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Les identités trigonométriques peuvent être de formes variées. Nous avons déjà vu différents types d'identités standard telles que les formules d'angle double, la somme des angles, la différence des angles, les identités réciproques, etc. Ce sont les identités standard qui constituent la base des autres identités qui en sont dérivées. Ces identités qui peuvent être décomposées en identités fondamentales sont souvent appelées identités secondaires.
En fait, un grand nombrea> d'identités peuvent être formées à partir des identités fondamentales. Pour vérifier ces identités, nous utilisons le même type de procédure que pour résoudre différentes équations, c'est-à-dire que nous recherchons l'identité commune.
Règles de vérification des identités trigonométriques
S'il y a une identité composée de différentes fonctions trigonométriques, par exemple une identité composée de la tangente et du sinus, essaie de les séparer.
Essaie de placer la tangente d'un côté et le sinus de l'autre de l'équation, cela facilite l'application des identités fondamentales.
Maintenant, le plus important est de savoir quelle identité fondamentale il faut appliquer.
Convertis l'équation en la même fonction, c'est-à-dire, par exemple, convertis tous les tangents en sinus ou tous les sinus en tangents.
Après avoir effectué toutes les étapes ci-dessus, si le côté droit (RHS) de l'équation est égal au côté gauche (LHS), alors l'identité est vraie :
Comment prouver une identité trigonométrique de façon algébrique ?
Nous pouvons prouver les identités trigonométriques de façon algébrique en résolvant le LHS et le RHS séparément. Ici, nous résolvons d'abord le côté complexe de l'équation et nous vérifions si la LHS et la RHS sont égales ou non. Voyons quelques exemples.
Vérifie que est une identité cohérente.
Solution :
Étape 1 : En ajoutant aux deux côtés de l'équation, on obtient ,
Étape 2 : On peut voir que est une identité fondamentale, qui est
Étape3 : En substituant cette identité, on obtient
Étape 4 : Maintenant, nous allons utiliser une identité réciproque pour la cosécante, et en élevant au carré les deux côtés, nous obtenons
Étape 5 : En substituant l'identité ci-dessus, nous obtenons
Étape 6 : Nous savons déjà que et après l'avoir élevé au carré, on obtient l'étape précédente.
D'où , . L'identité est donc vérifiée.
Vérifie l'identité où est définie sur le domaine approprié.
Solution :
Le côté gauche de l'équation semble un peu compliqué par rapport au côté droit de l'équation. Il est toujours plus facile de simplifier le côté le plus compliqué de l'équation. Simplifions donc la LHS pour obtenir la RHS.
Étape 1 : En écrivant le dénominateur séparément, nous obtenons
LHS =
Étape 2 : En utilisant l'identité réciproque,
nous obtenons
LHS =
Étape 3 : En utilisant à nouveau la même identité, et on obtient
LHS =
Nous pouvons donc constater que .
L'identité est donc prouvée.
Quand une identité trigonométrique est-elle invalide ?
Une identité trigonométrique est vraie si et seulement si elle satisfait à toutes les valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Pour le démontrer, considère l'identité,
Cette identité n'est pas valable pour toutes les valeurs de x dans le domaine du sinus et du cosinus. Elle n'est vraie que pour certaines valeurs de x. Pour prouver que cette identité est fausse, on peut montrer algébriquement qu'elle est invalide ou donner un contre-exemple. Voici un contre-exemple
Où l'on peut voir que .
Jusqu'à présent, nous avons vu comment une identité trigonométrique peut être prouvée algébriquement à l'aide des identités fondamentales. Il est important de noter que certaines identités peuvent sembler vraies mais être en fait fausses. Cela est dû au fait qu'une fonction est indéfinie pour une certaine valeur du domaine alors que l'autre fonction est définie. Dans ce cas, lorsque nous divisons par quelque chose, le dénominateur peut tendre vers 0 et cette identité serait fausse. Il s'agit d'un scénario rare, mais il faut en être conscient.
Résoudre une identité algébriquement n'est pas la seule façon de la prouver, une autre façon est de la prouver graphiquement.
Comment prouver graphiquement une identité trigonométrique ?
Pour prouver une identité graphiquement, nous vérifions LHS et RHS séparément. On trace d'abord le graphique de LHS, puis celui de RHS. Après avoir examiné les graphiques, si les graphiques sont identiques, c'est-à-dire qu'ils sont exactement les mêmes pour chaque valeur de leur domaine, alors nous disons que . Le principal inconvénient de cette méthode est qu'elle ne permet de prouver que des identités simples. Les identités avec des puissances multiples et supérieures peuvent être très difficiles à représenter graphiquement. C'est la raison pour laquelle la méthode algébrique est préférée à celle-ci. Prouvons une identité pour nous familiariser avec cette méthode.
Prouve que .
Solution :
Étape 1 : Trace le graphique de LHS, ici c'est sinx, et son graphique ressemble à :
Le graphique de y=sinx, StudySmarter Originals
Étape 2 : Trace le graphique deen fonction de x, qui ressemble à
Le graphiquede la réciproque de cosecx, StudySmarter Originals
On peut voir que les graphiques ci-dessus sont exactement les mêmes et nous en déduisons donc que .
Exemples sur la vérification des identités trigonométriques
Prouve que est une identité trigonométrique valide.
Solution :
Étape 1 : Dans cet exemple particulier, le LHS semble plus compliqué. Nous allons donc essayer de simplifier la LHS pour arriver à la RHS.
Étape 2 : Le terme peut également être écrit sous la forme et il peut maintenant être écrit comme le produit de deux termes en utilisant l'identité algébrique . Par conséquent, nous avons :
Étape 3 : Maintenant, nous pouvons appliquer l'identité pythagoricienne, ,
Étape 4 : En appliquant la formule du demi-angle nous obtenons
ce qui correspond à ce qu'on nous demande de prouver.
Ainsi , .
S'agit-il d'une une identité trigonométrique valide ?
Solution :
Étape 1 : La LHS semble plus délicate que la RHS, alors simplifions la LHS et vérifions si nous arrivons à la RHS ou non.
Étape 2 : On peut voir que la LHS peut être simplifiée à l'aide de l'identité algébrique.
En appliquant cette identité, nous obtenons
Étape 3 : En appliquant l'identité de Pythagore pour le sinus et le cosinus, nous obtenons
qui ne peut pas être simplifié davantage.
On peut observer que pour chaque valeur de x. Mais pour qu'une identité soit valide, elle doit satisfaire chaque valeur pour laquelle la fonction est définie.
Par conséquent, l'identité trigonométrique donnée est fausse.
Vérification des identités trigonométriques - Principaux enseignements
- Une identité trigonométrique est vraie si et seulement si elle satisfait toutes les valeurs pour lesquelles le domaine est défini.
- Si une identité n'est vraie que pour certaines valeurs, ces valeurs sont appelées les solutions de cette équation.
- Il y a deux façons de prouver une identité trigonométrique : Algébriquement et graphiquement.
- Pour prouver une identité de façon algébrique, simplifie l'un des côtés de l'identité en le ramenant à des termes plus simples à l'aide des identités fondamentales.
- Pour la méthode graphique, trace les graphiques des deux côtés de l'équation et si les deux sont exactement les mêmes, alors l'identité est vraie.
- Il est toujours plus pratique de prouver une identité à l'aide de la méthode algébrique, car elle est plus efficace et plus facile.