Vérification des identités trigonométriques

Vérifie que${\cot }^2\mathrm{\theta }-{\cos }^2\mathrm{\theta }={\cot }^2\theta {\cos }^2\mathrm{\theta }$ est une identité cohérente.

Solution :

Étape 1 : En ajoutant ${\cos }^2\mathrm{\theta }$ aux deux côtés de l'équation, on obtient ,

$$\begin{gathered} {\cot }^2\mathrm{\theta }={\cos }^2\mathrm{\theta }+{\cos }^2\mathrm{\theta }{\cot }^2\mathrm{\theta } \\ ={\cos }^2\mathrm{\theta }(1+{\cot }^2\mathrm{\theta }) \end{gathered}$$

Étape 2 : On peut voir que $1+{\cot }^2\mathrm{\theta }$ est une identité fondamentale, qui est

Étape3 : En substituant cette identité, on obtient

${\cot }^2\mathrm{\theta }={\cos }^2\mathrm{\theta }{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{\theta }$

Étape 4 : Maintenant, nous allons utiliser une identité réciproque pour la cosécante,$\mathrm{cosec\theta }=\frac{1}{\mathrm{sin\theta }}$ et en élevant au carré les deux côtés, nous obtenons

Étape 5 : En substituant l'identité ci-dessus, nous obtenons

${\cot }^2\mathrm{\theta }=\frac{{\cos }^2\mathrm{\theta }}{{\sin }^2\mathrm{\theta }}$

Étape 6 : Nous savons déjà que $\mathrm{cot\theta }=\frac{\mathrm{cos\theta }}{\mathrm{sin\theta }}$et après l'avoir élevé au carré, on obtient l'étape précédente.

D'où , $LHS=RHS$. L'identité est donc vérifiée.

Vérifie l'identité $\frac{1+\mathrm{cot\varphi }}{\mathrm{cosec\varphi }}=\mathrm{sin\varphi }+\mathrm{cos\varphi }$ où $\mathrm{\varphi }$ est définie sur le domaine approprié.

Solution :

Le côté gauche de l'équation semble un peu compliqué par rapport au côté droit de l'équation. Il est toujours plus facile de simplifier le côté le plus compliqué de l'équation. Simplifions donc la LHS pour obtenir la RHS.

Étape 1 : En écrivant le dénominateur séparément, nous obtenons

LHS =$\frac{1}{\mathrm{cosec\varphi }}+\frac{\mathrm{cot\varphi }}{\mathrm{cosec\varphi }}$

Étape 2 : En utilisant l'identité réciproque,

$\mathrm{sin\varphi }=\frac{1}{\mathrm{cosec\varphi }}$

nous obtenons

LHS =$\mathrm{sin\varphi }+\frac{\mathrm{cot\varphi }}{\mathrm{cosec\varphi }}$

Étape 3 : En utilisant à nouveau la même identité, et $\cot \varphi =\frac{\mathrm{cos\varphi }}{\mathrm{sin\varphi }}$on obtient

LHS =$\mathrm{sin\varphi }+\mathrm{cos\varphi }$

Nous pouvons donc constater que $LHS=RHS$.

L'identité est donc prouvée.

Prouve que $\mathrm{sinx}=\frac{1}{\mathrm{cosecx}}$.

Solution :

Étape 1 : Trace le graphique de LHS, ici c'est sinx, et son graphique ressemble à :

Le graphique de y=sinx, StudySmarter Originals

Étape 2 : Trace le graphique de$y=\frac{1}{\cos ecx}$en fonction de x, qui ressemble à

Le graphiquede la réciproque de cosecx, StudySmarter Originals

On peut voir que les graphiques ci-dessus sont exactement les mêmes et nous en déduisons donc que $\sin x=\frac{1}{\cos ecx}$.

Prouve que ${\cos }^4\mathrm{\theta }-{\sin }^4\mathrm{\theta }=\cos 2\mathrm{\theta }$ est une identité trigonométrique valide.

Solution :

Étape 1 : Dans cet exemple particulier, le LHS semble plus compliqué. Nous allons donc essayer de simplifier la LHS pour arriver à la RHS.

Étape 2 : Le terme${\cos }^4\mathrm{\theta }-{\sin }^4\mathrm{\theta }$ peut également être écrit sous la forme ${\left({\cos }^2\mathrm{\theta }\right)}^2-{\left({\sin }^2\mathrm{\theta }\right)}^2$ et il peut maintenant être écrit comme le produit de deux termes en utilisant l'identité algébrique ${\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)$. Par conséquent, nous avons :

${\left({\cos }^2\mathrm{\theta }\right)}^2-{\left({\sin }^2\mathrm{\theta }\right)}^2=\left({\cos }^2\mathrm{\theta }+{\sin }^2\mathrm{\theta }\right)\left({\cos }^2\mathrm{\theta }-{\sin }^2\mathrm{\theta }\right)$

Étape 3 : Maintenant, nous pouvons appliquer l'identité pythagoricienne, ${\cos }^2\mathrm{\theta }+{\sin }^2\mathrm{\theta }=1$,

${\cos }^4\mathrm{\theta }-{\sin }^4\mathrm{\theta }={\cos }^2\mathrm{\theta }-{\sin }^2\mathrm{\theta }$

Étape 4 : En appliquant la formule du demi-angle $\cos 2\mathrm{\theta }={\cos }^2\mathrm{\theta }-{\sin }^2\mathrm{\theta }$nous obtenons

${\cos }^4\mathrm{\theta }-{\sin }^4\mathrm{\theta }=\cos 2\mathrm{\theta }$

ce qui correspond à ce qu'on nous demande de prouver.

Ainsi , $LHS=RHS$.

S'agit-il d'une $\left(1+\mathrm{sinx}\right)\left(1-\mathrm{sinx}\right)=\mathrm{cosx}$ une identité trigonométrique valide ?

Solution :

Étape 1 : La LHS semble plus délicate que la RHS, alors simplifions la LHS et vérifions si nous arrivons à la RHS ou non.

Étape 2 : On peut voir que la LHS peut être simplifiée à l'aide de l'identité algébrique.

$\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2$

En appliquant cette identité, nous obtenons

$\left(1+\mathrm{sinx}\right)\left(1-\mathrm{sinx}\right)=1-{\sin }^2\mathrm{x}$

Étape 3 : En appliquant l'identité de Pythagore pour le sinus et le cosinus, nous obtenons

$1-{\sin }^2\mathrm{x}={\cos }^2\mathrm{x}$

qui ne peut pas être simplifié davantage.

On peut observer que $LHS\ne RHS$ pour chaque valeur de x. Mais pour qu'une identité soit valide, elle doit satisfaire chaque valeur pour laquelle la fonction est définie.

Par conséquent, l'identité trigonométrique donnée est fausse.