Théorèmes du cercle

Preuve du théorème 1 : L'angle dans un demi-cercle est de 90°.

Traçons une ligne depuis l'angle opposé à l'hypoténuse jusqu'au centre. Cela signifie que nous avons divisé le triangle en deux autres triangles, chacun isocèle, avec deux côtés de longueur r (nous utilisons r pour désigner la longueur du rayon). Cela signifie que chaque triangle a deux angles identiques. Nous pouvons dessiner cela ci-dessous :

Preuve du théorème des cercles 1, Ben Cairns, StudySmarter

En observant le plus grand triangle, nous savons que 2x + 2y = 180° car la somme des angles doit être égale à 180°. Comme 2x + 2y = 180°, il s'ensuit - en divisant par deux - que x + y = 90°. L'angle à la circonférence est donné par x + y, et donc, l'angle est droit. QED

Théorème 2 : L'angle au centre est le double de l'angle à la circonférence

Ici, l'angle sous-tendu par un arc au centre est le double de l'angle sous-tendu à la circonférence. Ceci est illustré ci-dessous. Ce qu'il est important de noter, c'est que l'emplacement du point sur l'arc n'a pas d'importance, tant qu'il se trouve entre les deux angles non marqués. Si c'est le cas, le théorème reste valable.

L'angle au centre est le double de l'angle à la circonférence, Ben Cairns-StudySmarter.

Preuve du théorème 2 : l'angle au centre est le double de l'angle à la circonférence.

Construisons la même forme, mais construisons aussi une ligne allant du point "x" au centre. Cela nous donne deux triangles isocèles avec deux côtés de longueur r, et deux côtés de même longueur. Nous aurons également deux angles identiques dans chaque triangle isocèle. Nous allons étiqueter chaque angle, comme indiqué ci-dessous.

Preuve du théorème des cercles 2, Ben Cairns-StudySmarter

Pour prouver le théorème, nous devons montrer que 2 (a + b) = c.

En utilisant les faits qu'il y a 180 ° dans un triangle et 360 ° autour d'un point, nous pouvons former trois équations : 2a + z = 180, 2b + t = 180 et z + t + c = 360 °.

Nous pouvons réarranger la première équation en z = 180-2a, et réarranger la deuxième équation en t = 180 ° -2b.

Nous pouvons maintenant substituer ces équations dans la troisième équation, pour obtenir 180 ° -2a + 180 ° -2b + c = 360 °.

Cela se simplifie en c-2a-2b = 0, ce qui peut être encore simplifié en 2 (a + b) = c. QED

Théorème 3 : Les angles issus d'une même corde sur un même segment sont égaux.

Si nous avons deux triangles à l'intérieur d'un cercle dont les trois coins touchent le cercle, et que les triangles partagent un côté (également appelé corde commune), alors le troisième angle est le même dans les deux triangles, à condition que ces troisièmes angles soient dans le même segment. Ceci est illustré ci-dessous.

Théorème des cercles 3, Ben Cairns, StudySmarter

Preuve du théorème 3 : les angles issus d'une même corde dans un même segment sont égaux.

Commençons d'abord par dessiner un autre triangle partageant la corde commune, cependant, cette fois-ci, nous relierons la ligne au centre. Il s'agit de la même forme que celle vue dans le théorème 2, ce qui signifie que nous pouvons invoquer ce théorème et appeler l'angle 2x. C'est ce qui est illustré ci-dessous.

Preuve du théorème des cercles 3, Ben Cairns, StudySmarter

Comme nous avons utilisé le théorème 2, l'endroit où nous plaçons l'angle x sur l'arc n'a pas d'importance, ce qui signifie que le théorème est maintenant prouvé. QED

Théorème 4 : La somme des angles opposés dans un quadrilatère cyclique est égale à 180°.

Par quadrilatère cyclique, nous entendons une forme à quatre côtés dont tous les coins touchent un cercle. Dans ce cas, la somme des angles opposés dans le quadrilatère est égale à 180°.

Théorème des cercles 4, Ben Cairns, StudySmarter

Dans ce cas, nous aurions a + c = 180°, ainsi que b + d = 180°.

Preuve du théorème 4 : La somme des angles opposés dans un quadrilatère cyclique est égale à 180°.

Traçons une ligne à partir de chaque angle jusqu'au centre. Comme cette ligne va du cercle au centre, cela signifie qu'il s'agit d'un rayon, ce qui veut dire que nous avons créé quatre triangles isocèles qui ont des paires d'angles correspondants. C'est ce que montre l'illustration ci-dessous.

Théorème des cercles 4, Ben Cairns, StudySmarter

Pour montrer que la somme des angles opposés est égale à 180 °, il faut montrer que x + y + z + t = 180 °.

La somme des angles d'un quadrilatère est de 360°.

Cela signifie que z + y + z + t + t + x + x + y = 360 °.

On peut simplifier en disant que 2 (x + y + z + t) = 360 °, donc x + y + z + t = 180 °. QED

Théorème 5 : Théorème du segment alternatif

Supposons que nous ayons tracé une tangente à un cercle. Au point où la tangente touche le cercle, il y a un coin de triangle. Les deux autres coins du triangle se trouvent également sur le cercle. Dans ce cas, l'angle entre la tangente et le triangle est égal à l'angle adjacent dans le triangle. Ceci est illustré ci-dessous.

Théorème des cercles 5, Ben Cairns, StudySmarter

Preuve du théorème du segment alternatif

Pour le prouver, tu n'as besoin de le démontrer que d'un seul côté, car le triangle que nous choisissons n'a pas d'importance. Construis un triangle comme ci-dessus, puis relie chaque coin au centre. Une fois de plus, nous avons créé trois triangles isocèles - tous avec une paire d'angles correspondants. Nous appellerons l'angle entre la tangente et le triangle a. Tout cela est illustré ci-dessous.

Preuve du théorème des cercles 5, Ben Cairns, StudySmarter

Notre but est de montrer que a = z + y.

Comme le rayon est perpendiculaire à la tangente au point où la tangente touche le cercle (par définition), nous savons que a + x = 90 °.

Comme la somme des angles d'un triangle est égale à 180 °, nous savons que 2x + 2y + 2z = 180 °, donc x + y + z = 90 °.

Nous pouvons réécrire notre première équation sous la forme x = 90° - a, puis la substituer à la deuxième équation pour obtenir 90 ° -a + y + z = 90 °, que nous pouvons réarranger sous la forme a = z + y

C'est ce que nous voulions faire. QED

Théorème 6 : Les tangentes d'un point à un cercle sont de même longueur

Supposons que nous tracions un cercle et que nous choisissions n'importe quel point dans le même plan que le cercle, à condition que le point soit à l'extérieur du cercle. Nous pouvons alors tracer deux lignes tangentes du point au cercle. De plus, la distance entre le point et le cercle sera la même dans les deux cas.

Théorème des cercles 6, Ben Cairns-StudySmarter

Dans ce cas, la distance AP est la même que la distance AQ.

Preuve du théorème 6 : Les tangentes d'un point à un cercle sont de même longueur.

Traçons des lignes depuis le point tangent jusqu'au centre, en rappelant que le rayon en un point tangent est perpendiculaire à la tangente, ce qui nous donne alors :

Preuve du théorème des cercles 6, Ben Cairns, StudySmarter

Nous pouvons maintenant utiliser le théorème de Pythagore puisque nous avons des triangles rectangles.

Cela nous donne \N((AO)^2 = r^2 + (AP)^2\) et \N((AO)^2 = r^2 + (AQ)^2\).

En égalant les deux expressions pour \((AO)^2\), nous obtenons :

\N((AP)^2 = (AQ)^2\N)

\N- (AP = AQ)

La longueur étant toujours positive, les solutions négatives sont ignorées.

Théorème 7 : Un rayon perpendiculaire à une corde passe par la bissectrice de cette corde.

Supposons que nous ayons une corde quelconque dans un cercle, que nous tracions une ligne du rayon à la limite du cercle, et que cette ligne soit perpendiculaire à la corde. Dans ce cas, le rayon coupe la corde en deux.

Théorème du cercle 7, Ben Cairns, StudySmarter

Preuve du théorème 7 : un rayon qui est perpendiculaire par une corde bissectrice de la corde.

Traçons une ligne de O à M et aussi de O à N.

Preuve du théorème des cercles 7, Ben Cairns, StudySmarter

Comme nous avons des triangles rectangles, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore.

Nous obtenons \((OM)^2 = (OA)^2 + (AM)^2\) et \((ON)^2 = (OA)^2 + (AN)^2\). Comme ON = r = OM, nous pouvons les mettre tous les deux égaux l'un à l'autre, pour obtenir \((OA)^2 + (AN)^2 = (OA)^2 + (AM)^2\), d'où \((AN)^2 = (AM)^2\) et il s'ensuit que AN = AM.

Comme la longueur est positive, alors AM = AN. QED

Exemples d'utilisation des théorèmes du cercle

Exemple d'utilisation des théorèmes du cercle - 1

Exemple d'utilisation des théorèmes du cercle - 2