What is Investigating Théorème CCC?

T'es-tu déjà demandé si deux ou plusieurs triangles sont donnés, même s'ils ne se ressemblent pas, comment on les compare ? Et s'ils sont semblables, avons-nous vraiment besoin de tous les côtés et de tous les angles pour le déterminer ? Ici, nous allons comprendre le théorème SSS pour déterminer facilement les triangles congruents.

Définition du théorème SSS

C'est-à-dire que les triangles ont des angles et des côtés correspondants. Nous pouvons tester cette congruence à l'aide de certains théorèmes sans vérifier tous les angles et côtés des triangles. L'un de ces théorèmes est le théorème SSS.

Donc, comme son nom l'indique, ce théorème signifie côté-côté-côté. Ici, nous ne nous intéressons qu'aux côtés du triangle et à rien d'autre.

Triangles congruents SSS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Théorème de congruence SSS

Le théorème de congruence SSS donne la relation de congruence entre deux triangles en se basant sur leurs côtés.

Mathématiquement, si $AB=XY,BC=YZ,$ et id="5311185" role="math" $AC=XZ$, alors $△ABC\cong △XYZ.$

SSS triangles congruents, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Ainsi, si nous pouvons remplacer les trois côtés d'un triangle par tous les côtés d'un autre triangle, alors les deux triangles sont congruents selon le critère SSS. Dans cette situation, les deux triangles sont représentés par un symbole de congruence.

Tel qu'il est donné, nous savons que les trois côtés des deux triangles $△ABC$ et $△XYZ$ sont de la même taille et de la même longueur l'un par rapport à l'autre. Nous pouvons donc superposer les côtés XY sur AB, YZ sur BC et XZ sur AC en superposant les deux triangles. Cela donne donc $AB=XY,BC=YZ,AC=XZ.$ Donc $△ABC\cong △XYZ.$

Exemples de triangles de congruence SSS

Nous allons voir ici quelques exemples de congruence SSS pour mieux comprendre.

Théorème de similitude SSS

Dans les triangles, si les angles correspondants sont congruents et les côtés correspondants sont proportionnels, alors les deux triangles sont similaires. Mais pour vérifier cela, nous n'avons pas nécessairement besoin de considérer tous les côtés et tous les angles. Nous pouvons simplement utiliser le théorème de similitude SSS et la connaissance des côtés proportionnels pour prouver que les triangles sont semblables.

Preuve : On nous donne que les côtés correspondants de deux triangles sont proportionnels.

C'est-à-dire , $\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NO}=\frac{AC}{MO}\left(1\right)$

Prouver : $△ABC~△MNO$

Triangles avec ligne parallèle construite, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Tout d'abord, nous considérons deux points P et Q sur les lignes MN et MO respectivement tels que $MP=AB$ et $MQ=AC$. Nous joignons maintenant ces points et formons une ligne PQ telle que PQ est parallèle à NO.

Ensuite, nous remplaçons AB et AC par MP et MQ respectivement dans l'équation 1.

$\Rightarrow \frac{MP}{MN}=\frac{MQ}{MO}$

Maintenant, comme $PQ\parallel NO,\angle MPQ=\angle N$ et $\angle MQP=\angle O$ sont respectivement les angles correspondants. Par conséquent, en appliquant AA - Similitude, nous obtenons $△MPQ~△MNO.$

D'après la définition des triangles semblables sur $△MPQ$ et $△MNO,$ nous obtenons que

$\frac{MP}{MN}=\frac{MQ}{MO}=\frac{PQ}{NO}\left(2\right)$

En remplaçant à nouveau id="5311200" role="math" $MP=AB$ et id="5311199" role="math" $MQ=AC$ dans l'équation 1, nous obtenons

$\frac{MP}{MN}=\frac{BC}{NO}=\frac{MQ}{MO}\left(3\right)$

Donc en comparant l'équation 2 et l'équation 3. $\frac{PQ}{NO}=\frac{BC}{NO}\Rightarrow PQ=BC.$

Finalement, nous savons que id="5311201" role="math" $AB=MP,BC=PQ,AC=MQ$. Donc par le théorème de congruence SSS, on obtient id="5311202" role="math". $△ABC\cong △MPQ.$Et nous avons aussi que id="5311203" role="math" $△MPQ~△MNO.$ Par conséquent, à partir de ces deux similitudes, nous obtenons id="5311204" role="math" $△ABC~△MNO.$

Exemples de théorèmes de similarité SSS

Jetons un coup d'œil aux exemples de théorèmes de similarité SSS.