Qu'est-ce que le taux de variation instantané ?

Le taux de variation instantané représente la dérivée d'une fonction en un point donné, indiquant la vitesse à laquelle la fonction change à ce point précis.

Comment calculer le taux de variation instantané ?

Pour calculer le taux de variation instantané, on prend la dérivée de la fonction et on évalue cette dérivée à un point spécifique.

Quelle est la différence entre taux de variation instantané et moyenne ?

Le taux de variation instantané mesure la variation à un point précis, tandis que le taux de variation moyen mesure le changement sur un intervalle.

Pourquoi le taux de variation instantané est-il important ?

Le taux de variation instantané est crucial en mathématiques et en sciences pour comprendre des phénomènes dynamiques, comme la vitesse d'un objet à un moment précis.

What is Investigating Taux de variation instantané?

AI Summary

Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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Published: 24.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

Imagine qu'une voiture parcourt une distance de 50 km en 40 minutes et que le conducteur veuille connaître le taux de variation de la distance à tout moment au cours de ces 40 minutes. Ou imagine que les stocks d'une entreprise fluctuent toutes les deux secondes et que pour les surveiller correctement, il faut calculer le taux de variation de la quantité de stocks par unité de temps.

Ce sont là quelques-uns des scénarios dans lesquels il est nécessaire de calculer le taux de variation instantané d'une quantité par rapport à une autre quantité. Les applications de ce concept sont vastes dans différents domaines, et parfois le nombre de quantités n'est pas limité à deux dans certaines situations compliquées. Mais dans le cadre de cet article, nous limiterons notre étude du taux de variation instant ané à deux quantités seulement.

Taux de variation instantané en un point

Dans l'article sur le taux de variation moyen, nous avons expliqué comment calculer le taux de variation d'une quantité sur une période considérable d'une autre quantité, mais qu'en est-il du taux de variation à un moment donné ? Au sens large, nous voulons savoir comment une quantité change à un moment donné et non pas sur une grande partie de cette quantité.

Le taux de changement instantané en un point d'une courbe est le taux auquel la quantité change par rapport à l'autre au point (ou à l'instant).

Le taux de variation instantané en un point est le gradient de la courbe en ce point. Rappelle la définition du gradient : le gradient en un point nous indique le taux de changement en ce point.

Taux de changement instantané, Tangente comme taux de changement, StudySmarter La tangente en un point signifiant sa pente, StudySmarter Originals

Dans le diagramme ci-dessus, supposons que nous voulions connaître le taux de changement instantané au point A, alors nous devons trouver le gradient de la courbe au point A. Et le gradient à ce point est la pente à ce point.

Pour toute courbe, elle varie d'un point à l'autre et la pente à ce point doit être calculée individuellement.

Un cas particulier et intriguant est celui d'une ligne droite, où la pente en chaque point serait la même et donc le taux instantané de changement serait égal au taux moyen sur n'importe quel intervalle.

Taux de variation instantané à l'aide du calcul

Un outil important du calcul est vraiment pratique ici, celui de la différenciation . Rappelle que différencier une fonction revient à trouver la pente de la courbe en ce point. Mais la pente en ce point, comme nous l'avons vu, est letaux de changement instantané en ce point. Nous pouvons donc utiliser le calcul pour trouver le taux de changement.

Soit $y = f (x)$ soit une fonction qui décrit une courbe et supposons que la fonction est continue et différentiable sur l'intervalle approprié. Alors la pente du graphique en un point $(x_{1}, y_{1})$ est donnée par :

$S l o p e = \frac{d y}{d x}$ $e v a l u a t e d a t (x_{1}, y_{1})$

Et voici la formule du taux instantané de changement de y par rapport à x à ce point.

Le taux de variation instantané de $y = f (x)$ par rapport à x en un point $(x_{1}, y_{1})$ est déterminé en évaluant $\frac{d y}{d x}$ en ce point.

Taux de changement instantané, Taux de changement instantané comme dérivée en un point, StudySmarter Le taux instantané de changement en un point, StudySmarter Originals

Nous pouvons également calculer le taux de changement instantané de x par rapport à y en calculant $\frac{d x}{d y}$ à ce point. Puisque la majorité des fonctions sont données explicitement en termes de x, nous pouvons utiliser l'identité suivante pour trouver le taux de variation instantané de x par rapport à y;

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}}$

Cela implique une propriété très importante : le taux instantané de changement de y par rapport à x est la réciproque du taux instantané de changement de x par rapport à y .

Taux de variation instantané en tant que limites

Nous avons déjà vu comment nous pouvons calculer le taux de variation instantané à l'aide des dérivées, mais d'où cela vient-il ? Comment pouvons-nous le déduire ? Nous allons voir ici comment les limites nous aident à relier le taux de variation instantané aux dérivées.

Rappelle que le taux de variation moyen est pris sur un grand intervalle et est donné par $\frac{Δ y}{Δ x}$ pour une fonction $y = f (x)$ .

Taux de changement instantané, Taux de changement instantané comme dérivée en un point, StudySmarter Le taux moyen de changement sur deux points, StudySmarter Originals

Si nous rapprochons de plus en plus les points A et B, ils finiront par devenir un seul et même point. C'est la raison pour laquelle nous utilisons la condition limite $\lim_{Δ x \to 0}$ et $\lim_{Δ y \to 0}$ pour éviter que les deux points ne se confondent.

Remarque maintenant qu'au fur et à mesure que A et B se rapprochent, la distance qui les sépare est infiniment petite et la ligne que nous traçons à travers eux devient une ligne tangente :

Taux de changement instantané, Deux points infiniment proches, StudySmarter Deux points infiniment proches l'un de l'autre, StudySmarter Originals

Comme on peut le voir, lorsque la distance entre les points se rapproche de 0, la ligne sécante devient une ligne tangente et le taux de variation moyen devient un taux de variation instantané à ce point. Si nous zoomons sur les deux points, nous voyons que la courbe devient une droite et que notre proposition de tangente est géométriquement justifiée :

Taux de changement instantané, Deux points infiniment proches, StudySmarter Deux points infiniment proches résultant en une tangente, StudySmarter Originals.

Nous pouvons nommer les coordonnées du point A comme $(x, f (x))$ et laisser les coordonnées du point B comme $(x + a, f (x + a))$ puisque les valeurs varieront très légèrement, étant donné qu'elles sont extrêmement proches l'une de l'autre. Nous avons donc $x_{1} = x$ , $x_{2} = x + a$ et $y_{1} = f (x)$ , $y_{2} = f (x + a)$ .

Utilise maintenant la formule de la pente :

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x + a) - f (x)}{x + a - x}$ $= \frac{f (x + a) - f (x)}{a}$

Maintenant, puisque les points sont très proches, nous pouvons utiliser la condition limitative :

$\lim_{a \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ $= \lim_{a \to 0} \frac{f (x + a) - f (x)}{a}$

Rappelle-toi maintenant la définition d'une dérivée :

$\frac{d y}{d x} = \lim_{a \to 0} \frac{f (x + a) - f (x)}{a}$

Cela nous donne finalement la formule du taux de variation instantané en un point, puisque A et B finissent par fusionner en un seul point dans la condition limite.

Exemples de taux de variation instantané

Pour la fonction donnée par $y = 3 x^{2} - x + 4$ , trouve le taux de variation de y par rapport à x au point (0,4) et explique ce que cela signifie.

Solution :

Étape 1 : Trouve la dérivée de la fonction par rapport à x:

$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} (3 x^{2} - x + 4)$ $= 6 x - 1$

Étape 2 : Évalue la dérivée au point donné, ici c'est (0,4).

$\frac{d y}{d x} = 0 - 1 = - 1 a t (0, 4)$

Par conséquent, le taux de variation de y par rapport à x est de -1 au point (0,4).

Ainsi, la valeur de la fonction diminue d'une unité de 1 par rapport à x au point (0,4).

Un objet est lancé et il suit une trajectoire parabolique avant de tomber. La trajectoire de l'objet est donnée par l'équation suivante $y = \frac{x^{2}}{2} - x$ . Trouve le taux de variation de la hauteur atteinte par l'objet par rapport à la distance horizontale parcourue lorsqu'il atteint une distance de 4 m et une hauteur de 4 m.

Solution :

Étape 1 : convertis les données données en termes mathématiques :

y = hauteur atteinte, x = distance horizontale parcourue, le point où nous voulons trouver le taux de variation est (4,4).

Étape 2 : Différencier la fonction donnée $y = \frac{x^{2}}{2} - x$ :

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} - x) = x - 1$

Étape 3: Évalue la dérivée au point donné (4,4) :

$\frac{d y}{d x} = 4 - 1 = 3$

Par conséquent, le taux de variation de la hauteur par rapport à la distance horizontale est de 3 lorsque l'objet se trouve à 4 m de hauteur et à 4 m de distance.

Trouve le taux de variation de y par rapport à x pour la fonction $y^{2} = \ln |x^{3} - 4|$ au point (2,1)

Solution :

Étape 1 : Prends la dérivée de la fonction et trouve $\frac{d y}{d x}$ :

$2 y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 4}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (x^{3} - 4)}$

Étape 2 : Évalue la dérivée au point (2,1) :

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 . 2^{2}}{2.1 (2^{3} - 4)}$ $= \frac{3}{2}$

Par conséquent, le taux de variation de y par rapport à x est de $\frac{3}{2}$ au point (2,1).

Taux de variation instantané - Points clés à retenir

Le taux de variation instantané en un point d'une courbe est le taux de variation de la quantité par rapport à l'autre au point (ou à l'instant).
Le taux de variation en un point d'une courbe est la pente de la ligne tangente tracée en ce point.
Pour une fonction y=f(x), le taux de variation de y par rapport à x en un certain point est la réciproque du taux de variation de x par rapport à y en ce point.
La formule du taux de variation en un point $(x_{1}, y_{1})$ est donnée par $\frac{d y}{d x}$ évaluée en ce point.

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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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