Sauter à un chapitre clé
Au début, j'étais assez confiant parce que le jeu semblait facile pour moi, et à chaque fois, je pouvais attraper l'ours sans aucun problème. Le problème, c'est qu'à chaque fois, la griffe se détachait et faisait tomber mon ours ! Au bout de quelques semaines, des larmes ont jailli de mes yeux lorsque j'ai enfin pu réclamer mon prix, que je garde toujours précieusement dans ma chambre.
Tu te demandes peut-être quel est le rapport avec les distributions de probabilités. Il s'avère que les machines à griffes sont construites de manière à ce que le prix soit rarement obtenu, quelle que soit la précision de tes entrées. Dans le cas de mon ours en peluche, je faisais un essai tous les dimanches jusqu'à ce que je réussisse. Dans ce contexte, le nombre d'essais que j'ai faits jusqu'à ce que j'obtienne mon succès est représenté par une variable aléatoire à distribution géométrique.
Définition de la distribution géométrique
Lorsque l'on parle de distributions de probabilités, il faut bien comprendre de quelle variable aléatoire il s'agit. Tout comme dans l'exemple de l'ours en peluche, où je comptais combien de fois je devais jouer à la machine à griffes, dans une distribution géométrique, tu comptes le nombre d'essais que tu effectues jusqu'à ce que tu obtiennes un succès. On suppose que chaque essai est un essai de Bernoulli.
Rappelle-toi qu'un essai de Bernoulli n'a que deux issues : le succès ou l'échec.
Il est temps de définir correctement la distribution géométrique.
La distribution géométrique, également connue sous le nom de modèle de probabilité géométrique, est une distribution de probabilité discrète où la variable aléatoire \( X\) compte le nombre d'essais effectués jusqu'à ce qu'un succès soit obtenu.
Étant donné que le plus petit nombre d'essais requis pour obtenir un succès est \N(1\N), la variable aléatoire \N(X\N) peut prendre les valeurs suivantes
\N[ X=1,2,3, \Ndots\N]
La distribution géométrique n'a qu'un seul paramètre, qui est la probabilité \(p\) de succès. Une distribution géométrique avec la probabilité \(p\) est généralement notée
\[\text{Geom}(p),\]
ou parfois elle est écrite sous la forme
\N- G(p).\N]
Dans mon exemple de l'ours en peluche, la variable aléatoire \N(X\N) a compté combien de fois j'ai effectué l'essai de jouer à la machine à griffes jusqu'à ce que je mette la main sur l'ours. La probabilité de réussite, \(p\), n'était pas connue de ma personne, mais dans la plupart des cas, cette valeur te sera donnée.
Une distribution de probabilités doit satisfaire aux exigences suivantes pour correspondre à un modèle géométrique :
Il n'y a que deux résultats possibles pour chaque essai, le succès ou l'échec. Par exemple, le premier essai peut être un succès ou un échec, comme tous les essais suivants. Il convient de noter que l'expérience s'arrête dès que tu obtiens un succès.
Les essais sont indépendants les uns des autres. Par exemple, si le deuxième essai est un échec, cela n'affectera en rien l'essai suivant, ni les essais ultérieurs.
La probabilité de réussite reste inchangée essai après essai. Cela signifie que la probabilité de réussite du premier essai est la même pour tous les essais suivants. Par exemple, si \(p = 0,4\), la probabilité de réussite du premier essai est de \(0,4\), la probabilité de réussite du deuxième essai est également de \(0,4\), et ainsi de suite.
Il convient de noter que si \(p<1\), il est théoriquement possible que tu n'obtiennes jamais de succès même si tu fais un grand nombre d'essais. C'est plus facile à imaginer si \(p\) est un très petit nombre.
Supposons que tu achètes un billet de loterie tous les mois. Les chances de gagner réellement à la loterie sont astronomiquement faibles, il est donc très probable que tu ne gagnes jamais le prix. Quelle tristesse !
Formules utilisées dans la distribution géométrique
En général, lorsqu'on te donne une distribution géométrique, on te donne aussi quelques formules pour trouver certaines valeurs intéressantes.
Fonction de masse de probabilité
Puisque dans une distribution géométrique, tu comptes le nombre d'essais que tu fais jusqu'à ce que tu obtiennes un succès, une question naturelle qui se pose est la suivante : Quelle est la probabilité d'obtenir le succès en exactement \N( x\N) essais ? On peut trouver cette réponse en notant que, si tu as fait \N(x\N) essais jusqu'à ce que tu obtiennes le succès, alors tu as eu \N(x-1\N) échecs, donc
\[ P(X=x) = (1-p)^{x-1}p,\]
où \(p\) est la probabilité de succès, et \(1-p\) est la probabilité d'échec. Tu peux aussi trouver cette formule sous la forme suivante
\N[ P(X=x) = q^{x-1}p,\N]
où \(q=1-p\).
Figure 1. Graphique de la fonction de masse de probabilité de la distribution géométrique.
Fonction de distribution cumulative
Tu peux trouver une approche plus réaliste d'une expérience en examinant la fonction de distribution cumulative de la distribution géométrique, qui t'indique la probabilité d'obtenir un succès en \(x\) essais ou moins. Pour la distribution géométrique, cette fonction est donnée par
\[P(X\leq k) = 1-(1-p)^k.\]
Pense à l'exemple de l'ours en peluche. Supposons que tu ailles à la machine à griffes avec cinq pièces de monnaie, la fonction de distribution cumulative t'indiquera la probabilité d'avoir au moins un succès avec ces cinq pièces de monnaie, c'est-à-dire
\P(X \leq 5) = 1-(1-p)^5.\]
Figure 2. Graphique de la fonction de distribution cumulative de la distribution géométrique.
Valeur attendue
La valeur attendue (également appelée moyenne) de la distribution géométrique te donne une estimation approximative du nombre d'essais que tu devras faire jusqu'à ce que tu réussisses.
\N[ \Nmu = \Nfrac{1}{p}.\N]
Écart type
L'écart type, en général, te donne un aperçu de la façon dont une variable tend à rester autour de la valeur attendue. Une distribution géométrique avec un petit écart type s'attend à ce que le nombre d'essais soit proche de la moyenne. Il est donné par
\[\sigma = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}.\]
Variance de la distribution géométrique
On te demandera parfois de trouver la variance d'une expérience modélisée par une distribution géométrique. Pour simplifier les choses, puisque l'écart type est la racine carrée de la variance, tu peux obtenir la variance en élevant l'écart type au carré. C'est-à-dire que si l'écart type est donné par
\[ \sigma = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}\]
alors, la variance est donnée par
\[ \sigma^2 = \frac{1-p}{p^2}.\]
La distribution géométrique et la distribution exponentielle
Comme le graphique d'une distribution géométrique ressemble à une fonction exponentielle décroissante, tu peux associer une distribution géométrique à une distribution exponentielle.
Figure 3. Une fonction exponentielle qui passe par les points du graphique de la fonction de masse de probabilité d'une distribution géométrique.
La distribution exponentielle est assez similaire à la distribution géométrique dans le sens où elle modélise le laps de temps d'une expérience jusqu'à ce que le succès soit obtenu. Cependant, comme le temps est considéré comme une quantité continue, la distribution exponentielle est une distribution de probabilité continue, alors que la distribution géométrique est discrète.
Exemples de distribution géométrique
Tu peux ici résoudre quelques problèmes qui peuvent être modélisés à l'aide de la distribution géométrique.
Un patient souffre d'insuffisance rénale et a besoin d'une greffe d'un donneur approprié. La probabilité qu'un donneur aléatoire corresponde aux exigences de ce patient est de \(0,2\).
- Suppose qu'aucun donneur ne corresponde aux exigences du patient jusqu'à ce qu'un cinquième donneur se présente. Quelle est la probabilité de ce scénario ?
- Trouve la probabilité que le patient ait besoin de \(10\) ou moins de donneurs jusqu'à ce qu'une correspondance soit trouvée.
- Quel est le nombre attendu de donneurs nécessaires pour obtenir une compatibilité ?
- Trouve l'écart type de ce scénario.
Solution :
- Chaque fois que tu dois trouver la probabilité que l'expérience nécessite un nombre exact d'essais pour réussir, tu dois commencer par écrire sa fonction de masse de probabilité. Dans ce cas, puisque \(p=0,2\) alors\[ \i1}début{align} P(X=x) &= (1-p)^{x-1}p \N- &= (1-0.2)^{x-1}(0.2) \N- &= (0.8)^{x-1}(0.2). Maintenant, tu peux évaluer la fonction ci-dessus lorsque \(x=5\), ce qui te donne\[ \N- \N- \N- \N{align}} P(X=5) &= (0.8)^{5-1}(0.2) \N &= (0.8)^4(0.2) \N &= 0.08192, \Nend{align}\N]ce qui signifie que la probabilité que ce scénario se produise est de \N( 8.192 \N%).
- Cette fois, tu auras besoin de la fonction de distribution cumulative, qui dans ce cas est donnée par\[ P(X\leq k) = 1-(1-p)^k.\N]Puisque tu cherches le cas où dix donneurs ou moins sont nécessaires, tu dois ajouter \(k=10\N) à la formule ci-dessus (et \N(p=0,2\N) également), ce qui te donnera\[ \begin{align} P(X\leq 10) &= 1-(1-0.2)^{10} \\ &= 1-(0.8)^{10} \N- &= 0.892625, \N- [end{align}\N]donc la probabilité de trouver un rein approprié parmi dix donneurs aléatoires est d'environ \N(89.26 \N%\N).
- Il s'agit d'une tâche assez simple. Pour le nombre attendu de donneurs, tu dois utiliser la formule de la valeur attendue, donc\[ \mu = \frac{1}{p}.\]En substituant \(p=0.2\) tu obtiendras\[ \bgin{align} \mu &= \frac{1}{0.2} \ &=5. \end{align}\]
- Enfin, tu peux trouver l'écart type en utilisant la formule[\sigma = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}.\N]En substituant \(p=0.2\N), tu obtiendras[\begin{align} \sigma &= \sqrt{ \frac{1-0.2}{0.2^2} } \N- &= \sqrt{20} \\ &= 4.472133. \N- [end{align}\N]
Tu as toutes les chances de trouver la distribution géométrique en jouant à des jeux de société !
Supposons que tu jettes un dé juste jusqu'à ce que tu obtiennes un trois comme résultat.
- Quelle est la probabilité que tu n'obtiennes pas de trois avant ton quatrième lancer ?
- Trouve la probabilité d'obtenir le trois dont tu as besoin en moins de \(10\) lancers.
- Quel est le nombre attendu de lancers nécessaires pour obtenir le résultat souhaité ?
- Trouve la variance de cette expérience.
Solution :
- Dans ce cas, tu dois trouver la probabilité d'obtenir le succès. Comme tu utilises un dé équitable, les chances d'obtenir l'un ou l'autre des nombres sont toutes égales, donc \[ p = \frac{1}{6}\]pour obtenir un nombre spécifique, ce qui inclut l'obtention d'un résultat de trois. Maintenant que tu connais \(p\), tu peux écrire la fonction de masse de probabilité pour cette expérience géométrique, c'est-à-dire\[ \begin{align} P(X=x) &= (1-p)^{x-1}p \\ &= \left( 1- \frac{1}{6} \right)^{x-1} \left( \frac{1}{6} \right) \\ &= \left( \frac{5}{6} \right) ^{x-1} \left( \frac{1}{6} \right). \n-{align} \] Enfin, évalue l'expression ci-dessus lorsque \(x=4\), obtenant\[ \N-begin{align} P(X=4) &= \left( \frac{5}{6} \right) ^{4-1} \left(\frac{1}{6} \right) \&= 0.0964506. \Cela signifie que la probabilité que tu n'obtiennes pas de trois avant ton quatrième lancer est de 9,645 %.
- Pour ce cas, tu auras besoin de la fonction de distribution cumulative, qui dans ce cas est\[ P(X\leq k)=1-(1-p)^k.\]Ici, on te demande de trouver la probabilité d'obtenir le succès en moins de \(10\) lancers, ce qui signifie \(9\) lancers ou moins, donc \( k=9\N). Sachant cela, tu peux substituer \N(k\N) et \N(p\N) pour trouver la probabilité demandée, soit\N[ \Nbegin{align}]. P(X\leq 9) &= 1-\left(1-\frac{1}{6}\rect)^9 \\N &= 1-\left(\frac{5}{6}\rect)^9 \N &= 0.806193. \N-END{align} \]Ainsi, la probabilité d'obtenir le résultat souhaité en moins de \(10\) jets est de \( 80,6193 \% \).
- Tu peux utiliser la formule\[ \mu = \frac{1}{p}\]pour trouver la valeur attendue, donc\[ \mu = \frac{1}{\frac{1}{6}}, \] que tu peux simplifier avec les propriétés des fractions, ce qui te donne\[ \mu = 6.\]
- Cette fois, tu peux utiliser la formule de la variance,\N- [\Nsigma^2 = \Nfrac{1-p}{p^2},\N]donc\N- [\Nbegin{align}] \sigma^2 &= \frac{1-\frac{1}{6}}{\left(\frac{1}{6}\right)^2} \\ &=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{36}} \\ &= 30. \N-END{align} \]
Attribuons un nombre à la probabilité de réussir au jeu de la machine à griffes.
Supposons que la probabilité de gagner un article à la machine à griffes soit de \( 0,05\).
- Quelle est la probabilité de gagner un article au premier essai ?
- Quelle est la probabilité de gagner un objet en moins de 20 essais ?
- Suppose que tu doives utiliser une pièce de 25 cents pour chaque essai. Quelle est la somme d'argent attendue pour obtenir un prix ?
Solution :
- C'est une question délicate ! Tu peux essayer de construire la fonction de masse de probabilité et d'utiliser \N(x=1\N), mais on t'a déjà dit que la probabilité de gagner un article à la machine à griffes est de \N(0,05\N), ou \N( 5\N%), donc c'est la réponse.
- Comme d'habitude, construis la fonction de distribution cumulative, donc\N[ P(X\leq k) = 1-(1-p)^k.\N]Tu dois trouver la probabilité de gagner un article en moins de \N(20\N) essais, ce qui signifie\N(19\N) ou moins d' essais. Donc \(k=19\). Sachant cela, évalue la fonction de distribution cumulative, c'est-à-dire\N[ \N-{align}{\N-{\N-{\N-{\N}]. P(X\leq k) &= 1-(1-0.05)^{19} \\ &= 1-(0.95)^{19} \\&=0.622646.\end{align}\] Ainsi, la probabilité de gagner un prix en moins de \(20\) essais est de \(62,2646\%\).
- Chaque fois que l'on te pose des questions sur les attentes, tu dois commencer par trouver la valeur attendue. In this case this means that\[ \begin{align} \mu &= \frac{1}{\mu} \\nbsp;\nbsp;&= \frac{1}{0.05} \\ &= 20. \N- [end{align}\N]Cela signifie que tu peux t'attendre à jouer à la machine à griffes environ \N(20\N) fois. Comme chaque fois que tu joues te coûte une pièce, tu as besoin de \N(20\N) pièces, donc\N[20(0,25) = 5\N]signifie que tu peux t'attendre à dépenser \N(5\N) pour la machine à griffes.
Distribution géométrique - Principaux enseignements
- La distribution géométrique, également connue sous le nom de modèle de probabilité géométrique, est une distribution de probabilité discrète dans laquelle la variable aléatoire \( X\) compte le nombre d'essais effectués jusqu'à ce qu'un succès soit obtenu.
Étant donné que le plus petit nombre d'essais nécessaires pour obtenir un succès est \N(1\N), la variable aléatoire \N(X\N) peut prendre les valeurs \N( X=1,2,3, \Ndots\N).
Pour modéliser une situation à l'aide d'une distribution géométrique, tu dois faire quelques hypothèses : 1. Il n'y a que deux résultats possibles pour un essai, un succès ou un échec. 2. Les essais sont indépendants les uns des autres. 3. La probabilité de réussite reste inchangée essai après essai.
Les formules utilisées dans les distributions géométriques sont les suivantes :
La fonction de masse de probabilité est donnée par\[ P(X=x) = (1-p)^{x-1}p.\N-]
La fonction de distribution cumulative est\N[ P(X \leq k) = 1-(1-p)^k.\N]
La valeur attendue peut être trouvée comme\N[ \Nmu = \Nfrac{1}{p}.\N]
L'écart type est\[ \sigma = \sqrt{\frac{1-p}{p^2}}.\]
La distribution exponentielle est similaire à la distribution géométrique dans le sens où toutes deux décrivent des situations dans lesquelles tu cherches le premier succès d'un essai. Cependant, la distribution exponentielle est une distribution continue, alors que la distribution géométrique est une distribution discrète.
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