Qu'est-ce qu'une racine carrée d'un nombre complexe?

Une racine carrée d'un nombre complexe est un nombre qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne ce nombre complexe.

Comment calcule-t-on les racines d'un nombre complexe?

On calcule les racines d'un nombre complexe en utilisant des formules spécifiques dérivées de la forme polaire du nombre.

Combien de racines a un nombre complexe?

Un nombre complexe a généralement n racines n-ièmes, où n est l'ordre de la racine recherchée.

Quel est le lien entre les racines et la forme polaire d'un nombre complexe?

Les racines d'un nombre complexe peuvent être trouvées en utilisant l'angle et le module de sa forme polaire.

What is Investigating Racines des nombres complexes?

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Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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Le calcul des racines des nombres complexes consiste à trouver les racines (carrées, cubiques, etc.) des nombres complexes sous la forme ; a + bi

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La distance entre l'origine et le point Z est considérée comme le module.

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Gabriel Freitas.

Quality reviewed by Gabriel Freitas.
Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

L'expression "racines carrées" est familière, mais je suis sûr que l'expression "nombres complexes" est très probablement inconnue et effrayante. Les choses effrayantes peuvent être amusantes, ci-après tu apprendrais et t'amuserais à trouver les racines des nombres complexes.

Qu'est-ce que le calcul des racines des nombres complexes ?

Le calcul des racines des nombres complexes consiste à trouver les racines (carrées, cubiques, etc.) des nombres complexes sous la forme :

$a + b i$

où, a est la composante réelle des nombres complexes,

b est la composante imaginaire du nombre complexe, et

i is id="5238464" role="math" $\sqrt{- 1}$ .

Pour des raisons de mémoire, il est nécessaire de te rappeler ce que sont les nombres complexes avant de passer à la recherche de leurs racines.

Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?

Les nombres complexes sont des nombres qui s'expriment sous la forme :

$a + b i$

avec a étant un nombre réel et bi étant une valeur imaginaire utilisée pour représenter la racine des valeurs négatives (ex. $\sqrt{- 16}, \sqrt{- 5}$ etc.) De plus, i représente iota et est parfois représenté par j, avec les deux significations. $\sqrt{- 1}$ .

En mathématiques, il n'existe pas de solution pour trouver les racines des nombres négatifs, c'est pourquoi l'idée des nombres complexes est apparue, pour aller plus loin dans la résolution des racines des nombres négatifs. Ici, la racine d'un nombre négatif comme $\sqrt{- 16}$ peut être résolue comme suit :

$\sqrt{- 16} = \sqrt{- 1} \times \sqrt{16}$

où $\sqrt{- 1}$ reçoit la valeur i, alors,

$\sqrt{- 16} = i \times \sqrt{16} \sqrt{- 16} = i \times 4 \sqrt{- 16} = 4 i$

Note que :

$i = \sqrt{- 1} i^{2} = {\sqrt{- 1}}^{2} = \sqrt{- 1} \times \sqrt{- 1} = - 1 i^{3} = {\sqrt{- 1}}^{3} = \sqrt{- 1} \times \sqrt{- 1} \times \sqrt{- 1} = - \sqrt{- 1} = - i$

Calculer la racine carrée des nombres complexes

Parmi les calculs des racines des nombres complexes, trouver les racines carrées des nombres complexes peut être réalisé avec une approche plus directe plutôt qu'avec l'application d'une formule. L'exemple ci-dessous te permettra d'y parvenir.

Trouve la racine carrée de ce qui suit.

$3 + 4 i$

Solution :

La première étape consiste à assimiler le nombre complexe au carré de l'équation générale, donc,

$3 + 4 i = {(a + b i)}^{2} 3 + 4 i = a^{2} + 2 a b i + b^{2} i^{2} i^{2} = - 1 3 + 4 i = a^{2} + 2 a b i - b^{2}$

Rappelle que toutes les expressions avec i sont des expressions imaginaires, donc, réarrange les expressions en rapprochant les termes semblables :

$3 + 4 i = a^{2} + 2 a b i - b^{2} 3 + 4 i = a^{2} - b^{2} + 2 a b i$

Des deux côtés de l'équation, nous avons des expressions réelles et imaginaires. Mets les expressions en équation sur la base de composants similaires (c'est-à-dire réel à réel et imaginaire à imaginaire). Ainsi, pour la composante réelle, nous avons :

$3 = a^{2} - b^{2}$

et pour la composante imaginaire, nous avons :

$4 i = 2 a b i \frac{4 i}{2 i} = \frac{2 a b i}{2 i} \frac{^{2} 4 i}{^{1} 2 i} = \frac{^{1} 2 a b i}{^{1} 2 i} 2 = a b a = \frac{2}{b}$

Substitue la valeur de a comme $\frac{2}{b}$ dans l'équation, $3 = a^{2} - b^{2}$ . Par conséquent,

$3 = a^{2} - b^{2} a = \frac{2}{b} 3 = {(\frac{2}{b})}^{2} - b^{2} 3 = \frac{4}{b^{2}} - b^{2}$

Multiplie par ^b2,

$3 = \frac{4}{b^{2}} - b^{2} 3 \times b^{2} = b^{2} \times (\frac{4}{b^{2}} - b^{2}) 3 b^{2} = 4 - b^{4}$

Soit

$x = b^{2}$

Alors

$3 b^{2} = 4 - b^{4} x = b^{2} 3 x = 4 - x^{2} x^{2} + 3 x - 4 = 0 x^{2} + 4 x - x - 4 = 0 (x^{2} + 4 x) + (- x - 4) = 0 x (x + 4) - 1 (x + 4) = 0 (x - 1) (x + 4) = 0 x = 1 or x = - 4$

Par conséquent, la valeur de x est 1 ou -4. Rappelle que :

$x = b^{2}$

Ainsi,

$x = b^{2} \sqrt{x} = \sqrt{b^{2}} b = \sqrt{x}$

Cela signifie que b est $\sqrt{1}$ ou $\sqrt{- 4}$ Nous savons donc que $\sqrt{- 4}$ est invalide mais il existe une solution pour $\sqrt{1}$ . Par conséquent, b est +1 ou -1. Rappelle que :

$a = \frac{2}{b}$

Par conséquent,

$a = \frac{2}{b} a = \frac{2}{1} a = 2$

$a = \frac{2}{b} a = \frac{2}{- 1} a = - 2$

Rappelle que :

$3 + 4 i = {(a + b i)}^{2}$

En substituant les valeurs de a et b pour obtenir la racine du nombre complexe, on a ;

$3 + 4 i = {(a + b i)}^{2} \sqrt{3 + 4 i} = \sqrt{{(a + b i)}^{2}} \sqrt{3 + 4 i} = \pm (a + b i) \sqrt{3 + 4 i} = 2 + i$

$\sqrt{3 + 4 i} = - 2 - i$

Par conséquent, la racine carrée du nombre complexe $3 + 4 i$ est $2 + i$ ou $- 2 - i$ .

Quelles sont les racines des nombres complexes sous forme polaire ?

Pour dériver les racines des nombres complexes sous forme polaire, il te faudrait comprendre comment les nombres complexes sont exprimés sous forme polaire. Avec une bonne compréhension de cela, il deviendrait plus facile de déterminer les racines des nombres complexes sous forme polaire.

Considère que Z est le nombre complexe a + bi, la distance entre l'origine et le point Z est considérée comme le module. Celui-ci est représenté par |Z| et est égal à la racine carrée de la somme des carrés de a et b.

$|Z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Un angle θ est sous-tendu entre l'axe des réels positifs et la droite du module Z dont l'extrémité est située à l'origine. θ est appelé l'argument du module z.

$\tan (θ) = \frac{b}{a} θ = \tan^{- 1} \frac{b}{a}$

Où ,

$- 180 ° \leq θ \leq 180 ° - π \leq θ \leq π$

Racines des nombres complexes Illustration du module et de l'argument d'un nombre complexe StudySmarter Illustration du module et de l'argument d'un nombre complexe - StudySmarter Originals

À partir de l'illustration ci-dessus, avec b étant l'axe imaginaire et a étant l'axe positif réel, nous pouvons alors définir le nombre complexe, Z en termes de son module |Z| et de son argument θ comme :

$a = | Z | \cos (θ) b = | Z | \sin (θ) Z = | Z | \cos (θ) + | Z | \sin (θ) i$

Cependant, le module d'un nombre complexe |Z| est souvent désigné par r avec l'argument θ, ce qui donne lieu à la forme polaire d'un nombre complexe représenté à l'aide de (r,θ). Par conséquent, le nombre complexe Z peut être réécrit en fonction de son module r et de son argument θ comme suit :

$Z = | Z | \cos (θ) + | Z | \sin (θ) i Z = r \cos (θ) + r \sin (θ) i Z = r (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Cette équation est l'expression d'un nombre complexe sous sa forme polaire.

Exprime le nombre complexe, $Z = 8 + 6 i$ sous forme polaire.

Solution :

La forme polaire d'un nombre complexe s'exprime à l'aide de (r,θ). Pour dériver les deux, tout d'abord, nous devons trouver le module r, donc :

$r = |Z| |Z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} a = 8 b = 6 r = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} r = \sqrt{64 + 36} r = \sqrt{100} r = 10$

Ensuite, nous devons trouver l'argument, θ, donc,

$θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a}) θ = \tan^{- 1} (\frac{6}{8}) θ = \tan^{- 1} (0.75) θ = 36.87 °$

Maintenant que les deux valeurs du module et de l'argument ont été calculées, nous pouvons les mettre dans l'équation de la forme polaire, Donc,

$Z = r (\cos (θ) + i \sin (θ)) Z = 10 (\cos (36.87 °) + i \sin (36.87 °))$

Formule des racines des nombres complexes

Afin de dériver une formule qui puisse te guider dans le calcul réussi des racines des nombres complexes, tu dois comprendre la multiplication des nombres complexes sous leur forme polaire. Par conséquent, pour deux nombres complexes, _Z1 et _Z2 exprimés comme :

$Z_{1} = r_{1} (\cos (θ_{1}) + i \sin (θ_{1})) Z_{2} = r_{2} (\cos (θ_{2}) + i \sin (θ_{2}))$

Le produit de _Z1 et _Z2 devient alors :

$Z_{1} \times Z_{2} = r_{1} (\cos (θ_{1}) + i \sin (θ_{1})) \times r_{2} (\cos (θ_{2}) + i \sin (θ_{2})) Z_{1} \times Z_{2} = r_{1} \times r_{2} (\cos (θ_{1}) + i \sin (θ_{1})) (\cos (θ_{2}) + i \sin (θ_{2})) Z_{1} \times Z_{2} = r_{1} \times r_{2} (\cos θ_{1} \cos θ_{2} + i \cos θ_{2} \sin θ_{1} + i \cos θ_{1} \sin θ_{2} + i^{2} \sin θ_{1} \sin θ_{2}) i^{2} = - 1 Z_{1} \times Z_{2} = r_{1} \times r_{2} (\cos θ_{1} \cos θ_{2} + i \cos θ_{2} \sin θ_{1} + i \cos θ_{1} \sin θ_{2} - \sin θ_{1} \sin θ_{2}) Z_{1} \times Z_{2} = r_{1} \times r_{2} (\cos θ_{1} \cos θ_{2} - \sin θ_{1} \sin θ + i \cos θ_{2} \sin θ_{1} + i \cos θ_{1} \sin θ_{2}) i \cos θ_{2} \sin θ_{1} + i \cos θ_{1} \sin θ_{2} = i (\sin θ_{1} \cos θ_{2} + \sin θ_{2} \cos θ_{1}) Z_{1} \times Z_{2} = r_{1} \times r_{2} (\cos θ_{1} \cos θ_{2} - \sin θ_{1} \sin θ + i (\sin θ_{1} \cos θ_{2} + \sin θ_{2} \cos θ_{1})) \cos θ_{1} \cos θ_{2} - \sin θ_{1} \sin θ = \cos (θ_{1} + θ_{2}) \sin θ_{1} \cos θ_{2} + \sin θ_{2} \cos θ_{1} = \sin (θ_{1} + θ_{2}) Z_{1} \times Z_{2} = r_{1} \times r_{2} (\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2}))$

Nous nous attarderons uniquement sur la multiplication des nombres complexes sous leurs formes polaires car elle reste plus pertinente pour nous que les opérations de division. Maintenant que tu as vu ce qui se passe avec l'opération de produit, peux-tu maintenant imaginer comment on obtient les racines ? Avant de passer aux racines, voyons ce qui se passe avec les exposants des formes polaires.

Nous savons que les exposants sont généralement de la forme ^Zn. Apparemment, l'exposant le plus simple à traiter dans ce cas est ^Z2. Tu es certainement d'accord avec cela :

$Z^{2} = Z \times Z$

Où,

$Z_{1} = Z_{2} Z_{1} \times Z_{2} = Z_{1} \times Z_{1} Z_{1} \times Z_{1} = {Z_{1}}^{2}$

De plus, cela fonctionne pour l'argument _θ1 et _θ2.

$θ_{1} = θ_{2}$

Cela implique que :

$Z_{1} \times Z_{2} = r_{1} \times r_{2} (\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})) Z_{1} = Z_{2} θ_{1} = θ_{2} r_{1} = r_{2} {Z_{1}}^{2} = Z_{1} \times Z_{1} = r_{1} \times r_{1} (\cos (θ_{1} + θ_{1}) + i \sin (θ_{1} + θ_{1})) {Z_{1}}^{2} = {r_{1}}^{2} (\cos (2 θ_{1}) + i \sin (2 θ_{1}))$

Par conséquent, pour l'exposant d'un nombre complexe, ^Zn, nous pouvons dire ,

${Z_{1}}^{n} = {r_{1}}^{n} (\cos (n θ_{1}) + i \sin (n θ_{1}))$

La formule ci-dessus est ce que nous considérons comme le théorème de Moivre. Nous en discuterons plus tard.

En attendant, notre quête consiste à déterminer les racines des nombres complexes sous leur forme polaire, et non leurs exposants. Néanmoins, ce théorème est utile car il nous aide à déterminer les racines. Comment ?

De façon intéressante, tu sais que l'exposant du nombre complexe Z est sous la forme ^Zn, les racines de Z seraient sous la forme ^Z1/n. Ainsi, en appliquant simplement le théorème, nous pouvons nous rapprocher de la fin de notre tâche qui consiste à trouver les racines des nombres complexes sous leur forme polaire. Ainsi :

$Z^{n} = r^{n} (\cos (n θ) + i \sin (n θ)) Z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ}{n}) + i \sin (\frac{θ}{n}))$

De plus, cette formule ne peut pas être efficace parce que le fait de traiter les racines signifie qu'il faut tenir compte de plusieurs autres nombres. Dans un cercle ci-dessous,

Illustration des racines des nombres complexes dans un plan de coordonnées, StudySmarter Originals

Tu en déduirais que la distance entre les racines successives est donnée par $\frac{2 π}{n}$ radians. Par conséquent, pour tenir compte des autres racines, les racines des nombres complexes ont été effectivement ajustées pour devenir,

$Z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n}))$

où k est 0, 1, 2, 3..., n-2, et n-1.

Cela signifie que les racines des nombres complexes sous leur forme polaire sont calculées à l'aide de la formule,

$Z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n}))$

Note que les valeurs de l'intervalle k commencent par 0 et se terminent par n-1 car lorsque k vaut 0, tu as la première racine tandis que lorsque k vaut n-1, tu as la dernière racine.

Comment pouvons-nous utiliser le théorème de Moivre pour résoudre des équations ?

Plus tôt, nous avons mentionné le théorème de Moivre,

$Z^{n} = r^{n} (\cos (n θ) + i \sin (n θ))$

Nous allons maintenant appliquer le théorème de Moivre pour déterminer les racines des nombres complexes sous leur forme polaire. Par ailleurs, le théorème de Moivre s'applique à tous les nombres rationnels et à toutes les fractions.

Trouve les quatrièmes racines de l'équation.

$Z^{4} = 256$ .

Solution :

Tout d'abord, il faut exprimer le nombre complexe sous sa forme polaire. Mais pour y parvenir, il faut obtenir l'argument, θ. Conformément à la présentation générale :

$Z = a + b i$

Alors,

$256 = 256 + 0 i r = \sqrt{256^{2} + 0^{2}} = 256 θ = \tan^{- 1} (\frac{0}{256}) = π$

Puisque l'argument θ est π, alors la forme polaire du nombre complexe ^Z4 peut être exprimée comme,

$Z^{4} = 256 (\cos (π) + i \sin (π))$

Pour trouver les racines du nombre complexe sous sa forme polaire, nous appliquons la formule :

$Z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n}))$

Puisque nous devons trouver des valeurs pour Z et que nous avons ^Z4, cela signifie que nous avons quatre racines. Cela signifie que tu devras résoudre les situations où k est 0, 1, 2 et 3.

Lorsque k est 0, donc,

$Z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})) k = 0 θ = π Z^{4} = 256 (\cos (π) + i \sin (π)) {(Z^{4})}^{\frac{1}{4}} = 256^{\frac{1}{4}} (\cos (\frac{π + 2 (0) (π)}{4}) + i \sin (\frac{π + 2 (0) (π)}{4})) Z = 4 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$

C'est la première racine du nombre complexe.

Pour résoudre la deuxième racine, nous résolvons k comme étant 1, donc,

$Z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})) k = 1 θ = π Z^{4} = 256 (\cos (π) + i \sin (π)) {(Z^{4})}^{\frac{1}{4}} = 256^{\frac{1}{4}} (\cos (\frac{π + 2 (1) (π)}{4}) + i \sin (\frac{π + 2 (1) (π)}{4})) Z = 4 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4})$

C'est la deuxième racine du nombre complexe.

Pour trouver la troisième racine, k est égal à 2, donc,

$Z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})) k = 2 θ = π Z^{4} = 256 (\cos (π) + i \sin (π)) {(Z^{4})}^{\frac{1}{4}} = 256^{\frac{1}{4}} (\cos (\frac{π + 2 (2) (π)}{4}) + i \sin (\frac{π + 2 (2) (π)}{4})) Z = 4 (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4})$

Il s'agit de la troisième racine du nombre complexe.

Pour trouver la quatrième ou dernière racine, k est égal à 3,

$Z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})) k = 3 θ = π Z^{4} = 256 (\cos (π) + i \sin (π)) {(Z^{4})}^{\frac{1}{4}} = 256^{\frac{1}{4}} (\cos (\frac{π + 2 (3) (π)}{4}) + i \sin (\frac{π + 2 (3) (π)}{4})) Z = 4 (\cos \frac{7 π}{4} + i \sin \frac{7 π}{4})$

C'est la dernière racine du nombre complexe.

Nos racines sont donc :

$z = 4 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}), z = 4 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) z = 4 (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4}), z = 4 (\cos \frac{7 π}{4} + i \sin \frac{7 π}{4})$

Note que les racines des équations sous la forme de $z^{n} = 1$ sont appelées racines de l'unité.

D'autres exemples sur les racines des nombres complexes

Pour comprendre les racines des nombres complexes, quelques exemples supplémentaires seraient bien pratiques.

Trouve les racines tierces de 8 sous forme rectangulaire.

Solution :

La première chose à faire est d'exprimer 8 sous la forme générale des nombres complexes.

$z = a + b i$

Ainsi ,

$z = 8 + 0 i$

Pour dériver ses racines, nous devons trouver les valeurs de r et de θ. Ainsi ,

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} r = \sqrt{8^{2} + 0^{2}} r = \sqrt{8^{2}} r = 8 θ = \tan^{- 1} (\frac{0}{8}) θ = \tan^{- 1} 0 θ = 0 o r π$

Maintenant que nous avons les valeurs de r et de θ, nous pouvons trouver la racine sous la forme polaire. Par conséquent, nous devons appliquer notre formule pour les valeurs de k 0, 1 et 2.

$Z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})) k = 0 r = 8 n = 3 θ = π Z^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} (\cos (\frac{π + 2 (0) (π)}{3}) + i \sin (\frac{π + 2 (0) (π)}{3})) Z^{\frac{1}{3}} = 2 (c o s (\frac{π}{3}) + i s i n (\frac{π}{3})) k = 1 Z^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} (\cos (\frac{π + 2 (1) (π)}{3}) + i \sin (\frac{π + 2 (1) (π)}{3} Z^{\frac{1}{3}} = 2 (c o s (\frac{3 π}{3}) + i s i n (\frac{3 π}{3})) Z^{\frac{1}{3}} = 2 (c o s π + i s i n π) k = 2 Z^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} (\cos (\frac{π + 2 (2) (π)}{3}) + i \sin (\frac{π + 2 (2) (π)}{3} Z^{\frac{1}{3}} = 2 (c o s (\frac{5 π}{3}) + i s i n (\frac{5 π}{3}))$

Les racines que nous avons dérivées (les réponses en gras) sont sous forme polaire ; pour les convertir en formes rectangulaires, nous devons trouver les valeurs du cosinus et du sinus et les saisir. Par conséquent,

$Z^{\frac{1}{3}} = 2 (c o s (\frac{π}{3}) + i s i n (\frac{π}{3})) If we consider θ = 0^{°}, Z^{\frac{1}{3}} = 2 (c o s (0 °) + i s i n (0 °)) Z^{\frac{1}{3}} = 2 (1 + 0 i) Z^{\frac{1}{3}} = 2$

Nous répéterions les mêmes valeurs de k que 1 et 2, mais dans les cas suivants, le premier angle est de 0° parce que la première racine est située sur l'axe x positif et qu'en tant que tel, l'angle formé (θ) est de 0°, ce qui est l'argument, mais les racines suivantes ont des angles supérieurs à 0° et seraient dérivées avec $\frac{2 k π}{n}$ , où π est 180°. Ainsi ,

$k = 1 Z^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} (\cos (\frac{θ + 2 (1) (π)}{3}) + i \sin (\frac{θ + 2 (1) (π)}{3}) Z^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (\frac{0 ° + 2 (1) (180 °)}{3}) + i \sin (\frac{0 ° + 2 (1) (180 °)}{3}) Z^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (120 °) + i \sin (120 °) \cos (120 °) = - \frac{1}{2} \sin (120 °) = \frac{\sqrt{3}}{2} Z^{\frac{1}{3}} = 2 (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) Z^{\frac{1}{3}} = - 1 + \sqrt{3} i k = 2 Z^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} (\cos (\frac{θ + 2 (2) (π)}{3}) + i \sin (\frac{θ + 2 (2) (π)}{3}) Z^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (\frac{0 ° + 2 (2) (180 °)}{3}) + i \sin (\frac{0 ° + 2 (2) (180 °)}{3}) Z^{\frac{1}{3}} = 2 (\cos (240 °) + i \sin (240 °) \cos (240 °) = - \frac{1}{2} \sin (240 °) = - \frac{\sqrt{3}}{2} Z^{\frac{1}{3}} = 2 (- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) Z^{\frac{1}{3}} = - 1 - \sqrt{3} i$

Par conséquent, les racines complexes de 8 sont : 2, $- 1 + \sqrt{3} i$ et $- 1 - \sqrt{3} i$ .

Trouve les quatrièmes racines du nombre complexe sous sa forme polaire :

$- 8 + 8 \sqrt{3} i$

Solution :

Pour dériver ses racines, nous devons trouver les valeurs de r et de θ. Donc ,

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} r = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(8 \sqrt{3})}^{2}} r = \sqrt{64 + 192} r = \sqrt{256} r = 16 θ = \tan^{- 1} (\frac{8 \sqrt{3}}{- 8}) θ = \tan^{- 1} (- \sqrt{3}) θ = 120 °$

Maintenant que nous avons les valeurs de r et de θ, nous pouvons trouver la racine sous sa forme polaire. Par conséquent, nous devons appliquer notre formule pour les valeurs de k 0, 1, 2 et 3. Ainsi ,

$Z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})) k = 0 r = 16 n = 4 θ = 120 ° π = 180 ° Z^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} (\cos (\frac{120 ° + 2 (0) (π)}{4}) + i \sin (\frac{120 ° + 2 (0) (π)}{4})) Z^{\frac{1}{4}} = 2 (c o s (\frac{120 °}{4}) + i s i n (\frac{120 °}{4})) Z^{\frac{1}{4}} = 2 (c o s 30 ° + i s i n 30 °) k = 1 Z^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} (\cos (\frac{120 ° + 2 (1) (180 °)}{4}) + i \sin (\frac{120 ° + 2 (1) (180 °)}{4}) Z^{\frac{1}{4}} = 2 (c o s (\frac{480 °}{4}) + i s i n (\frac{480 °}{4})) Z^{\frac{1}{4}} = 2 (c o s 120 ° + i s i n 120 °) k = 2 Z^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} (\cos (\frac{120 ° + 2 (2) (180 °)}{4}) + i \sin (\frac{120 ° + 2 (2) (180 °)}{4}) Z^{\frac{1}{4}} = 2 (\cos (\frac{840 °}{4}) + isin (\frac{840 °}{4})) Z^{\frac{1}{4}} = 2 (\cos 210 ° + isin 210 °) k = 3 Z^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} (\cos (\frac{120 ° + 2 (3) (180 °)}{4}) + isin (\frac{120 ° + 2 (3) (180 °)}{4}) Z^{\frac{1}{4}} = 2 (\cos (\frac{1200 °}{4}) + isin (\frac{1200 °}{4})) Z^{\frac{1}{4}} = 2 (\cos 300 ° + isin 300 °)$

Les racines en gras sont les quatre racines du nombre complexe $- 8 + 8 \sqrt{3} i$ sous leur forme polaire.

Racines des nombres complexes - Points clés à retenir

Le calcul des racines des nombres complexes consiste à trouver les racines (carrées, cubiques, etc.) des nombres complexes dans la forme :
$a + b i$
Trouver les racines carrées des nombres complexes peut se faire par une approche plus directe plutôt que par l'application d'une formule.
Les nombres complexes Z peuvent être réécrits en termes de son module r et de son argument θ sous la forme :,
$Z = r (\cos (θ) + i \sin (θ))$
Afin de dériver une formule qui puisse te guider dans le calcul réussi des racines des nombres complexes, tu dois comprendre la multiplication des nombres complexes sous leur forme polaire.
Le théorème de de Moivre est donné comme suit ,
${Z_{1}}^{n} = {r_{1}}^{n} (\cos (n θ_{1}) + i \sin (n θ_{1}))$
La racine des nombres complexes se calcule avec :
$Z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n}))$

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Calculer la racine carrée des nombres complexes

Quelles sont les racines des nombres complexes sous forme polaire ?

Formule des racines des nombres complexes

Comment pouvons-nous utiliser le théorème de Moivre pour résoudre des équations ?

D'autres exemples sur les racines des nombres complexes

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