Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.
Get started for freeQuelle est la forme correcte de la solution particulière de la relation de récurrence suivante ? \(u_n=3u_{n-1}+u_{n-2}+3\times 4^n\).
Quel terme décrit le mieux la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+4n+12\).
Quel terme décrit le mieux la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_n\).
Quel terme décrit le mieux la relation de récurrence suivante ? \(u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n+n^2\).
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Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.
La technique caractéristique de résolution des relations de récurrence du second ordre est similaire à celle de la résolution des relations de récurrence du premier ordre. Elle consiste à dériver la fonction complémentaire puis à trouver une solution particulière appropriée pour résoudre la forme fermée d'une relation de récurrence de second ordre donnée. La suite de Fibonacci est une relation de récurrence du second ordre qui peut être résolue à l'aide de la technique des caractéristiques pour trouver son équation de forme fermée.
Chaque fois que tu décris une relation d'événements nécessitant des informations provenant de différentes positions temporelles, tu parles de relations de récurrence. Or, les relations de récurrence de second ordre sont des relations qui nécessitent des informations deux pas en arrière pour obtenir l'information que tu veux.
Les relations de récurrence de deuxième ordre sont des relations de récurrence de la forme \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\] pour tous les entiers \(n\) supérieurs à un entier fixe, \(A\) et \(B\) sont des constantes et \(f(n)\) est un polynôme.
Voici des exemples de relations de récurrence du deuxième ordre,
Les relations de récurrence du second ordre sont classées en relations de récurrence homogènes et non homogènes.
Les relationshomogènes du second ordre sont des relations qui montrent uniquement une relation entre les termes de la séquence à différentes itérations.
Les relations de récurrence homogènes du second ordre sont de la forme suivante : [u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}] pour tous les entiers \(n\) supérieurs à un certain entier fixe, \(A\) et \(B\) étant des constantes.
Voici des exemples de relations de récurrence homogènes du second ordre,
Les relations d'ordre 2 non homogènes sont des relations qui montrent une relation entre les termes de la séquence à différentes itérations ayant un peu d'information supplémentaire, généralement un polynôme en termes de \(n\N). En fait, il s'agit de la définition générale introduite dans le tout premier paragraphe de cet article.
Les relations de récurrence non homogènes du second ordre sont des relations de récurrence de la forme \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\] pour tous les entiers \(n\) supérieurs à un certain entier fixe, \(A\) et \(B\) sont des constantes et \(f(n)\) est un polynôme.
Voici des exemples de relations de récurrence non homogènes du second ordre,
Lors de la résolution d'une relation de récurrence du second ordre de la forme
\[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\]
nous recherchons une expression du terme \(n^{\text{th}}\), qui prend la forme de
\N-[u_{n}=c(n)+p(n),\N]
où \N(c(n)\Nest la fonction complémentaire et \N(p(n)\Nest la fonction particulière.
La toute première étape de la résolution des relations de récurrence du second ordre consiste à résoudre sa partie homogène, également appelée équation réduite. En cachant \(f(n)\), tu obtiendras la partie homogène d'une relation de récurrence,
\[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}, \]
et pour résoudre cette partie, tu dois trouver ce que nous appelons la fonction complémentaire \(c(n).\N).
Maintenant, pour trouver la fonction complémentaire, nous procédons comme suit. Nous cherchons une expression de la forme \N(u_{n}=r^n\N) où \N(u_{n}\N) satisfait à
\N- u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}. \N- [u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}. \N]
En substituant, on obtient
\[\begin{align} u_{n+2}&=Au_{n+1}+Bu_{n} \N- r^{n+2}&=Ar^{n+1}+Br^{n}\N- r^2-Ar-B&=0\Nend{align}\N]
\(r^2-Ar-B=0\) est appelée l'équation caractéristique et le nombre de solutions qu'elle possède déterminera la forme générale de la fonction complémentaire \(c(n).\).
Nous distinguons trois cas pour l'équation caractéristique \(r^2-Ar-B=0.\N-)
Quant à la solution particulière \N(p(n)\N), elle prend la forme du polynôme \N(f(n).\N).
Maintenant, passons à l'action et récapitulons les étapes du calcul !
Étape 1. Trouve l'équation réduite en fixant \(f(n)=0\).
Pour les relations de récurrence homogènes, l'équation réduite est la même que l'équation de la relation de récurrence. Cela te donne une équation de la forme \(u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}\).
Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous-la pour \(r\).
Étape 3. Trouve la fonction complémentaire en utilisant les valeurs de \(r\).
| Racines réelles et distinctes \ (r_{1}\) et \ (r_{2}\) | \(c(n)=Cr_{1}^{n}+D r_{2}^{n}\) |
| Racines réelles répétées \N (r_{1}=r_{2}=r\N) | \(c(n)=Cr^{n}+Dnr^{n}\) |
| Racines complexes \ (r_1=z_1\) et \(r_{2}=z_2\) | \N(c(n)=C z_1^n+D z_2^n \N) |
Étape 4. Trouve la forme générale de la solution particulière et substitue \(p(n)=u_{n}\) à l'équation originale et résous les inconnues.
Étape 5. En utilisant la valeur initiale donnée dans la question, trouve la valeur de \(C\) et \(D\).
Les exemples sont toujours une bonne idée pour comprendre le sujet, alors c'est parti !
Résous la relation de récurrence \ (u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_{n}+4n+12\) avec les valeurs initiales \(u_{1}=-1\) et \(u_{2}=16\).
Solution
Étape 1. Trouve l'équation réduite en fixant \(f(n)=0\), pour obtenir
$$u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n.$$
Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous pour \(r\).
L'équation caractéristique est donnée par \N(r^2-2r-3=0,\N). En la résolvant, on obtient \N(r_1=-1) et \N(r_2=3.\N).
Étape 3. Trouve la fonction complémentaire \(c(n).\N-)
\[c(n)=Cr_1^{n}+Dr_2^{n}=C(-1)^n+D 3^n\]
Étape 4. Trouve la forme de la solution particulière et substitue \(p(n)=u_{n}\) à l'équation originale et résous les inconnues.
Puisque \(f(n)=4n+12\), la solution particulière prend la forme \(p(n)=an+b\).
Avec \(p(n)=u_n=an+b\), \(p(n+1)=u_{n+1}=a(n+1)+b\) et \(p(n+2)=u_{n+2}=a(n+2)+b\).
En les substituant à l'équation originale, on obtient
\N- [\N- u_{n+2}&=2u_{n+1}+3u_n+4n+12 \N- a(n+2)+b&=2(a(n+1)+b)+3(an+b)+4n+12 \N- an+2a+b&=2an+2a+2b+3an+3b+4n+12 \N- end{align}\N].
Pour résoudre \(a\) et \(b\), tu dois comparer les coefficients.
En comparant les coefficients de \(n\), on obtient ,
\N- [\N- a&=2a+3a+4 \N- a&=-1 \Nend{align}\N]
La comparaison des termes constants donne,
\[\N- 2a+b&=2a+2b+3b+12 \N- b&=-3 \Nend{align}\N].
Par conséquent, la solution particulière est \N(p(n)=-n-3.\N)
La solution générale est donc \(u_n=C(-1)^n+D3^{n}-n-3.\N-)
Étape 5. En utilisant les valeurs initiales données dans la question, trouve les valeurs de \(C\N) et \N(D\N).
Puisque les valeurs initiales sont \(u_{1}=-1\) et \(u_{2}=16\), nous avons
\[\N- Début{align} u_1=-1&=C(-1)+D(3)-1-3 \N -C+3D&=3\NFin{align}\N]
\N- [\N- u_2=16&=C(-1)^2+3^2D-2-3 \N- C+9D&=21 \Nend{align}\N]
En résolvant simultanément les équations ci-dessus, nous obtenons \(C=3\) et \(D=2\).
Par conséquent, la solution est l'équation en forme fermée,
$$u_n=3\Nfois (-1)^n+2\Nfois 3^n -n-3.$$
Résous la relation de récurrence \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_{n}\) avec les valeurs initiales \(u_{1}=1\) et \(u_{2}=4\).
Solution
Étape 1. Trouve l'équation réduite.
Comme il s'agit d'une équation homogène, nous avons $$u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_{n}.$$
Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous pour \(r\).
L'équation caractéristique est donnée par,
\N-[r^2-6r-9=0\N]
Par conséquent, \N(r_1=r_2=r=3.\N)
Étape 3. Trouve la fonction complémentaire.
Puisque nous avons des racines répétées, la fonction complémentaire est donnée par ,
\[\N- Début{align} c(n)&= Cr^n+Dnr^n=C\Nfois 3^n+D n\Nfois 3^n \NFin{align}\N].
Étape 4. Puisque \(f(n)=0\) il n'y a pas de solution particulière.
Par conséquent, la solution générale est \N(u_{n}=(C+Dn)\Nfois3^{n}\N).
Étape 5. En utilisant les valeurs initiales données, nous trouvons les valeurs de \(C\N) et \N(D\N).
Puisque \(u_{1}=1\N) et \N (u_{2}=4\N), nous avons
\[\begin{align} u_1&=1=3(C+D)=3C+3D\\ u_{2}&=4=9(C+2D)=9C+18D\end{align}\]
La résolution simultanée donne,
$$C=\frac{2}{9}, D=\frac{1}{9}.$$ Par conséquent,
$$ u_{n}=\left(\frac{2}{9}+\frac{n}{9}\right)\times3^{n}.$$
Résous la relation de récurrence \(u_{n+2}=8u_{n+1}-41u_{n}\) avec les valeurs initiales \(u_{1}=24\) et \(u_{2}=-54\).
Solution
Etape 1. Trouve l'équation réduite.
Comme il s'agit d'une équation homogène, nous avons $$u_{n+2}=8u_{n+1}-41u_n.$$
Étape 2. Trouve l'équation caractéristique et résous pour \(r\).
L'équation caractéristique est donnée par \N[r^2-8r-41=0,\N] donc \N(r_1=z_1=4+5i\N) et \N(r_2=z_2=4-5i\N).
Étape 3. Trouve la fonction complémentaire.
\[\begin{align} c(n)&=Cz_{1}^{n}+Dz_{2}^{n} \N- &=C(4+5i)^n+D(4-5i)^n. \N- [end{align}\N]
Étape 4. Trouve la solution particulière.
Puisque \(f(n)=0\), il n'y a pas de solution particulière.
Nous avons maintenant une solution générale, \(u_n=C(4+5i)^n+D(4-5i)^n\).
Étape 5. En utilisantles valeurs initiales données dans la question, trouve les valeurs de \(C\N) et \N(D.\N).
Puisque les valeurs initiales sont \(u_{1}=24\) et \(u_{2}=-54\), nous avons
\[\begin{align}u_1&=24=C(4+5i)+D(4-5i)\\ u_2&=-54=C(4+5i)^2+D(4-5i)^2 \end{align}\]
En résolvant simultanément, on obtient \(C=3\) et \(D=3\).
Par conséquent, la solution est l'équation en forme fermée,
$$u_n=3(4+5i)^n+3(4-5i)^n.$$
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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