What is Investigating Théorème SAS?

En général, dans l'étude des triangles, nous avons besoin d'informations sur tous ses côtés et ses angles pour trouver la congruence entre deux triangles. Mais est-il possible d'obtenir la congruence et la relation de similitude de deux triangles sans tous les côtés et les angles ? Le théorème SAS peut être très utile dans ce type de scénario. Le théorème SAS peut également être utile pour calculer l'aire des triangles.

Dans cette section, nous allons comprendre le théorème de SAS et ses énoncés importants. Nous verrons également comment trouver l'aire d'un triangle donné à l'aide du théorème de SAS.

Théorème de congruence de SAS

Le théorème de congruence de SAS donne la relation de congruence entre deux triangles. Lorsque tous les angles correspondants sont congruents entre eux et que tous les côtés correspondants sont congruents dans deux triangles, on dit que ces triangles sont congruents. Mais avec le théorème de congruence SAS, nous ne considérons que deux côtés et un angle pour établir la congruence entre les triangles.

Comme son nom l'indique, SAS est l'abréviation de Side-Angle-Side (côté-angle-côté). Lorsque l'on utilise le théorème de congruence SAS, on considère deux côtés adjacents correspondants et l'angle compris entre ces deux côtés.

Les mathématiques sont représentées par la formule suivante : si $AB=XY,\angle A=\angle X,AC=XZ,$ alors $△ABC\cong △XYZ.$

Triangles congruents SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Si le théorème de congruence SAS est satisfait pour deux triangles quelconques, alors nous pouvons directement dire que tous les côtés et les angles d'un triangle seront respectivement égaux à ceux de l'autre triangle.

Théorème de similitude de SAS

Nous pouvons conclure que deux triangles sont similaires à l'aide du théorème de similitude de SAS. Habituellement, nous avons besoin d'informations sur tous les côtés et les angles des deux triangles pour prouver qu'ils sont semblables. Mais avec l'aide du théorème de similitude de SAS, nous ne prenons en compte que deux côtés et un angle correspondants de ces triangles.

Comme les triangles SAS ont deux côtés, nous pouvons prendre la proportion de ces côtés pour montrer la similitude entre les deux triangles.

Mathématiquement, nous disons que, si $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$ et $\angle B=\angle E,$ alors $△ABC~△DEF.$

Théorème de similitude SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Preuve du théorème SAS

Voyons la preuve du théorème de SAS pour la congruence et la similitude.

Preuve du théorème de congruence du SAS

Réalisons une activité pour prouver le théorème de congruence de SAS. D'après l'énoncé du théorème de congruence de SAS, on sait que $AB=XY,AC=XZ,$ et $\angle A=\angle X.$

Théorème de congruence de SAS, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Pour prouver : $△ABC\cong △XYZ$

On prend un triangle $△XYZ$ et on le place au-dessus de l'autre triangle $△ABC.$ On voit maintenant que le B coïncide avec le Y en tant que $AB=XY.$ Comme $\angle A=\angle X$ et lorsque les deux triangles sont placés l'un au-dessus de l'autre, AC et XZ tomberont l'un à côté de l'autre. Comme $AC=XZ,$ le point C coïncide avec Z. De même, BC et YZ coïncideront l'un avec l'autre.

Il est donc évident que les deux triangles $△ABC$ et $△XYZ$ coïncident l'un avec l'autre. D'où $△ABC\cong △XYZ$.

Preuve du théorème de similitude de l'ASA

L'énoncé du théorème de similitude indique que $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$ et $\angle B=\angle E.$

Pour prouver : $△ABC~△DEF$

SAS triangle de similitude avec la ligne construite PQ, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Considère un point P sur DE à une distance telle que $AB=EP.$ Joignez ensuite un segment de droite de P à EF au point Q de telle sorte que $PQ\parallel DF.$ Comme $PQ\parallel DF,$ nous obtenons que $△PEQ~△DEF.$

Alors par le théorème de proportionnalité de base,

$\frac{EP}{DE}=\frac{EQ}{EF}\left(1\right)$

On nous a déjà donné cela,

$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}\left(2\right)$

Comme $AB=EP$ et de l'équation (1) et de l'équation (2),

$$\begin{gathered} \frac{EP}{DE}=\frac{AB}{DE}=\frac{EQ}{EF}=\frac{BC}{EF} \\ \Rightarrow EQ=BC \end{gathered}$$

Et nous avons aussi que $\angle B=\angle E.$

Donc, en utilisant le théorème de congruence de SAS à partir des informations ci-dessus, nous obtenons que $△ABC\cong △PEQ.$

$\Rightarrow △ABC~△PEQ$

Nous avons déjà que $△PEQ~△DEF.$ Donc, à partir des deux similitudes obtenues, nous obtenons que $△ABC~△DEF.$

Formule du théorème SAS

Le théorème SAS n'est pas seulement utilisé pour montrer la congruence et la similitude entre deux triangles, mais nous en tirons également la formule du théorème SAS. Cette formule SAS peut être très utile en trigonométrie pour calculer l'aire d'un triangle. Cette formule utilise les règles de trigonométrie pour trouver l'aire du triangle.

La formule du théorème de SAS pour le triangle s'exprime comme suit :

Dérivons la formule du théorème SAS. Dans le SAS $△ABC$ construis une perpendiculaire du point A à la ligne BC en D. Maintenant que $△ABD$ forme un triangle droit, nous pouvons utiliser les rapports trigonométriques avec $\angle B$ comme angle.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \sin x=\frac{AD}{AB} \\ \Rightarrow p=a\times \sin x\left(1\right) \end{gathered}$$

De plus, nous savons que la formule générale pour calculer un triangle quelconque est la suivante

Aire $=\frac{1}{2}\times base\times height$

Maintenant, dans la formule $△ABC,$ b est la base et p est la hauteur. En substituant cette valeur à la formule de l'aire, nous obtenons,

Surface $=\frac{1}{2}\times b\times p\left(2\right)$

D'après l'équation (1), nous connaissons la valeur de p, alors nous la remplaçons dans l'équation (2) de la surface obtenue ci-dessus.

Surface $=\frac{1}{2}\times b\times a\times \sin x$

La formule de l'aire du triangle à l'aide du théorème SAS est donc la suivante $\mathit{A}\mathit{r}\mathit{e}\mathit{a}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\times }\mathit{a}\mathbf{\times }\mathit{b}\mathbf{\times }\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{}\mathit{x}.$

Exemples de théorèmes SAS

Voici quelques exemples du théorème de SAS pour mieux comprendre le concept.