Variation inverse et conjointe

Sachant que y varie directement comme z, et que lorsque y est 8, z est 4, trouve y lorsque z est 14.

Solution :

$$\begin{gathered} y\alpha z \\ y=kz \\ y=8 \\ z=4 \end{gathered}$$

Pour trouver k, substitue les valeurs de y et de z dans l'équation.

$8=k\times 4$

Fais de k le sujet de la formule en divisant les deux côtés de l'équation par 4.

$$\begin{gathered} \frac{8}{4}=\frac{k\times 4}{4} \\ k=2 \end{gathered}$$

Maintenant que k a été résolu et qu'il est égal à 2, nous pouvons appliquer sa valeur dans le deuxième cas. Ainsi

$$\begin{gathered} y=? \\ z=14 \\ y=kz \end{gathered}$$

Substitue les valeurs connues ;

$$\begin{gathered} y=2\times 14 \\ y=28 \end{gathered}$$

Le rayon d'un biscuit circulaire varie directement comme la racine carrée de la longueur d'une montre. Lorsque le périmètre du biscuit est de 44 cm, la montre a une longueur de 49 cm. Quelle est la circonférence du biscuit lorsque la longueur de la montre est de 121 cm ?

Solution :

Soit le rayon du biscuit circulaire r

Soit la longueur de la montre l

D'après la question, notre relation est la suivante

$$\begin{gathered} r\alpha \sqrt{l} \\ r=k\sqrt{l} \end{gathered}$$

Fais de k le sujet de la formule

$$\begin{gathered} k=\frac{r}{\sqrt{l}} \\ k=\frac{r_1}{\sqrt{l_1}}=\frac{r_2}{\sqrt{l_2}} \end{gathered}$$

Nous devons énoncer nos variables :

_r1 - note que le périmètre du biscuit est donné. Nous pouvons calculer le rayon.

Ainsi

$$\begin{gathered} \mathrm{Perimeter}=\mathrm{circumference}\mathrm{of}\mathrm{circle}=2\pi r=44cm \\ 2\times \frac{22}{7}\times r_1=44cm \\ \frac{44r_1}{7}=44cm \end{gathered}$$

Multiplie les deux côtés de l'équation par 7

$44r_1=44cm\times 7$

Divise les deux côtés de l'équation par 44

$$\begin{gathered} r_1=7cm \\ {r}_2=? \\ {l}_1=49cm \\ {l}_2=121cm \end{gathered}$$

Rappelle-toi que

$\frac{r_1}{\sqrt{l_1}}=\frac{r_2}{\sqrt{l_2}}$

Substitue les valeurs de nos variables dans l'équation.

$$\begin{gathered} \frac{7}{\sqrt{49}}=\frac{r_2}{\sqrt{121}} \\ \frac{7}{7}=\frac{r_2}{11} \\ 1=\frac{r_2}{11} \end{gathered}$$

Multiplie les deux côtés de l'équation par 11

$r_2=11$

Maintenant, nous avons le rayon et nous pouvons calculer la circonférence (le périmètre) du biscuit. Ainsi

$$\begin{gathered} \mathrm{Perimeter}=\mathrm{circumference}=2\pi r \\ \mathrm{Perimeter}\mathrm{of}\mathrm{cookie}=2\times \frac{22}{7}\times 11 \\ \mathrm{Perimeter}\mathrm{of}\mathrm{cookie}=\frac{484}{7}=69\frac{1}{7} \\ \mathrm{Perimeter}\mathrm{of}\mathrm{cookie}=69\frac{1}{7}cm \end{gathered}$$

t varie conjointement comme g et v. Lorsque t vaut 16, g vaut 2 et v vaut 5. Trouve t lorsque g vaut 3 et v vaut 8.

Solution :

$$\begin{gathered} t\alpha gv \\ t=kgv \end{gathered}$$

Fais de k le sujet de la formule

$$\begin{gathered} k=\frac{t}{gv} \\ t=16 \\ g=2 \\ v=5 \\ k=\frac{16}{2\times 5} \\ k=1.6 \end{gathered}$$

Alors

$$\begin{gathered} g=3 \\ v=8 \\ t=? \\ t=kgv \\ t=1.6\times 3\times 8 \\ t=38.4 \end{gathered}$$

x varie conjointement comme y et le carré de z. Quand x est 15, y est 6 et z est 2. Trouve le z quand x est 18 et y est 9.

Solution :

$$\begin{gathered} x\alpha y{z}^2 \\ x=ky{z}^2 \end{gathered}$$

Fais de k le sujet de la formule.

$$\begin{gathered} k=\frac{x}{y{z}^2} \\ k=\frac{x_1}{y_1{z_1}^2}=\frac{x_2}{y_2{z_2}^2} \\ {x}_1=15 \\ {x}_2=18 \\ {y}_1=6 \\ {y}_2=9 \\ {z}_1=2 \\ {z}_2=? \\ \frac{x_1}{y_1{z_1}^2}=\frac{x_2}{y_2{z_2}^2} \end{gathered}$$

Substitue les valeurs des variables dans l'équation.

$$\begin{gathered} \frac{15}{6\times 2^2}=\frac{18}{9\times z^2} \\ \frac{15}{6\times 4}=\frac{18}{9\times z^2} \\ \frac{15}{24}=\frac{18}{9z^2} \end{gathered}$$

Simplifie les deux côtés de l'équation

$\frac{5}{8}=\frac{2}{z^2}$

Multiplication croisée

$$\begin{gathered} 5\times z^2=2\times 8 \\ 5z^2=16 \end{gathered}$$

Divise les deux côtés par 5

$$\begin{gathered} z^2=\frac{16}{5} \\ \sqrt{z^2}=\sqrt{\frac{16}{5}} \\ z=\frac{4}{\sqrt{5}} \end{gathered}$$

Rationalise en multipliant le dénominateur et le numérateur par $\sqrt{5}$

$z=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

ou

$\cong 1.79$

Si w est inversement proportionnel à u et w = 6 quand u = 2. Trouve w lorsque u = 6.

Solution :

$$\begin{gathered} w\alpha \frac{1}{u} \\ w=\frac{k}{u} \\ k=wu \\ w=6 \\ u=2 \\ k=6\times 2 \\ k=12 \end{gathered}$$

Alors

$$\begin{gathered} u=6 \\ k=12 \\ w=\frac{k}{u} \\ w=\frac{12}{6} \\ w=2 \end{gathered}$$

La vitesse d'un train varie inversement au temps qu'il met. Lorsqu'il se déplace à 100 m/s, il lui faut 10 secondes pour parcourir une certaine distance, combien de temps le train mettrait-il pour parcourir la même distance s'il se déplace à 150 m/s ?

Solution :

Soit S qui représente la vitesse du train et t qui représente le temps passé par le train.

$$\begin{gathered} S\alpha \frac{1}{t} \\ S=\frac{k}{t} \\ k=St \\ k=S_1{t}_1=S_2{t}_2 \\ {S}_1{t}_1=S_2{t}_2 \\ {S}_1=100 \\ {S}_2=150 \\ {t}_1=10 \\ {t}_2=? \end{gathered}$$

Substitue les valeurs dans l'équation

$$\begin{gathered} S_1{t}_1=S_2{t}_2 \\ 100\times 10=150\times t_2 \\ 1000=150t_2 \end{gathered}$$

Divise les deux côtés par 150

$$\begin{gathered} \mathrm{Divide}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{by}150 \\ {t}_2=\frac{1000}{150} \\ {t}_2=6.67\mathrm{seconds} \end{gathered}$$

Une quantité p varie directement comme q et inversement comme r. Lorsque p est 10, q est 5 et r est 3. Trouve r lorsque p est 3 et q est 4.

Solution :

Ecris la relation

$$\begin{gathered} p\alpha \frac{q}{r} \\ p=k\left(\frac{q}{r}\right) \\ p=10 \\ q=5 \\ r=3 \\ 10=k\left(\frac{5}{3}\right) \end{gathered}$$

Multiplication croisée

$$\begin{gathered} 30=5k \\ \frac{30}{5}=\frac{5k}{5} \\ k=6 \end{gathered}$$

Lorsque p est 3 et q est 4

$$\begin{gathered} p=k\left(\frac{q}{r}\right) \\ 3=6\left(\frac{4}{r}\right) \\ 3=\frac{24}{r} \end{gathered}$$

Multiplication croisée

$$\begin{gathered} 3r=24 \\ \frac{3r}{3}=\frac{24}{3} \\ r=8 \end{gathered}$$

Ireti, Kohe et Finicky gèrent une entreprise familiale sur la base d'une relation combinée en ce qui concerne la proportion de leurs gains individuels. La contribution d'Ireti est directement proportionnelle à celle de Kohe mais inversement à celle de Finicky ; lorsque Ireti contribue à hauteur de 20 %, Kohe contribue à hauteur de 16 % tandis que Finicky contribue à hauteur de 8 %. Quel pourcentage du revenu de Finicky serait cotisé si Ireti et Kohe contribuent respectivement à hauteur de 10 % et 12 % de leurs gains ?

Solution :

Représentons I pour Ireti, H pour Kohe et F pour Finicky. Alors

$$\begin{gathered} I\alpha \frac{H}{F} \\ I=k\left(\frac{H}{F}\right) \\ I=20 \\ H=16 \\ F=8 \\ 20=k\left(\frac{16}{8}\right) \end{gathered}$$

Multiplie par la croix

$$\begin{gathered} 160=16k \\ \frac{16k}{16}=\frac{160}{16} \\ k=10 \end{gathered}$$

Par conséquent, lorsque I est 10, H est 12, F serait

$10=10\left(\frac{12}{F}\right)$

Multiplication croisée

$$\begin{gathered} 10F=120 \\ \frac{10F}{10}=\frac{120}{10} \\ F=12 \end{gathered}$$

Ainsi, lorsque Ireti et Kohe contribuent respectivement à hauteur de 10 % et 12 % de leurs revenus, Finicky contribuerait à hauteur de 12 % de ses revenus.

Le poids du sac de Tom varie inversement à la distance qu'il parcourt par seconde. Lorsque son sac pèse 100 N, il parcourt une distance de 4 m par seconde. Quelle distance parcourra-t-il par seconde s'il devait porter un bagage de 250 N.

Solution :

Soit w représentant le poids et d la distance parcourue chaque seconde. D'après la question, la relation est la suivante

$w\alpha \frac{1}{d}$

En substituant nos valeurs, nous obtenons

$$\begin{gathered} w=\frac{k}{d} \\ 100=\frac{k}{4} \\ \xcancel{\frac{100}{1}=\frac{k}{4}} \\ k=4\times 100 \\ k=400 \end{gathered}$$

Maintenant que la constante k a été obtenue, nous pouvons la substituer à l'équation pour trouver d lorsque w est de 250 N et k de 400.

$$\begin{gathered} w=\frac{k}{d} \\ 250=\frac{400}{d} \\ \xcancel{\frac{250}{1}=\frac{400}{d}} \\ 250d=400 \\ \frac{250d}{250}=\frac{400}{250} \\ d=1.6m \end{gathered}$$

Par conséquent, Tom parcourra 1,6 m par seconde avec son sac de 250 N.