Variation inverse et conjointe

Imagine que ta taille soit déterminée par la quantité de nourriture que tu consommes quotidiennement. Cela signifie que tu peux projeter une taille que tu souhaiterais atteindre en consommant une certaine quantité de nourriture. Ci-après, tu apprendras comment cela se produit et se calcule grâce au concept de variation.

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Last Updated: 01.01.1970
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Qu'est-ce que la variation ?

En mathématiques, la variation nous indique la relation entre les variables ou les quantités. Cette relation peut être directe, inverse, conjointe ou partielle.

Variation directe

Cela se produit lorsque la relation entre deux variables est affectée de la même manière. Cela signifie qu'une augmentation d'une variable entraîne une augmentation de l'autre variable. De même, une diminution d'une variable entraînerait une diminution de l'autre. Le rapport entre ces variables est souvent défini par une constante k.

Lorsqu'une personne dit que p varie directement comme q, cela s'exprime par :

$p α q p = k q$

Rappelle que k est la constante du rapport aussi appelée constante de proportionnalité.

Sachant que pour toutes les valeurs possibles de p et q, k ne change jamais (car elle est constante) alors :

$p_{1} = k q_{1} p_{2} = k q_{2} k = \frac{p_{1}}{q_{1}} k = \frac{p_{2}}{q_{2}} k = \frac{p_{1}}{q_{1}} = \frac{p_{2}}{q_{2}} \frac{p_{1}}{q_{1}} = \frac{p_{2}}{q_{2}} p_{1} q_{2} = p_{2} q_{1}$

Il existe d'autres façons d'exprimer une variation directe comme ;

"p varie proportionnellement à q" ou "p varie dans la même proportion que q".

Sachant que y varie directement comme z, et que lorsque y est 8, z est 4, trouve y lorsque z est 14.

Solution :

$y α z y = k z y = 8 z = 4$

Pour trouver k, substitue les valeurs de y et de z dans l'équation.

$8 = k \times 4$

Fais de k le sujet de la formule en divisant les deux côtés de l'équation par 4.

$\frac{8}{4} = \frac{k \times 4}{4} k = 2$

Maintenant que k a été résolu et qu'il est égal à 2, nous pouvons appliquer sa valeur dans le deuxième cas. Ainsi

$y = ? z = 14 y = k z$

Substitue les valeurs connues ;

$y = 2 \times 14 y = 28$

Le rayon d'un biscuit circulaire varie directement comme la racine carrée de la longueur d'une montre. Lorsque le périmètre du biscuit est de 44 cm, la montre a une longueur de 49 cm. Quelle est la circonférence du biscuit lorsque la longueur de la montre est de 121 cm ?

Solution :

Soit le rayon du biscuit circulaire r

Soit la longueur de la montre l

D'après la question, notre relation est la suivante

$r α \sqrt{l} r = k \sqrt{l}$

Fais de k le sujet de la formule

$k = \frac{r}{\sqrt{l}} k = \frac{r_{1}}{\sqrt{l_{1}}} = \frac{r_{2}}{\sqrt{l_{2}}}$

Nous devons énoncer nos variables :

_r1 - note que le périmètre du biscuit est donné. Nous pouvons calculer le rayon.

Ainsi

$Perimeter = circumference of circle = 2 π r = 44 c m 2 \times \frac{22}{7} \times r_{1} = 44 c m \frac{44 r_{1}}{7} = 44 c m$

Multiplie les deux côtés de l'équation par 7

$44 r_{1} = 44 c m \times 7$

Divise les deux côtés de l'équation par 44

$r_{1} = 7 c m r_{2} = ? l_{1} = 49 c m l_{2} = 121 c m$

Rappelle-toi que

$\frac{r_{1}}{\sqrt{l_{1}}} = \frac{r_{2}}{\sqrt{l_{2}}}$

Substitue les valeurs de nos variables dans l'équation.

$\frac{7}{\sqrt{49}} = \frac{r_{2}}{\sqrt{121}} \frac{7}{7} = \frac{r_{2}}{11} 1 = \frac{r_{2}}{11}$

Multiplie les deux côtés de l'équation par 11

$r_{2} = 11$

Maintenant, nous avons le rayon et nous pouvons calculer la circonférence (le périmètre) du biscuit. Ainsi

$Perimeter = circumference = 2 π r Perimeter of cookie = 2 \times \frac{22}{7} \times 11 Perimeter of cookie = \frac{484}{7} = 69 \frac{1}{7} Perimeter of cookie = 69 \frac{1}{7} c m$

Variation conjointe

Cela se produit lorsqu'une variable est liée au produit de deux variables ou plus de la même manière. En d'autres termes, cela se produit lorsqu'une quantité varie directement comme le produit de deux quantités ou plus. La constante de variation étant k, si b varie conjointement comme c et d alors :

$b α c d b = k c d k = \frac{b}{c d} k = \frac{b_{1}}{c_{1} d_{1}} = \frac{b_{2}}{c_{2} d_{2}}$

t varie conjointement comme g et v. Lorsque t vaut 16, g vaut 2 et v vaut 5. Trouve t lorsque g vaut 3 et v vaut 8.

Solution :

$t α g v t = k g v$

Fais de k le sujet de la formule

$k = \frac{t}{g v} t = 16 g = 2 v = 5 k = \frac{16}{2 \times 5} k = 1.6$

Alors

$g = 3 v = 8 t = ? t = k g v t = 1.6 \times 3 \times 8 t = 38.4$

x varie conjointement comme y et le carré de z. Quand x est 15, y est 6 et z est 2. Trouve le z quand x est 18 et y est 9.

Solution :

$x α y z^{2} x = k y z^{2}$

Fais de k le sujet de la formule.

$k = \frac{x}{y z^{2}} k = \frac{x_{1}}{y_{1} {z_{1}}^{2}} = \frac{x_{2}}{y_{2} {z_{2}}^{2}} x_{1} = 15 x_{2} = 18 y_{1} = 6 y_{2} = 9 z_{1} = 2 z_{2} = ? \frac{x_{1}}{y_{1} {z_{1}}^{2}} = \frac{x_{2}}{y_{2} {z_{2}}^{2}}$

Substitue les valeurs des variables dans l'équation.

$\frac{15}{6 \times 2^{2}} = \frac{18}{9 \times z^{2}} \frac{15}{6 \times 4} = \frac{18}{9 \times z^{2}} \frac{15}{24} = \frac{18}{9 z^{2}}$

Simplifie les deux côtés de l'équation

$\frac{5}{8} = \frac{2}{z^{2}}$

Multiplication croisée

$5 \times z^{2} = 2 \times 8 5 z^{2} = 16$

Divise les deux côtés par 5

$z^{2} = \frac{16}{5} \sqrt{z^{2}} = \sqrt{\frac{16}{5}} z = \frac{4}{\sqrt{5}}$

Rationalise en multipliant le dénominateur et le numérateur par $\sqrt{5}$

$z = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$

$≅ 1.79$

Variation inverse

La variation inverse est une relation entre deux variables dont les changements évoluent dans une direction opposée. Cela signifie que lorsqu'une variable augmente, l'autre variable diminue et vice versa.

Lorsque b varie inversement à a

$b α \frac{1}{a} b = k \times \frac{1}{a} b = \frac{k}{a} k = b a k = b_{1} a_{1} = b_{2} a_{2} b_{1} a_{1} = b_{2} a_{2}$

Si w est inversement proportionnel à u et w = 6 quand u = 2. Trouve w lorsque u = 6.

Solution :

$w α \frac{1}{u} w = \frac{k}{u} k = w u w = 6 u = 2 k = 6 \times 2 k = 12$

Alors

$u = 6 k = 12 w = \frac{k}{u} w = \frac{12}{6} w = 2$

La vitesse d'un train varie inversement au temps qu'il met. Lorsqu'il se déplace à 100 m/s, il lui faut 10 secondes pour parcourir une certaine distance, combien de temps le train mettrait-il pour parcourir la même distance s'il se déplace à 150 m/s ?

Solution :

Soit S qui représente la vitesse du train et t qui représente le temps passé par le train.

$S α \frac{1}{t} S = \frac{k}{t} k = S t k = S_{1} t_{1} = S_{2} t_{2} S_{1} t_{1} = S_{2} t_{2} S_{1} = 100 S_{2} = 150 t_{1} = 10 t_{2} = ?$

Substitue les valeurs dans l'équation

$S_{1} t_{1} = S_{2} t_{2} 100 \times 10 = 150 \times t_{2} 1000 = 150 t_{2}$

Divise les deux côtés par 150

$Divide both sides by 150 t_{2} = \frac{1000}{150} t_{2} = 6.67 seconds$

Quelle est la différence entre la variation inverse et la variation conjointe ?

Il existe plusieurs différences entre la variation conjointe et la variation inverse.

1. La variation inverse montre les relations entre deux variables alors que la variation conjointe montre la relation entre plus de deux variables.

2. Dans la variation inverse, une augmentation d'une variable entraînerait une diminution de l'autre variable. Cependant, dans la variation conjointe, une augmentation de la première variable entraînera une augmentation du produit des variables restantes.

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Variation combinée

On parle de variation combinée lorsqu'une variable varie directement en fonction d'une ou plusieurs variables et qu'elle est inversement liée aux autres.

Cela signifie que lorsque cette variable augmente, une autre variable augmente et en même temps d'autres diminuent. Par exemple, la vitesse varie directement avec la distance mais inversement avec le temps. Cela signifie qu'avec une augmentation de la vitesse, une plus grande distance est parcourue mais le temps est réduit pour atteindre cette distance. Ainsi

$s α \frac{d}{t}$

Une quantité p varie directement comme q et inversement comme r. Lorsque p est 10, q est 5 et r est 3. Trouve r lorsque p est 3 et q est 4.

Solution :

Ecris la relation

$p α \frac{q}{r} p = k (\frac{q}{r}) p = 10 q = 5 r = 3 10 = k (\frac{5}{3})$

Multiplication croisée

$30 = 5 k \frac{30}{5} = \frac{5 k}{5} k = 6$

Lorsque p est 3 et q est 4

$p = k (\frac{q}{r}) 3 = 6 (\frac{4}{r}) 3 = \frac{24}{r}$

Multiplication croisée

$3 r = 24 \frac{3 r}{3} = \frac{24}{3} r = 8$

Ireti, Kohe et Finicky gèrent une entreprise familiale sur la base d'une relation combinée en ce qui concerne la proportion de leurs gains individuels. La contribution d'Ireti est directement proportionnelle à celle de Kohe mais inversement à celle de Finicky ; lorsque Ireti contribue à hauteur de 20 %, Kohe contribue à hauteur de 16 % tandis que Finicky contribue à hauteur de 8 %. Quel pourcentage du revenu de Finicky serait cotisé si Ireti et Kohe contribuent respectivement à hauteur de 10 % et 12 % de leurs gains ?

Solution :

Représentons I pour Ireti, H pour Kohe et F pour Finicky. Alors

$I α \frac{H}{F} I = k (\frac{H}{F}) I = 20 H = 16 F = 8 20 = k (\frac{16}{8})$

Multiplie par la croix

$160 = 16 k \frac{16 k}{16} = \frac{160}{16} k = 10$

Par conséquent, lorsque I est 10, H est 12, F serait

$10 = 10 (\frac{12}{F})$

Multiplication croisée

$10 F = 120 \frac{10 F}{10} = \frac{120}{10} F = 12$

Ainsi, lorsque Ireti et Kohe contribuent respectivement à hauteur de 10 % et 12 % de leurs revenus, Finicky contribuerait à hauteur de 12 % de ses revenus.

Exemples réels de variations inverses et conjointes

Le concept de variation est en effet beaucoup plus compréhensible lorsqu'il est lié à nos activités quotidiennes.

Le poids du sac de Tom varie inversement à la distance qu'il parcourt par seconde. Lorsque son sac pèse 100 N, il parcourt une distance de 4 m par seconde. Quelle distance parcourra-t-il par seconde s'il devait porter un bagage de 250 N.

Solution :

Soit w représentant le poids et d la distance parcourue chaque seconde. D'après la question, la relation est la suivante

$w α \frac{1}{d}$

En substituant nos valeurs, nous obtenons

$w = \frac{k}{d} 100 = \frac{k}{4} \frac{100}{1} = \frac{k}{4} k = 4 \times 100 k = 400$

Maintenant que la constante k a été obtenue, nous pouvons la substituer à l'équation pour trouver d lorsque w est de 250 N et k de 400.

$w = \frac{k}{d} 250 = \frac{400}{d} \frac{250}{1} = \frac{400}{d} 250 d = 400 \frac{250 d}{250} = \frac{400}{250} d = 1.6 m$

Par conséquent, Tom parcourra 1,6 m par seconde avec son sac de 250 N.

Cela explique pourquoi tu peux marcher ou courir beaucoup plus vite lorsque tu ne portes rien que lorsque tu portes un sac ou une charge quelconque.

Variation inverse et variation conjointe - Principaux enseignements

La variation nous indique la relation entre les variables ou les quantités.
La variation directe se produit lorsque la relation entre deux variables est affectée de la même manière.
La variation conjointe se produit lorsqu'une variable est liée au produit de deux variables ou plus de la même manière.
La variation inverse est une relation entre deux variables dont les changements vont dans une direction opposée.
On parle de variation combinée lorsqu'une variable varie directement en fonction d'une ou plusieurs variables et qu'elle est inversement liée aux autres.

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Questions fréquemment posées en Variation inverse et conjointe

Qu'est-ce que la variation inverse ?

La variation inverse se produit quand le produit de deux variables est constant. Si x augmente, y diminue et vice versa.

Comment identifier une variation conjointe ?

La variation conjointe implique que deux variables varient proportionnellement par rapport à une troisième variable. Par exemple, si z = kxy, avec k constant.

Quelles sont les formules pour les variations inverse et conjointe ?

Pour la variation inverse : xy = k. Pour la variation conjointe : z = kxy, où k est une constante.

Comment résoudre les problèmes de variation inverse ?

Pour résoudre, trouvez la constante k par xy = k, puis utilisez-la pour trouver les valeurs inconnues en ajustant x ou y.

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