Qu'est-ce qu'un segment de cercle en mathématiques?

Un segment de cercle est une région plane définie par un arc de cercle et sa corde correspondante.

Comment calcule-t-on la surface d'un segment de cercle?

Pour calculer la surface d'un segment de cercle, on soustrait la surface du triangle formé par la corde de la surface du secteur circulaire.

Quelle est la formule de la corde d'un segment de cercle?

La longueur de la corde d'un segment de cercle est donnée par la formule 2r sin(θ/2), où r est le rayon et θ est l'angle en radians.

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What is Investigating Segment de cercle?

AI Summary

Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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Gabriel Freitas.

Quality reviewed by Gabriel Freitas.
Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

Un segment de cercle est la zone définie par une ligne allant d'un côté de la circonférence à l'autre.

Les segments sont divisés en segments majeurs et mineurs :

Les segments majeurs représentent la plus grande partie du cercle.
Les segments mineurs représentent la plus petite partie du cercle.

Segment d'un cercle Diagramme des segments majeurs et mineurs StudySmarter Segment majeur et mineur d'un cercle -StudySmarter Originals

Lorsque tu travailles sur l'aire d'un segment de cercle, tu dois toujours te rappeler la formule de l'aire d'un cercle : $π \times r^{2}$ . C'est cette formule que tu utilises, que l'angle soit en radians ou en degrés.

Unités pour l'angle du segment d'un cercle

Lorsque tu calcules la surface ou la circonférence d'un segment de cercle, l'angle au centre du cercle qui définit le segment peut être exprimé en radians ou en degrés.

Les degrés sont et sont désignés par $^{\circ}$ . En degrés, une rotation complète est égale à $360^{\circ}$ .
Les radians sont un autre type d'unité pour les angles. Ils sont définis par le rapport entre le rayon du cercle et la longueur de l'arc de cercle et sont désignés par . $^{r}$ . En radians, une rotation complète est égale à $2 π^{r}$ .

Trouver l'aire d'un segment de cercle lorsque l'aire est en radians

Pour trouver l'aire d'un segment de cercle (la partie bleue), tu dois connaître l'angle au centre où les rayons mettent entre parenthèses la corde (x) et le rayon :

Triangle formé à partir de l'angle définissant le segment - StudySmarter Originals

Formules pour trouver l'aire d'un segment de cercle lorsque l'angle est en radians.

Pour trouver la surface d'un segment mineur d'un cercle lorsque l'angle au centre (x) est en radians, la formule est la suivante :

$M i n o r s e g m e n t = \frac{1}{2} \times r^{2} \times (x - \sin (x))$

Pour trouver l'aire d'un segment majeur d'un cercle lorsque l'angle au centre est en radians, la formule est la suivante :

$M a j o r s e g m e n t = (π \times r^{2}) - [\frac{1}{2} \times r^{2} \times (x - \sin (x))]$

Au lieu d'essayer de te souvenir des deux formules, il serait peut-être plus facile de se souvenir de la formule de l'aire du segment principal comme d'une équation de mots :

$M a j o r S e g m e n t = a r e a o f a c i r c l e - a r e a o f m i n o r s e g m e n t$

Le cercle A a un segment mineur qui est surligné en rose.

Trouve l'aire du segment mineur.
Trouve l'aire du segment majeur.

Segment d'un cercle exemple de diagramme de segment StudySmarter

a. Trouver le segment mineur

Commence par définir les caractéristiques du segment : $R a d i u s = 9; A n g l e = \frac{π}{3}$
Substitue dans la formule :

M i n o r s e g m e n t = \frac{1}{2} \times r^{2} \times (x - \sin (x))

M i n o r s e g m e n t = \frac{1}{2} \times 9^{2} \times (\frac{π}{3} - S i n (\frac{π}{3}))

Segment mineur = 7,64 unités carrées (3 pi²).

b. Trouver l'aire du segment principal

N'oublie pas de trouver le segment majeur ; tu soustrais le segment mineur de l'aire du cercle.

M a j o r s e g m e n t = (π \times r^{2}) - [\frac{1}{2} \times r^{2} \times (x - Sin (x))]

$M a j o r S e g m e n t = (π \times 9^{2}) - [\frac{1}{2} \times 9^{2} \times (\frac{π}{3} - Sin (\frac{π}{3}))]$

Segment principal = 247 unités carrées (3 pi2)

Pour vérifier, si tu additionnes le segment mineur et le segment majeur, tu devrais obtenir à peu près la même surface que celle du cercle entier. $(π \times r^{2})$ . Ici , $(π \times 9^{2}) = 254.47 s q u a r e u n i t s$ et segment mineur + segment majeur = $7.34 + 247 \approx 254.54 s q u a r e u n i t s$ .

Trouver la surface d'un segment de cercle lorsque l'angle est en degrés

Tu dois toujours connaître le rayon et le centre du cercle, mais il existe maintenant une formule différente.

Formules pour trouver l'aire d'un segment de cercle lorsque l'angle est en degrés.

La formule pour trouver le segment mineur d'un cercle, lorsque l'angle au centre (x) est en degrés :

$M i n o r s e g m e n t = (\frac{x \times π}{360} - \frac{\sin (x)}{2}) \times r^{2}$

Pour trouver le segment principal d'un cercle lorsque l'angle au centre (x) est en degrés, la formule est la suivante :

$M a j o r s e g m e n t = (π \times r^{2}) - [(\frac{x \times π}{360} - \frac{\sin (x)}{2}) \times r^{2}]$

Utilise le même principe que lorsque l'angle est en radians - tu dois soustraire le segment mineur de toute l'aire du cercle.

Le cercle B a un segment mineur, et l'angle au centre définit la longueur du segment. L'angle est de $120^{\circ}$ et le rayon est de 10 cm.

Quelle est l'aire du segment mineur du cercle B ?
Quelle est l'aire du segment principal du cercle B ?

a. Trouve le segment mineur du cercle B.

Identifie toutes les informations clés nécessaires au calcul de l'aire. Rayon = 10 cm ; angle au centre = $120^{\circ}$
Substitue dans la formule

$M i n o r s e g m e n t = (\frac{π \times x}{360} - \frac{\sin (x)}{2}) \times r^{2}$

$M i n o r s e g m e n t = (\frac{120 \times π}{360} - \frac{\sin (120)}{2}) \times 10^{2}$

Segment mineur = 75,7 unités carrées (3 pi2)

b. Trouve le segment majeur du cercle B.

Substitue les informations clés dans la formule du segment majeur.

M a j o r s e g m e n t = (π \times r^{2}) - [(\frac{x \times π}{360} - \frac{\sin (x)}{2}) \times r^{2}]

M a j o r s e g m e n t = (π \times 10^{2}) - [(\frac{120 π}{360} - \frac{\sin (120)}{2}) \times 10^{2}]

Segment principal = 239 unités carrées (3 pi2)

Longueurs d'arc

La méthode pour calculer la longueur d'arc d'un segment est la même que pour calculer la longueur d'arc d'un secteur.

Pour trouver la longueur de l'arc lorsque l'angle au centre (x) qui définit le segment est en radians :

$A r c L e n g t h = r \times x$

Un segment du cercle C a un rayon de 7 cm et un angle de $20^{\circ}$ . Quelle est la longueur de l'arc de ce segment ?

$A r c l e n g t h = 20^{°} \times \frac{π}{180} \times 7 = \frac{7 π}{9} c m$

Pour trouver la longueur de l'arc lorsque l'angle au centre (x) qui définit le segment est en degrés :

$A r c L e n g t h = x \times r \times \frac{π}{180}$

Un segment du cercle D a un rayon de 5 cm et un angle de $90^{\circ}$ . Quelle est la longueur de l'arc de ce segment ?

$A r c l e n g t h = 90 \times \frac{π}{180} \times 5 = 7.85 c m (3 s . f)$

Segment de cercle - Principaux enseignements

Un segment de cercle est la zone délimitée par la circonférence et la corde. Les segments peuvent être majeurs (la plus grande proportion) ou mineurs (la plus petite proportion).
Pour trouver l'aire d'un segment mineur d'un cercle, tu utilises soit $\frac{1}{2} \times r^{2} \times (x - \sin (x))$ où l'angle (x) est en radians ou $(\frac{x \times π}{360} - \frac{\sin (x)}{2}) \times r^{2}$ où l'angle (x) est en degrés.
Pour trouver l'aire d'un segment majeur, tu soustrais l'aire du segment mineur de l'aire du cercle.
Calculer la longueur de l'arc d'un segment revient à calculer la longueur de l'arc d'un secteur. Pour calculer la longueur de l'arc d'un segment dont l'angle (x) est en radians, tu peux faire ce qui suit $r \times x$ . Si l'angle (x) est en degrés, tu peux utiliser $r \times x \times \frac{π}{180}$ .

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Gabriel Freitas

AI Engineer at StudySmarter

Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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