What is Investigating Résolution de systèmes d'équations simultanées à l'aide de matrices?

Réécris la série d'équations suivante sous forme de matrice (également connue sous le nom de forme \(Ax = b\)) :
\begin{equation}
\begin{split}
-4x + 4y + z & = 3 \\
11y - 7x + z & = 4 \\
-5x + 3y + 2z & = 5 \\
\end{split}
\qquad
\begin{matrix}
(1) \\\\N- (2) \N- (3)
\end{matrix}
\end{equation}

Solution

ÉTAPE 1: Assure-toi que les variables sont dans le même ordre pour chaque équation (c'est-à-dire que si l'ordre que tu choisis pour la première équation est \N(x, y, z\N), alors les variables de chaque équation qui suit doivent également être dans l'ordre \N(x, y, z\N)).

L'ordre que nous choisirons pour cet exemple est \N(x, y, z\N).

Les variables de la deuxième équation ne sont pas dans le bon ordre. Pour corriger cela, il suffit de réarranger l'équation de façon à ce que l'ordre des variables soit le même que pour les deux autres équations.

La deuxième équation ressemblera donc à ceci :

\[-7x + 11y + z = 4].

ÉTAPE 2: Réécris les équations sous forme de matrice.

La première matrice dont nous avons besoin est la matrice des coefficients. Il s'agit d'une matrice carrée qui abrite les coefficients de chaque variable, et sa taille dépend du nombre de variables dans les équations données.

Chaque colonne de la matrice des coefficients contient les coefficients d'une variable spécifique. Par exemple, la colonne 1 contient les coefficients de \(x\). Les colonnes 2 et 3 contiennent les coefficients de \(y\) et \(z\) respectivement. C'est pourquoi l'ordre des variables dans les équations données est si important ; si elles sont dans le mauvais ordre, les coefficients se trouveront dans les mauvaises colonnes.

Chaque ligne de la matrice des coefficients correspond à l'une des équations données. Les coefficients de la ligne 1 proviennent tous de l'équation 1, la ligne 2 contient les coefficients de l'équation 2, etc.

Lorsque nous mettons tout ce qui précède ensemble, nous obtenons donc une matrice qui ressemble à ceci :

\[
\begin{bmatrix}
-4 & 4 & 1 \\\N 11 & -7 & 1 \N -5 & 3 & 2
\Nend{bmatrix}
\N]

Comme tu peux le voir, les colonnes 1, 2 et 3 contiennent les coefficients de \(x, y\) et \(z\), respectivement, et les lignes 1, 2 et 3 contiennent les coefficients des équations 1, 2 et 3, respectivement.

La deuxième matrice dont nous avons besoin est une matrice 3 x 1 contenant les variables, et elle est connue sous le nom de matrice des variables. Elle doit toujours être placée à droite de la matrice des coefficients.

Les variables de la matrice sont énumérées du haut vers le bas dans l'ordre que tu as choisi pour elles, et elle doit ressembler à ce qui suit :

\[
\begin{bmatrix}
x \\\ y \ z
\end{bmatrix}
\]

La dernière matrice nécessaire est une matrice 3 x 1 qui se trouve à droite du signe égal. Elle s'appelle la matrice des constantes et, comme pour la matrice des coefficients, chaque ligne contient la valeur constante appartenant à l'équation correspondante.

Elle se présente comme suit :

\[
\begin{bmatrix}
3 \\\N4 \N5
\Nend{bmatrix}
\N]

Notre réponse finale se compose des trois matrices et se présente comme suit :

\[
\N-begin{bmatrix}
-4 & 4 & 1 \N-
11 & -7 & 1 \N-
-5 & 3 & 2 \N-
\N-end{bmatrix}
\N-begin{bmatrix}
x \N- y \N- z
\N-end{bmatrix}
=
\N-begin{bmatrix}
\N- 4 \N- 5 \N-
\N-end{bmatrix}
\N-]

En utilisant les mêmes équations que dans l'exemple précédent, réécris-les dans une matrice augmentée.

\N-[\N-{equation}
\N-{split}
-4x + 4y + z & = 3 \N-{split}
-7x +11y + z & = 4 \N-{split}
-5x + 3y + 2z & = 5 \N-{split}
\N-{split}
\N-{equation} \N]

Solution

ÉTAPE 1: Assure-toi d'abord que tes équations ont toutes le même ordre. Dans ce cas, il n'y a pas d'équation à réarranger.

ÉTAPE 2: Écris les coefficients des variables pour commencer la matrice.

\N-
\Ngauche[
\Ncommencer{array}{rrr}
-4 & 4 & 1 \N 11 & -7 & 1 \N -5 & 3 & 2
\Nend{array}
\Ndroit.
\N]

ÉTAPE 3: Trace une ligne verticale à droite des coefficients.

\N-
\N- gauche[
\N- début{array}{rrr|}
-4 & 4 & 1 \N- 11 & -7 & 1 \N- 5 & 3 & 2
\N- fin{array}
\N-droit.
\N]

ÉTAPE 4: Écris les constantes sur le côté droit de la ligne et ferme les parenthèses.

Ta réponse devrait ressembler à ce qui suit :

\[
\left[
\begin{array}{rrr|r}
-4 & 4 & 1 & 3 \\r
11 & -7 & 1 & 4 \r
-5 & 3 & 2 & 5
\rend{array}
\rright]
\r]

Montre que le système d'équations suivant n'a pas de solutions :

\[
\begin{align}
x + 2y - z = -8 \\ 2x - y + z = 4 \\ 8x + y + z = 2
\end{align}
\]

Solution

ÉTAPE 1: Écris la matrice augmentée.

\[
\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & -1 & -8 \\\N 2 & -1 & 1 & 4 \N 8 & 1 & 1 & 2
\Nend{array}
\N]

ÉTAPE 2: Effectue les calculs de lignes jusqu'à ce que tu obtiennes les zéros nécessaires.

\(R_{3} - R_{2} \Nà R_{3}, \N ; R_{2} + R_{1} \vers R_{2}, \N ; R_{3} - 2R_{2} \Nà R_{3}\N) sont effectuées pour obtenir :

\[
\left[
\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & -1 & -8 \\N 3 & 1 & 0 & 4 \N 0 & 0 & 0 & -6
\end{array}
\right]
\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp ;]

Si tu regardes la dernière ligne, tu verras qu'elle indique que \(0 = -6\). Ce n'est absolument pas vrai, et le système n'a donc pas de solution.

Résous les équations suivantes simultanément en utilisant l'algèbre matricielle :

\[
\begin{align}
4x + y & = -7 \\N
3x-2y & = 3 \N
\Nend{align}
\N]

Solution

ÉTAPE 1: Réécris les deux équations sous la forme d'une équation matricielle. Ta réponse devrait ressembler à ceci :

\[
\begin{bmatrix}
4 & 1 \\\N
3 & -2
\Nend{bmatrix}
\Nbegin{bmatrix}
x \Ny
\Nend{bmatrix}
=
\Nbegin{bmatrix}
-7 \N3
\Nend{bmatrix}
\N]

ÉTAPE 2: Calcule l'inverse de la matrice des coefficients.

Nous voulons résoudre \N(x\N) et \N(y\N), nous devons donc isoler ces deux variables d'un côté de l'équation. Pour ce faire, nous devons faire intervenir la matrice d'identité. Pour ce faire, nous multiplions les deux côtés de l'équation par l'inverse de la matrice des coefficients.

Soit la matrice des coefficients, \N(\Ncommencement{bmatrix} 4 & 1 \N 3 & -2 \Nfin{bmatrix} = A\N). Par conséquent ,

\[A^{-1} =
-\frac{1}{11}
\begin{bmatrix}
-2 & -1 \\\N -3 & 4
\end{bmatrix}
\N]

ÉTAPE 3: Multiplie les deux côtés de l'équation par \(A^{-1}\).

Ton résultat sera le suivant :

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\\N 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \N y
\end{bmatrix} =
-\frac{1}{11}\Nbegin{bmatrix}
-2 & -1 \N -3 & 4
\Nend{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-7 \N 3 \Nend{bmatrix} \]

ÉTAPE 4: Simplifie pour obtenir les solutions pour \(x\N) et \N(y\N).

\N-
\N-
\N-
x \N-
\N-
& =
-\Nfrac{1}{11}} \N-times
\N-gin{bmatrix}
11 \N- 33
\N-end{bmatrix}
\N-
\N- espace{1cm}
\N-
\N-gin{bmatrix}
x \N- y
\N-end{bmatrix}
& =
\N-gin{bmatrix}
-1 \\N -3
\Nend{bmatrix}
\Nend{align}
\N]
\N(\Ndonc \Nquad x = -1\Net \Ny = -3\N)

Utilise les matrices inverses pour résoudre les équations simultanées suivantes :

\[
\begin{align}
x - y - z & = 4 \\\N-
2x + 3y - z & = 2 \N-
- x - 2y + 3z & = -3
\N- end{align}
\N]

Solution

ÉTAPE 1: Réécris les équations sous forme de matrice.

\[
\begin{bmatrix}
1 & -1 & -1 \\N
2 & 3 & -1 \N
-1 & -2 & 3 \N
\Nend{bmatrix}
\Nbegin{bmatrix}
x \Ny \Nz
\Nend{bmatrix}
=
\Nbegin{bmatrix}
\N2 \N -3
\Nend{bmatrix}
\N]

ÉTAPE 2: Laisse la matrice des coefficients égale à A et calcule son inverse, \(A^{-1}\).

\[
A^{-1} =
\frac{1}{13} \begin{bmatrix}
\tag{*}
7 & 5 & 4 \\N-
-5 & 2 & -1 \N-
-1 & 3 & 5
\N- end{bmatrix}
\N]

*Le fonctionnement complet n'est pas montré ici. Reporte-toi à la section Inversion des matrices pour savoir comment calculer l'inverse d'une matrice 3 x 3.

ÉTAPE 3: Multiplie par \(A^{-1}\) à gauche des deux côtés de l'équation.

\[
\frac{1}{13} \begin{bmatrix}
7 & 5 & 4 \\N-
-5 & 2 & -1 \N-
-1 & 3 & 5
\Nend{bmatrix}
\Nbegin{bmatrix}
1 & -1 & -1 \N-
2 & 3 & -1 \N-
-1 & -2 & 3 \N-
\N- end{bmatrix}
\N-begin{bmatrix}
x \N- y \N- z
\N-end{bmatrix}
=
\Nfrac{1}{13} \begin{bmatrix}
7 & 5 & 4 \\N-
-5 & 2 & -1 \N-
-1 & 3 & 5
\N-end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 \\\N- 2 \N- 3
\N-end{bmatrix}
\N]

ÉTAPE 4: Simplifie.

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\N 0 & 1 & 0 \N 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \N y \N z
\Nend{bmatrix}
=
\frac{1}{13} \begin{bmatrix}
26 \\\N-13 \N-12
\Nend{bmatrix}
\N]

\[
\begin{bmatrix}
x \\ y\\z \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 2 \\N -1 \N -1 \Nend{bmatrix}
\N]

\(\Ndonc \Nquad x = 2,\Nquad y = -1\Nquad) et \N(\Nquad z = -1\N).

Utilise la réduction des rangs pour résoudre le système d'équations suivant :

\[
\begin{align}
2x + y - 3z = -11 \\N-
x - 2y + z = -3 \N-
-3x + 4y - 2z = 9
\N- end{align}
\N-qquad \N-qquad \N-begin{matrix}
(1) \N- (2) \N- (3)
\N-end{matrix}
\N-]

Solution

ÉTAPE 1: Écris la matrice augmentée pour ces équations. Elle devrait ressembler à ce qui suit :

\[
\left[\begin{array}{rrr|r}
2 & 1 & -3 & -11 \\
1 & -2 & 1 & -3 \\
-3 & 4 & -2 & 9
\end{array}\r}
\qquad \quad \quad \begin{array}{r}
(1) \\N- (2) \N- (3)
\end{array}
\N-]

ÉTAPE 2: Effectuer les calculs de lignes.

Tout d'abord, écris ta matrice augmentée.

\[
\left[\begin{array}{rrr|r}
2 & 1 & -3 & -11 \\
1 & -2 & 1 & -3 \\
-3 & 4 & -2 & 9
\end{array}\right]
\]

Quel calcul pouvons-nous faire pour obtenir notre premier zéro ?

\[
\left[\begin{array}{rrr|r}
5 & 0 & -5 & -25 \\
1 & -2 & 1 & -3 \\
-3 & 4 & -2 & 9
\end{array}\right]
\quad \begin{array}{r}
2 \times R_{1} + R_{2} \Nà R_{1} \N- \N- \N espace{1cm} \\ \hspace{1cm}
\end{array}
\]

Nous écrivons toujours les calculs de ligne que nous effectuons à côté de la matrice.

Le deuxième zéro doit se trouver dans la même colonne que le premier.

\[
\left[\begin{array}{rrr|r}
5 & 0 & -5 & -25 \\
-1 & 0 & 0 & 3 \\
-3 & 4 & -2 & 9
\end{array}\right]
\quad \begin{array}{r}
\hspace{1cm} \\N- 2 \N- fois R_{2} + R_{3} \Nà R_{2} \\ \hspace{1cm}
\end{array}
\]

Il se trouve que le deuxième et le troisième zéro ont été obtenus par ce calcul de deuxième rangée. Ce n'est pas toujours le cas, et tu devras souvent effectuer un calcul de troisième rangée pour obtenir le troisième zéro.

ÉTAPE 3: Calcule les valeurs des inconnues.

À partir de la rangée 2 :

\[
\begin{align}
-x & = 3 \\\N-
\Ndonc \Nquad x & = -3 \Nend{align}
\N]

A partir du rang 1 (remplacer \(x\) dans) :

\[
\N- \N-
5x - 5z & = -25 \N-
5(-3) - 5z & = -25 \N-
-5z & = -10 \N-
\N- Donc \N- \Nquad z & = 2
\N- end{align}
\N]

A partir du rang 3 (remplace \N(x\N) et \N(z\N) par) :

\[\N-
-3x + 4y - 2z & = 9 \N-
-3(-3) + 4y - 2(2) & = 9 \N-
4y & = 4 \N-
\Ndonc \Nquad y & = 1
\N- end{align}
\N]

\N(\Ndonc \Nquad x = -3 ; \Ny = 1\N) et \N(z = 2\N)

Résous \(x\) et \(y\) en utilisant les matrices inverses.

\[
\begin{align}
6x - 5y & = 7 \\\N-
12x + 20y & = -4
\Nend{align}
\N]

Solution

Tout d'abord, nous devons réécrire les équations sous forme de matrice.

\[
\begin{bmatrix}
6 & -5 \\N 12 & 20
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \N y
\Nend{bmatrix}
=
\Nbegin{bmatrix}
7 \N -4
\Nend{bmatrix}
\N]

Ensuite, nous devons calculer l'inverse de la matrice des coefficients

\N-
\N-
\N-
6 & -5 \N- 12 & 20
\N-
=
(6)(20) - (-5)(12)
= 180 \N-
\N- \Nhspace{1cm} \\N-
\N donc \Nquad
\Nbegin{bmatrix}
6 & -5 \N12 & 20
\Nend{bmatrix}^{-1}
=
\Nfrac{1}{180}
\Nbegin{bmatrix}
20 & 5 \N- 12 & 6
\Nend{bmatrix}
\Nend{align}
\N]

Multiplie par la matrice inverse à gauche des deux côtés de l'équation pour obtenir :

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\\N 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \N y
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{180}
\begin{bmatrix}
20 & 5 \\\N-12 & 6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
7 \N -4
\Nend{bmatrix}
\N]

Simplifie encore pour obtenir le résultat final :

\[
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{180}
\begin{bmatrix}
120 \\N -108
\end{bmatrix}
\N]

\N(\Ndonc \Nquad x = \frac{2}{3} \N ; \Ntext{and} \N ; y = -\frac{3}{5}\N)

Résolvez \(x\N) et \N(y\N) en utilisant la réduction de ligne.

\[
\N- Début{alignement}
8x - 3y & = 6 \N-
-16x + y & = -\frac{31}{3}
\N- Fin{alignement}
\N]

Solution

Écris la matrice augmentée pour le système.

\N-[
\N-[
\N-[début{array}{rr|r}
8 & -3 & 6 \N-[-16 & 1 & -\frac{31}{3}
\N-[fin{array}
\N-[droit]
\N-[\N]

Ensuite, effectue des opérations sur les lignes jusqu'à ce que tu obtiennes un zéro dans l'une des lignes. Comme il n'y a que deux variables à résoudre, nous n'avons besoin que d'un zéro car cela nous permettra de calculer la valeur de l'une des variables. Nous pouvons ensuite utiliser la variable calculée pour trouver la valeur de l'autre inconnue en la replaçant dans l'équation.

\[
\left[
\begin{array}{rr|r}
8 & -3 & 6 \\\\N- 0 & -5 & \frac{5}{3}
\end{array}
\right]
\qquad
\begin{matrix}
\hspace{1cm} \\ R_{2} + 2R_{1} \Nà R_{2}
\Nend{matrix}
\N]

Solve for \N(x\N) and \N(y\N).

\N-[
\N-{align}
-5y & = \Nfrac{5}{3}} \\N-
y & = -\Nfrac{1}{3} \\
\hspace{1cm} \N-
\N donc \Nquad
8x - 3y & = 6 \N-
8x - 3(-\Nfrac{1}{3}) & = 6 \N-
x & = \Nfrac{5}{8}
\N- end{align}
\N]

Résous le système d'équations suivant en utilisant la réduction des lignes :

\[
\begin{align}
-4x - 5y +3z & = 7\\\N-
-2x + 3y - z & = -25 \N-
3x - 2y - 4z & = -6
\N- end{align}
\N]

Solution

ÉTAPE 1: Écris la matrice augmentée.

\[
\N- gauche[
\N- début{array}{rrr|r}
-4 & - 5 & 3 & 7 \N- -2 & 3 & -1 & -25 \N- 3 & -2 & -4 & -6
\N- fin{array}
\N-droit]
\N]

ÉTAPE 2: Effectuer les calculs sur les lignes.

\N-
\N- gauche[
\N- début{array}{rrr|r}
-10 & 4 & 0 & -68 \N- -2 & 3 & -1 & -25 \N- 3 & -2 & -4 & -6
\N- fin{array}
\N-droit]
\N- quadrature
\N- début{array}{r}
R_{1} + 3R_{2} \Nà R_{1} \\N-
\N- espace{1cm} \N-
\N-
\N-
\N-
\N-
\N-
\N-
-10 & 4 & 0 & -68 \N- -11 & 14 & 0 & -94 \N- 3 & -2 & -4 & -6
\N-
\N- \N-
\N-
\N- \N-{r}{r}
4R_{2} - R_{3} \Nà R_{2}
\Nend{array}
\N]
\N[
\Nleft[
\Nbegin{array}{rrr|r}
-48 & 0 & 0 & -288 \N- 11 & 14 & 0 & -94 \N- 3 & -2 & -4 & -6
\Nend{array}
\Nright]
\Nquad
\Nbegin{array}{r}
7R_{1} - 2R_{2} \Nà R_{1} \N-
\N- espace{1cm} \N-
\N-
\Nend{array}
\N]

ÉTAPE 3: Calcule les valeurs des variables.

\[
\begin{align}
-48x & = - 288 \\\N-
x & = 6
\N- end{align}
\N]

\[
\N-begin{align}
-11x + 14y & = -94 \N-
\N-qquad -11(6) + 14y & = -94 \N-
14y & = -28 \N-
y & = -2
\N-end{align}
\N- \N]

\N-
\N-
3x - 2y - 4z & = -6 \N-
3(6) - 2(-2) - 4z & = -6 \N-
-4z & = -28 \N-
z &= 7
\N-
\N- \N- \N- \N]

\(Par conséquent, x = 6, y = -2) et z = 7.

Résous les équations simultanées suivantes en utilisant la réduction de ligne :

\[
\begin{align}
2b + c & = - 8 \\
a - 2b - 3c & = 0 \\
-a + b + 2c & = 3
\end{align}
\]

Solution

ÉTAPE 1: Écris la matrice augmentée.

\N(2b + c= - 8\N) revient à dire \N(0a + 2b + c\N) et nous disons donc que le coefficient de \N(a\N) est 0 pour l'équation 1.

\N-
\N- gauche[
\N- début{array}{rrr|r}
0 & 2 & 1 & -8 \N- 1 & -2 & -3 & 0 \N- -1 & 1 & 2 & 3
\N- fin{array}
\N-droit]
\N- \N]

ÉTAPE 2: Effectue les calculs de ligne.

Le zéro facilite en fait la résolution du système d'équations, car il y a moins d'étapes à suivre pour obtenir les trois zéros nécessaires.

\N-
\N- gauche[
\N- début{array}{rrr|r}
0 & 2 & 1 & -8 \N- 0 & -1 & -1 & 3 \N- -1 & 1 & 2 & 3
\N- fin{array}
\Ndroite]
\Nquad
\N- début{array}{r}
\Nhspace{1cm} \\N-
R_{2} + R_{3} \Nà R_{2} \N-
\N- espace{1cm}
\N- espace{1cm}
\N- espace{1cm}
\N- espace{1cm}
\N- espace{1cm}
\N- espace{1cm}
0 & 1 & 0 & -5 \N- espace{1cm} 0 & -1 & -1 & 3 \N- espace{1cm}
\N- espace{1cm}
\N- espace{1cm} \N- espace{1cm}
\N- espace{1cm}
\N- espace{1cm}{1cm}
R_{1} + R_{2} \Nà R_{1} \\N-
\N- espace{1cm} \\N-
\N-
\Nend{array}
\N]

ÉTAPE 3: Calcule les valeurs des variables.

\[
\begin{align}
b & = -5
\end{align}
\]

\N-
\N-
-b - c & = 3 \N-
-(-5) - c & = 3 \N-
c & = 2
\N-
\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

\N-
\N-
-a + b + 2c & = 3 \N-
-a + (-5) + 2(2) & = 3 \N-
a & = -4
\N-
\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

\N( \Ndonc \Nquad a = -4, \N ; b = -5\N) et \N(c = 2\N)