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Fig. 1 - Cône simple.
Définition des sections coniques
L'image ci-dessus représente un cône simple, mais lorsque tu parles de sections coniques, tu dois en fait penser à un double cône, comme dans l'image ci-dessous. Ceci est important car cela introduit une autre section transversale que tu vas apprendre à connaître.
Fig. 2 - Double cône utilisé pour les sections coniques.
Une section conique est la courbe qui résulte de l'intersection d'un cône et d'un plan.
Les sections coniques peuvent être considérées comme des familles de courbes qui résultent de l'intersection d'un plan avec un cône particulier.
Types de sections coniques
Il existe quatre types de sections coniques qui peuvent résulter de ces intersections.
Cercle
Lorsque le plan coupe le cône perpendiculairement à l'axe (mais sans passer par le point central), la section transversale résultante sera un cercle. Les cercles sont techniquement un type spécifique d'ellipse.
Fig. 3 - Cercle formé par l'intersection d'un cône et d'un plan perpendiculaire à l'axe du cône.
Ellipse
Lorsque le plan coupe l'un des cônes de manière inclinée, la section transversale résultante sera une ellipse. Lesellipses (et donc aussi les cercles) sont considérées comme dessections coniques fermées.
Fig. 4 - Ellipse formée par l'intersection d'un cône et d'un plan incliné.
Pour plus d'informations sur ce type de section conique, voir Ellipses.
Parabole
Lorsque le plan coupe l'un des cônes par l'une des bases, la section transversale résultante sera une parabole. Une parabole est une section conique non bornée.
Fig. 5 - Parabole formée par l'intersection d'un cône et d'un plan qui passe par l'une des bases.
Hyperbole
Lorsque le plan coupe les deux cônes (mais ne passe pas par le centre), la section transversale résultante est une hyperbole. Une hyperbole est composée de deux morceaux, appelés branches, qui ressemblent à deux paraboles symétriques. Les hyperboles sont également des sections coniques non bornées.
Fig. 6 - Hyperbole formée par l'intersection d'un double cône et d'un plan qui passe par les bases des deux cônes.
Graphique des sections coniques
Chaque section conique peut être définie par une équation qui peut être représentée graphiquement sur un plan de coordonnées cartésien standard. Mais avant d'examiner les équations, regardons leurs graphiques et certaines de leurs caractéristiques importantes.
Caractéristiques de toutes les sections coniques
Toutes les sections coniques ont trois caractéristiques en commun : un foyer (ou des foyers), un directeur (ou des directeurs) et une excentricité.
Foyer
Un foyer est un point fixe spécial utilisé dans la construction de sections coniques sur un plan de coordonnées. Il est situé "à l'intérieur" de la section conique. Tu peux aussi appeler les foyers des loci.
Les cercles et les paraboles ont un seul foyer. Lesellipses et les hyperboles ont deux foyers (le pluriel du mot foyer). Avec le directeur, le foyer permet de déterminer l'excentricité et la courbure de la section conique.
Pour plus d'informations sur ces sujets, voir Excentricité des sections coniques et Loci avec les sections coniques.
Directrice
Un directrix est une ligne fixe perpendiculaire à l'axe de la section conique qui, avec les foyers, aide à définir la forme de la section conique. Il est situé "à l'extérieur" de la section conique.
Une parabole a un seul point cardinal. Les ellipses et les hyperboles ont deux directrices (le pluriel du mot directrix). Un cercle n'a pas de directeur défini. Tu peux considérer que la distance entre les points d'un cercle et son "directeur" est infinie.
Excentricité
L'excentricité décrit la courbure de la section conique et est définie par le rapport entre la distance entre un point de la section conique et un foyer et la distance entre ce point et le directeur.
L'excentricité est constante à l'intérieur d'une section conique. Une excentricité plus élevée signifie une courbure plus faible, car l'excentricité indique à quel point la section conique s'éloigne d'un cercle. La taille de l'excentricité peut également t'indiquer le type de section conique avec lequel tu travailles :
Si l'excentricité est égale à \(0\), la section conique est un cercle.
Si l'excentricité est comprise entre \(0\) et \(1\), la section conique est une ellipse.
Si l'excentricité est égale à \(1\), la section conique est une parabole.
Si l'excentricité est supérieure à \(1\), la section conique est une hyperbole.
Pour mieux comprendre l'excentricité et le raisonnement entre ces valeurs, consulte notre article sur l'excentricité des sections coniques .
Le cercle
Comme d'habitude, les cercles sont d'une simplicité plutôt élégante. Il te suffit de connaître le point central \((h,k)\) et le rayon \(r\). Avec ces informations, tu peux représenter graphiquement un cercle et écrire son équation. Pour un cercle, le centre est aussi le foyer et, comme nous l'avons mentionné plus haut, il n'y a pas de matrice définie. L'image ci-dessous montre un exemple de cercle dont le centre et le rayon sont indiqués.
Fig. 7 - Graphique d'un cercle montrant le centre et le rayon.
Ellipse
Les ellipses présentent de nombreuses caractéristiques similaires aux cercles. En fait, les cercles sont un type particulier d'ellipse. Une ellipse typique ressemble à ce que tu penses être un ovale. Elles sont plus larges dans une direction que dans l'autre. La direction la plus large est appelée grand axe, et la direction la plus courte est appelée petit axe.
Pour en savoir plus sur les caractéristiques et les équations des ellipses, consulte notre article sur les ellipses. L'image ci-dessous montre une ellipse dont le centre, les foyers et les directrices sont indiqués.
Fig. 8 - Graphique d'une ellipse montrant le centre, les foyers, les directrices, le grand axe et le petit axe.
Parabole
Tu connais peut-être déjà un peu les paraboles puisqu'elles sont un sujet majeur en algèbre. Tu sais probablement qu'une parabole ressemble à un arc symétrique ou à une forme en U. En plus d'un foyer et d'un directeur, une parabole a un sommet. Celui-ci est situé sur l'axe de symétrie de la parabole, au niveau du "virage".
Fig. 9 - Graphique d'une parabole montrant le sommet, le foyer et la directrice.
Hyperbole
Une hyperbole ressemble à une paire de paraboles assorties allant vers l'extérieur dans des directions opposées. Pour les hyperboles, le centre \((h,k)\) est situé à égale distance des deux sommets des branches. La distance entre les sommets des deux branches s'appelle l'axe transversal. L'axe conjugué est perpendiculaire à cet axe. Dans la section suivante, tu verras comment l'équation affecte ces valeurs. Ces axes permettent également de déterminer les asymptotes obliques qui forment la forme de la parabole.
Fig. 10 - Graphique de l'hyperbole montrant le centre, les sommets, les foyers, les directrices et les axes transversaux et conjugués.
Résolution des sections coniques et formules
Toutes les sections coniques proviennent de la même équation générale :
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\]
où \(A, B, C, D, E, \text{ et } F\) sont des constantes. La section conique décrite dépend de la valeur de chaque constante et de sa valeur positive ou négative. Mais cette équation n'est pas facile à travailler ou à représenter graphiquement, c'est pourquoi elle n'est pas souvent utilisée.
Chaque section conique a sa propre formule, ou équation, qui peut être utilisée pour la représenter sur un plan cartésien comme dans les images ci-dessus. Chacune des équations ci-dessous est la forme standard ou la forme conique de l'équation. Ces formes d'équation sont les plus utiles lorsqu'il s'agit de tracer un graphique et d'identifier les caractéristiques importantes de chaque section conique.
Cercle
Comme nous l'avons mentionné plus haut, tu as seulement besoin du centre et du rayon d'un cercle pour écrire l'équation ou faire le graphique.
L'équation d'un cercle de centre \((h,k)\) et de rayon \(r\) est la suivante
\N[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \N]
ou
\[ \frac{(x-h)^2}{r^2}+\frac{(y-k)^2}{r^2}=1.\]
La première forme de l'équation est probablement celle que tu verras le plus souvent. La deuxième forme montre comment elle est liée à l'équation de l'ellipse présentée dans la section suivante.
Ellipse
Les ellipses sont également assez simples. Tu as seulement besoin d'un centre et des distances entre le centre et l'extrémité de chaque axe.
L'équation d'une ellipse dont le centre est \N((h,k)\N), le grand axe \N(2a\N) et le petit axe \N(2b\N) est la suivante
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1. \]
Si \(a>b\), l'ellipse est plus large que haute et est appelée ellipse horizontale. Si \(a<b\), l'ellipse est plus haute que large et on l'appelle une ellipse verticale.
Pour un cercle, \(a=b\).
Parabole
Tu as sans doute déjà beaucoup appris sur les paraboles. L'équation peut être sous forme générale, sous forme factorisée ou sous forme de sommet. L'équation ci-dessous est la forme conique qui relie une parabole à ses caractéristiques importantes de section conique.
L'équation d'une parabole dont le sommet est \N((h,k)\N) et la distance \N(p\N) entre le sommet et le foyer (ou entre le sommet et le point cardinal) est la suivante
\N[(x-h)^2=4p(y-k)\N]
pour une parabole qui s'ouvre vers le haut ou vers le bas, ou
\[(y-k)^2=4p(x-h)\]
pour une parabole qui s'ouvre à gauche ou à droite.
Hyperbole
Une hyperbole ressemble à une paire de paraboles assorties allant vers l'extérieur dans des directions opposées. Pour les hyperboles, le centre \((h,k)\) est situé à égale distance des deux sommets des branches. La distance entre les sommets des deux branches est appelée axe transversal et est définie comme \(2a\). L'axe conjugué est perpendiculaire à cet axe et est défini comme \(2b\). Cet axe permet de définir la largeur d'ouverture des branches.
L'équation d'une hyperbole dont le centre est \N((h,k)\N), l'axe transversal \N(2a\N) et l'axe conjugué \N(2b\N) est la suivante
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 \]
pour une hyperbole qui s'ouvre à gauche et à droite, ou
\[\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1\]
pour une hyperbole qui s'ouvre vers le haut et vers le bas.
Règles de calcul des sections coniques
Il existe également des règles et des formules pour trouver les caractéristiques importantes des différentes sections coniques, comme le foyer, le directeur et l'excentricité. Tout ce dont tu as besoin pour les cercles et les paraboles est intégré dans les équations ci-dessus. Mais pour les ellipses et les hyperboles, trouver ces caractéristiques demande un peu plus de travail.
Trouver les foyers et les directrices des ellipses
Pour l'équation de l'ellipse
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\]
qui a un grand axe horizontal, la formule pour trouver la distance \(c\) entre le centre et l'un ou l'autre des foyers est la suivante
\[c=\sqrt{a^2-b^2}.\]
Une fois que tu as trouvé cette distance, ajoute-la à \(h\N), la coordonnée \N(x\N) du centre, pour trouver un foyer, et soustrais-la de \N(h\N) pour trouver l'autre foyer. Les coordonnées des foyers seront \N((h\pm c,k)\N). Les foyers doivent toujours se trouver à l'intérieur de l'ellipse.
La formule pour trouver l'excentricité \(e\) d'une ellipse est la suivante
\[e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\]
dont tu auras besoin pour trouver les directrices. Une fois que tu as trouvé \(e\), tu peux l'utiliser dans la formule pour trouver la distance \(d\) entre le centre et les directrices, c'est-à-dire
\N-[d=\frac{a}{e}.\N]
Comme pour le foyer, une fois que tu as trouvé cette distance, ajoute-la à \(h\N), la coordonnée \N(x\N)du centre, pour trouver un point cardinal, et soustrais-la de \N(h\N) pour trouver l'autre point cardinal. Les équations des lignes directes seront \N(x=h\pm d\N). Les lignes directrices doivent toujours se trouver à l'extérieur de l'ellipse.
Si l'ellipse est de la forme
\[\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1,\]
qui a un grand axe vertical, les formules resteront les mêmes sauf que les distances seront ajoutées à \(k\), la coordonnée \(y\) du centre (au lieu de la coordonnée \(x\)). Les lignes directrices seront \(y=k\pm d\).
L'exemple ci-dessous montre comment trouver les foyers et les directrices de l'ellipse dans le graphique ci-dessus.
Le graphique ci-dessus est celui de l'ellipse définie par l'équation
\[\frac{(x+2)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{1}=1.\]
Trouve les foyers et les directrices.
Foyers : Commençons par trouver la distance focale à partir du centre en utilisant la formule \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) et en faisant une substitution.
\[\begin{align} c&=\sqrt{a^2-b^2}\\c&=\sqrt{4-1}\\&=\sqrt{3}.\\ \end{align}\]
Comme il s'agit d'une ellipse à orientation horizontale (le grand axe est horizontal), tu trouveras les foyers à gauche et à droite du centre. Le centre se trouve au point (-2,1) (rappelle-toi que ce point est indiqué dans l'équation de l'ellipse). L'un des foyers se trouve donc à \N((-2+\sqrt{3},1)\N) (ou environ \N((-0,27,1)\N)), et l'autre à \N((-2-\sqrt{3},1)\N) (ou environ \N((-3,73,1)\N)).
Directrices: Pour trouver les directrices, tu dois d'abord trouver l'excentricité, en utilisant la formule suivante
\[e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\]
et en la remplaçant.
\[\begin{align} e&=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\\&=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\\&=\sqrt{\frac{3}{4}}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}.\\ \end{align}\]
Trouve ensuite la distance entre le centre et chacun des points cardinaux à l'aide de la formule \(d=\dfrac{a}{e}\). Ainsi
\[d=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.\]
Ajoute cette valeur à \(h\) pour trouver les équations des lignes directrices. L'un des points cardinaux sera situé à \N(x=-2+\dfrac{4}{\sqrt{3}}\approx 0.31\N), et l'autre point cardinal sera situé à \N(x=-2-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Napprox -4.31.\N).
Prends le temps de faire défiler le graphique de l'ellipse et de voir que ces valeurs correspondent aux foyers et aux directrices indiqués sur le graphique.
Trouver les foyers et les directrices des hyperboles
Pour l'équation de l'hyperbole
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\]
qui s'ouvre à gauche et à droite (et dont l'axe transversal est horizontal), la formule pour trouver la distance \(c\) entre le centre et l'un ou l'autre des foyers est la suivante
\[c=\sqrt{a^2+b^2}.\]
Une fois que tu as trouvé cette distance, ajoute-la à \(h\N), la coordonnée \N(x\N) du centre, pour trouver un foyer, et soustrais-la de \N(h\N) pour trouver l'autre foyer, comme pour une ellipse. Les coordonnées des foyers seront \N((h\pm c,k).\N). Les foyers doivent toujours se trouver à l'intérieur des branches de l'hyperbole.
Pour trouver les directrices, utilise la formule pour trouver ladistance \(d\) entre le centre et les directrices, qui est la suivante
\[d=\frac{a^2}{c}.\]
Encore une fois, après avoir trouvé cette distance, ajoute-la à \(h\N), la coordonnée \N(x\N) du centre, pour trouver une directive, et soustrais-la de \N(h\N) pour trouver l'autre directive. Les équations des lignes directrices seront \N(x=h\pm d\N). Les lignes directrices doivent toujours se situer entre les branches de l'hyperbole.
L'exemple ci-dessous montre comment trouver les foyers et les directrices de l'hyperbole du graphique ci-dessus.
Le graphique ci-dessus est celui de l'hyperbole définie par l'équation
\[\frac{(x-8)^2}{16}-\frac{(y-6)^2}{9}=1.\]
Trouve les foyers et les directrices.
Foyers : Commençons par trouver la distance focale à partir du centre en utilisant la formule \(c=\sqrt{a^2+b^2}\) et en faisant une substitution.
\[\begin{align} c&=\sqrt{a^2+b^2}\\&=\sqrt{16+9}\\&=\sqrt{25}=5.\\ \end{align}\]
Comme il s'agit d'une hyperbole qui s'ouvre à gauche et à droite, tu trouveras les foyers à gauche et à droite du centre. Le centre se trouve au point (8,6). L'un des foyers se trouve donc à \N((8+5,6)}text{ or }(13,6)\N), et l'autre à \N((8-5,6)=(3,6).\N).
Directrices : Utilise ensuite la formule \(d=\dfrac{a^2}{c}\) pour trouver la distance entre le centre et les directrices.
\[\begin{align} d&=\frac{a^2}{c}\\&=\frac{16}{5}\\&=3.2.\\ \end{align}\]
Ajoute cette valeur à \(h\) pour trouver les équations des lignes directrices. L'un des points cardinaux sera situé à \N(x=8+3.2=11.2\N), et l'autre à \N(x=8-3.2=4.8.\N).
Encore une fois, prends le temps de faire défiler vers le haut et de vérifier le graphique pour voir si cela correspond.
Exemples de sections coniques
Il existe de nombreux types de problèmes de sections coniques. Les exemples précédents sur la recherche des foyers et des directrices n'en sont qu'un exemple. Ci-dessous, tu verras un autre type de problème : comment représenter graphiquement une section conique à partir de son équation.
Représentation graphique d'une ellipse
La représentation graphique d'une ellipse n'est pas très difficile. C'est assez similaire à la façon dont tu peux représenter un cercle. L'exemple ci-dessous présente les différentes étapes.
Trace le graphique de l'équation :
\[\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1.\]
Étape 1 : Identifie le type de section conique et l'orientation.
Lorsque tu vois une équation de section conique avec un terme \(x^2\) et un terme \(y^2\), tu dois automatiquement penser à une ellipse ou à une hyperbole. La seule différence significative dans les équations est le signe d'addition ou de soustraction entre les fractions. Les ellipses ont une addition entre les termes, comme celle-ci.
L'orientation est déterminée par l'emplacement du grand axe. Ici, \(a=2\) et \(b=4\), donc \(a<b\) et cette ellipse a une orientation "verticale".
Étape 2 : Trace le centre et les axes majeur et mineur.
Toutes les informations dont tu as besoin pour cela se trouvent dans l'équation. Les valeurs entre parenthèses avec les variables forment le centre. Rappelle-toi que la forme standard de l'équation de l'ellipse comprend un signe de soustraction devant la coordonnée. Pour cette équation, le centre est \((h,k)=(1,0)\).
Les dénominateurs des termes indiquent la distance entre le point central et l'extrémité de chaque axe. L'axe principal (ici, l'axe vertical) est \(2a=8\), ou \(a=4\), et l'axe secondaire (ici, l'axe horizontal) est \(2b=4\), ou \(b=2\).
Reporte-les sur un graphique, comme dans l'image ci-dessous.
Fig. 11 - Croquis du centre, du grand axe et du petit axe nécessaires pour tracer le graphique d'une ellipse.
Étape 3 : Relie les extrémités des axes pour former une ellipse.
Commence à n'importe quelle extrémité de l'un ou l'autre des axes. Esquisse une courbe pour la relier à une extrémité adjacente d'un axe. Continue jusqu'à ce que l'ellipse soit fermée. Vois l'image ci-dessous pour savoir à quoi doit ressembler le graphique final.
Fig. 12 - Graphique de l'équation elliptique \(\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1.\)
Examinons maintenant les hyperboles.
Représentation graphique d'une hyperbole
Il peut être difficile de représenter graphiquement une hyperbole à partir de son équation. L'exemple ci-dessous présente les étapes nécessaires.
Trace le graphique de l'équation :
\[\frac{(y-4)^2}{25}-\frac{(x+2)^2}{9}=1.\]
Étape 1 : Identifie le type de section conique et son orientation.
Remarque le signe de soustraction entre les fractions. Cela indique qu'il s'agit de l'équation d'une hyperbole. Pour vérifier son orientation, c'est-à-dire si elle s'ouvre à gauche/droite ou en haut/bas, vérifie quelle variable a le signe négatif. Comme le signe négatif se trouve devant les parenthèses de \(x\), cette hyperbole sera orientée verticalement et s'ouvrira vers le haut et vers le bas.
Étape 2 : Utilise l'équation pour identifier le centre et les sommets.
Le centre fait partie de l'équation, donc le centre est \((h,k)=(-2,4)\). Le dénominateur de la première fraction des équations t'indique à quelle distance du centre se trouvent les sommets des branches de l'hyperbole. Dans l'équation standard, le dénominateur est défini comme \(a^2\). Donc, pour cette hyperbole, \(a=5\). Et comme l'hyperbole est orientée vers le haut et vers le bas, les sommets seront à \(5\) unités au-dessus et au-dessous du centre, donc \((-2,9)\) et \((-2,-1)\). Le segment de droite entre les sommets, qui a la longueur \(2a\), est l'axe transversal.
Étape 3 : Trace les points importants, les axes et les asymptotes.
Tu connais déjà l'axe transversal grâce à l'étape 2. Tu dois également connaître l'axe conjugué, que tu peux trouver à partir du dénominateur de la deuxième fraction. Ce dénominateur est \(b^2\) dans l'équation, donc pour cette équation \(b=3\). L'axe conjugué a une longueur de \(2b=6\), donc \(b=3\), et est perpendiculaire à l'axe transversal passant par le centre.
Ensuite, tu as besoin des asymptotes qui forment les limites de l'hyperbole. Utilise l'axe transversal et l'axe conjugué pour dessiner un rectangle. Esquisse ensuite les diagonales du rectangle, en les prolongeant au-delà du rectangle lui-même, pour former les asymptotes. Consulte le diagramme ci-dessous pour voir ce qui doit être esquissé jusqu'à présent.
Fig. 13 - Croquis du centre, des sommets, des axes transversal et conjugué et des asymptotes nécessaires pour esquisser le graphique d'une hyperbole.
Étape 3 : Esquisse les branches.
En partant de chaque sommet, esquisse une courbe en forme de u qui s'approche de chaque asymptote. Elle doit ressembler au graphique ci-dessous.
Fig. 14 - Graphique de l'équation hyperbolique \(\frac{(y-4)^2}{25}-\frac{(x+2)^2}{9}=1.\)
Sections coniques - Points clés
- Lessections coniques sont le résultat de l'intersection d'un double cône avec un plan.
- Il existe quatre sections coniques : le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole.
- Chaque section conique a un foyer et un directeur (ou deux de chaque) qui déterminent l'excentricité, ou la courbure, de la section conique.
- La forme standard de l'équation de chaque section con ique est la suivante :
- Cercle : L'équation d'un cercle dont le centre est \((h,k)\) et le raduis \(r\) est \[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\].
- Ellipse : L'équation d'une ellipse dont le centre est \N((h,k)\N), le grand axe \N(2a\N) et le petit axe \N(2b\N) est \N[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1. \N] Si \N(a>b\N), l'ellipse est plus large que haute et on l'appelle une ellipse horizontale. Si \(a<b\), l'ellipse est plus haute que large et on l'appelle une ellipse verticale.
- Parabole : L'équation d'une parabole dont le sommet est \((h,k)\) et la distance \(p\) entre le sommet et le foyer (ou entre le sommet et la directrice) est \[(x-h)^2=4p(y-k)\]pour une parabole qui s'ouvre vers le haut ou vers le bas, ou\[(y-k)^2=4p(x-h)\] pour une parabole qui s'ouvre vers la gauche ou vers la droite.
- Hyperbole : L'équation d'une hyperbole dont le centre est \N((h,k)\N), l'axe transversal \N(2a\N) et l'axe conjugué \N(2b\N) est \N[\Nfrac{(x-h)^2}{a^2}-\Nfrac{(y-k)^2}{b^2}=1 \N] pour une hyperbole qui s'ouvre vers la gauche et vers la droite, ou \[\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1\] pour une hyperbole qui s'ouvre vers le haut et vers le bas.
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