants sont utilisés dans de nombreux domaines, par exemple :

Nous pouvons utiliser les puissances et les exposants pour représenter de très petits nombres, mais aussi de très grands nom bres, avec une notation mathématique plus simple.
L'application la plus évidente des puissances et des exposants est lorsque nous calculons des mesures telles que la surface ou le volume. Comme tu t'en souviens peut-être, lorsque tu calcules la surface, le résultat est donné en unités carrées, telles que ^cm2 ou^m2, et le volume est donné en unités cubiques, telles que ^cm3 ou^m3.
Leséchelles scientifiques, comme l'échelle de pH et l'échelle de Richter, utilisent également des puissances et des exposants pour représenter les différents niveaux de leur échelle. Le fait de monter ou de descendre sur l'échelle représente une augmentation ou une réduction de 10 fois le niveau précédent.
Laphysique des jeux informatiques est une autre application des puissances et des exposants, qui permet de calculer les mouvements, l'interaction entre les objets et d'autres dynamiques de jeu.
La capacité de la mémoire d'un ordinateur est également représentée à l'aide de puissances et d'exposants.
L'architecture utilise les puissances et les exposants pour spécifier l'échelle des modèles créés par un architecte par rapport à la taille de la structure ou du bâtiment dans la vie réelle.
D'autres domaines où les puissances et les exposants sont utilisés sont l'économie, la comptabilité et la finance, entre autres.

Puissances et exposants - points clés à retenir

Les puissances sont des expressions mathématiques de la forme $x^{n}$ où x est la base et n l'exposant.
Les puissancesreprésentent des multiplications répétées, où la base est le nombre ou la variable qui est multipliée à plusieurs reprises, et l'exposant indique combien de fois la base sera répétée dans la multiplication.
Pour résoudre les puissances, il faut savoir si la base est un nombre ou une variable. Si la base est un nombre, multiplie la base par elle-même autant de fois que la valeur de l'exposant pour trouver la solution. Si la base est une variable, remplace la variable par une valeur et procède comme précédemment.
Les différentes lois des exposants peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes d'algèbre.

Puissances et exposants

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Exemples de puissances

Comment résoudre les puissances

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