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Parabole montrant où se situent les intersections des x ou les racines.
Comment résous-tu les équations quadratiques ?
Les équations quadratiques sont résolues à l'aide de l'une des méthodes suivantes :
Prendre les racines carrées
Prendre les racines carrées est une méthode qui peut être utilisée pour résoudre les équations quadratiques lorsqu'il n'y a qu'un seul terme \(x^2\) dans l'équation. Il s'agit d'isoler le terme \(x^2\) et d'utiliser une racine carrée pour résoudre l'équation en trouvant les valeurs de \(x\).
\( 3x^2 = 48 \).
Étape 1 : isole la variable au carré.
\( 3x^2 = 48 \)
\(x^2 = 16\)
Étape 2 : Résous ton équation quadratique en calculant la racine carrée des deux côtés de l'équation. N'oublie pas que tu auras deux solutions parce que la racine carrée d'un nombre peut être positive ou négative .
\( \sqrt{x^2} = ±\sqrt{16} x = ±4 \)
Factorisation
La factorisation consiste à déterminer les termes qui doivent être multipliés ensemble pour obtenir une expression mathématique. La factorisation des équations quadratiques peut se faire de la façon suivante :
En prenant le plus grand facteur commun
Le plus grand facteur commun (PGCF) est une méthode de factorisation qui consiste à déterminer le terme le plus élevé qui se divise également en tous les autres termes. Voyons comment cette méthode fonctionne à l'aide d'un exemple :
\N( 14x^2 - 35x = 0\N)
Étape 1 : Trouve le plus grand facteur commun en identifiant les nombres et les variables que chaque terme a en commun.
\N- 14x^2 = 2 \N- 7 \N- x \N- x \N- \N)
\N- 35x = 5 \Ncdot 7 \Ncdot x \N)
Comme nous pouvons le voir, les facteurs communs aux deux termes sont 7 et x, par conséquent le GCF = 7x.
Étape 2 : Écris chaque terme comme le produit du plus grand facteur commun et d'un autre facteur, c'est-à-dire les deux parties du terme. L'autre facteur peut être déterminé en divisant ton terme par ton FPG.
\(\frac{14x^2}{7x} = 2x \donc 14x^2 = (2x) \cdot 7x\)
\(\frac{35x}{7x} = 5 \contre 35x = 7x \cdot 5\)
Le symbole ∴ signifie "donc".
Étape 3 : Après avoir réécrit chaque terme, réécris l'équation quadratique sous la forme suivante : ab+ac=0
\( 14x^2 - 35x = 7x \cdot (2x) - 7x(5)\)
Étape 4 : applique la loi de la propriété distributive et élimine le plus grand facteur commun.
\N( 7x(2x) -7x(5) = 7x(2x-5)\N)
Étape 5 : Égalise l'expression factorisée à 0 et trouve les ordonnées à l'origine.
\( x_1 : \begin{split} 7x = 0 \\\N x = 0 \Nend {split} \N)
\N- x_2 : \Nbegin{split}2x - 5= 0 \Nx = \Nfrac{5}{2}\Nend {split}\N)
Carré parfait
La méthode du carré parfait consiste à transformer un trinôme carré parfait ,
\N( a^2 + 2ab + b^2\N) ou \N( a^2 - 2ab + b^2\N) en un binôme carré parfait, \N( (a + b)^2\N) ou \N( (a - b)^2\N) . Voyons maintenant comment résoudre des équations quadratiques à l'aide de cette méthode :
Étape 1 : Transforme ton équation de la forme standard, \N- ax^2 + bx + c = 0\N- en un trinôme carré parfait, \N- a^2 + 2ab + b^2\N-.
\N- 9x^2 - 12x +4 = (3x)^2 -2(3x)(2) - 2^2\)
Étape 2 : Transforme le trinôme carré parfait en binôme carré parfait,\N( (a + b)^2 \N)\N- (3x)^2 -2(3x)(2) - 2^2 = (3x-2)^2\)
Etape 3 : Calculer la valeur de l'ordonnée à l'origine en égalant le binôme carré parfait à 0 et en résolvant x. \N- (3x - 2)^2 = 0\N-\N- (\Nsqrt{(3x-2^2} = ±\sqrt{0}) \N- (3x - 2 = 0\N-)\( 3x - 2 = 0\)
\N- x = \Nfrac {2}{3} \N)
Regroupement
Le regroupement consiste à regrouper les termes qui ont des facteurs communs avant de les factoriser. Prenons un exemple :
\N( 2x^2 - 7x - 15\)
Étape 1 : Énumère les valeurs de a, b et c.
\N- a = 2, b = -7, c = -15\N)
Étape 2 : Trouve les facteurs qui, multipliés, sont égaux à \(a \cdot c\), et qui, additionnés, sont égaux à b. T où les nombres qui sont le produit de ac et qui s'ajoutent aussi à b.
\N- ac = -30, b = -7\N)
\N- (1 \Ncdot 30 = 30 \N)
\N- 2 \N- 15 = 30
\N(3 \Ncdot 10 = 30 \Nquad 3-10 = -7\N)
\N- (5 \Ncdot 6 = 30 \N)
Les deux nombres sont donc 3 et -10, car leur somme est égale à -7. Les autres facteurs de 30 ne peuvent pas être arrangés de façon à ce qu'ils soient égaux à -7 .
Étape 3 : Utilise ces facteurs pour réécrire le terme x (bx) dans l'expression/équation originale.
\N- 2x^2 - 7x - 15 = 2x^2 + 3x - 10x - 15\N)
Étape 4 : Utilise le regroupement pour factoriser l'expression. Groupe les deux premiers termes et les deux derniers termes ensemble, puis retire les facteurs communs des deux groupes et combine les termes semblables.
\N-( \N- Début{split} (2x^2 + 3x) - (10x - 15) = x (2x + 3) - 5(2x + 3) \N- = (x-5)(2x-3)\N- Fin{split} \N-)
Étape 5 : Égalise l'expression factorisée à 0 et résous les ordonnées à l'origine.
\N( (x - 5) (2x - 3)\N)
\( x_1: \begin{split} x - 5 = 0 \\ x = 5 \end {split} \)
\N- x_2 : \Nbegin{split}2x + 3= 0 \Nx = \Nfrac{-3}{2}\Nend {split}\N)
Complète le carré
Compléter le carré, c'est transformer la forme standard de l'équation quadratique en un carré parfait avec une constante supplémentaire. Cela signifie que l'on change \N ( ax^2 + bx + c = 0 \N) en \N(a(x + m)^2 + n \N), où m est un nombre réel et n une constante. Elles sont calculées de la manière suivante : \( m = \frac{b}{2a}\) et \(n = c - \frac{b^2}{4a}\).
\N- 3x^2 - 5x - 7 = 0 \N-Étape 1 : Énumère les valeurs de a, b et c.
\N(a = 3, b = -5, c = -7 \N)
Étape 2 : Calcule la valeur de m à l'aide de l'équation suivante : \( m = \frac{b}{2a}\)
\( \frac{5}{2(3)} m = \frac{-5}{2(3)} \\N = -\frac{5}{6}\end{split}) \)
Étape 3 : calcule la valeur de n à l'aide de l'équation suivante : \( n = c - \frac{b^2}{4a}\)
\N(n = -7 - \Nfrac {(-5)^2}{4(3)}\N)
\(\begin{split} n = -7 - \frac {25}{12} \\\N = - \frac{109}{12} \Nend{split}\N)
Étape 4 : Substitue tes valeurs calculées et la valeur de a dans l'équation suivante : \(a(x + m)^2 + n\)\(3(x - \frac {5}{6})^2 - \frac{109}{12}) \N-Étape 5 : Fais en sorte que ton équation soit égale à 0 et résous ainsi l'équation.\(3(x - \frac{5}{6})^2 - \frac{109}{12} = 0)
\(3(x - \frac{5}{6})^2 = \frac{109}{12}\)
\(x - \frac{5}{6}^2 = \frac{109}{36}\)
\(\sqrt{(x - \frac{5}{6}^2} = ±\sqrt{\frac{109}{36}}\)
\(x - \frac {5}{6} = \pm \frac {\sqrt{109}}{6}\)
\(x_{1,2} = \pm \frac {\sqrt{109}}{6} + \frac{5}{6}\)
\(x_{1} : x = \frac{5 + \sqrt{109}}{6} = 2.57\)
\(x_2 : x = \frac {5-\sqrt{109}}{6} = -0.91 \N-)
Formule quadratique
La formule quadratique est une formule qui utilise les coefficients et les constantes d'une équation quadratique pour résoudre l'équation en déterminant ses intersections/racines. La formule quadratique est utilisée pour résoudre les équations quadratiques qui sont très difficiles à factoriser. La formule quadratique est la suivante : \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
\N(b^2 - 4ac\N)est ce que nous appelons le discriminant. En fonction de son signe, on sait combien de solutions a l'équation quadratique donnée. Il est représenté par le symbole suivant :
- Un discriminant positif signifie que l'équation quadratique a deux solutions différentes en nombres réels.
- Un discriminant négatif signifie qu'aucune des solutions n'est un nombre réel.
- Un discriminant égal à 0 signifie que l'équation quadratique a pour solution un nombre réel répété.
Représentation graphique de ce que montre le discriminant
Les étapes suivantes vont nous montrer comment résoudre une équation quadratique en utilisant la formule quadratique :
\N( x^2 - 7x + 12 = 0 \N)
Étape 1 : Énumère les valeurs de a, b et c.
\N(a = 1, b = -7, c = 12 \N)
Étape 2 : Calcule la valeur du discriminant.
\N- (\N- Début{split}) \Delta =(-7)^2 -4(1)(12) \\N = 1 \Nend{split}\N)
Étape 3 : Substitue les valeurs de a,b et c dans la formule quadratique et résous les deux racines/solutions.
\(\N- Début{alignement}x_{1} : x&= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}) \\N- &=\Nfrac{-(-7)+\sqrt{1}}{2(1)} \N &= 4 \Nend{align}\N)
\N- (\N- début{align}x_{2} : x&= \frac{-b - \sqrt{\NDelta}}{2a}) \N- &=\Nfrac{-(-7)-\sqrt{1}}{2(1)} \N &= 3 \Nend{align}\N)
Résolution d'équations quadratiques - Principaux enseignements
- Les équations quadratiques sont résolues en déterminant les racines de l'équation.
- Prendre les racines carrées est une méthode qui peut être utilisée pour résoudre les équations quadratiques lorsqu'il n'y a qu'un seul \(x^2\) dans l'équation.
- La factorisation consiste à déterminer les termes qui doivent être multipliés ensemble pour obtenir une expression mathématique et peut être réalisée en prenant le plus grand facteur commun, le carré parfait et le regroupement.
- Compléter le carré, c'est transformer la forme standard de l'équation quadratique en un carré parfait avec une constante supplémentaire.
- La formule quadratique est une méthode utilisée pour résoudre les équations quadratiques ; \(x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
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