What is Investigating Distribution Normale Standard?

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Photosynthesis is the process by which plants, algae, and some bacteria convert light energy into chemical energy stored as glucose. Investigating photosynthesis helps us understand how organisms produce oxygen and food, supporting nearly all life on Earth.

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  • Published: 26.06.2024. Last updated: 01.01.1970.

La distribution normalea> standard est une version standardisée de la distribution normale. Elle est notée \ ( Z\sim N (0,1^2) \), car elle a une moyenne \( \mu =0 \) et un écart type \( \sigma = 1 \). Comme pour les distributions normales, l'aire sous le graphique \( \phi(z) \) est de 1.

Pourquoi utilisons-nous la distribution normale standard ?

Les distributions normales standard sont utiles parce que leur moyenne est 0 et leur écart-type est 1. Il est donc facile de calculer des inconnues et les probabilités que certaines valeurs se produisent ou de comparer efficacement des ensembles de données entre eux en se basant sur les moyennes et les écarts par défaut.


L'équation de la fonction de densité de probabilité (pdf) d'une distribution normale standard est la suivante

\[ \phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{z^2}{2} \right}. \]


probabilité standard distribution normale fonction graphique studysmarter

Standard

distribution normale


Le graphique a un axe de symétrie vertical \N( x=0 \N), et à la fois une variance et un écart type de 1 lorsque \N( z=-1 \N) et pour \N( z=1 \N), en d'autres termes, lorsque le score x brut est plus de 3 écarts types de la moyenne, \N( \Nphi(z) \Nsim 0 \N).


Une valeur z, un score z ou un score standard (utilisés de manière interchangeable) décrit la position d'un score spécifique en termes de distance par rapport à la moyenne, et est mesuré en unités d'écart type. Les scores Z sont positifs lorsque la valeur se situe au-dessus de la moyenne, et négatifs si elle se situe en dessous.

Quelle est la formule de la distribution normale standard ?


Une distribution normale a la formule suivante X~Nμ, σ2.

Une distribution normale standard a la formule Z~N(0,12).


Nous pouvons convertir une variable normale X en une variable normale standard Z. Si X~Nμ, σ2l'équation Z=X-μσpeut être utilisée, ce qui permet de convertir un score X en un score Z. Cette formule est dérivée d'une technique de changement de variable d'une fonction de densité de probabilité modélisant une distribution normale.


La notation Φa est équivalente à la notation PZ<a et peut être interchangée lorsqu'on se réfère à une distribution normale standard.

Une variable est distribuée au hasard X~N(50, 42). Ecris P(X55) en termes de Φ(z) pour une certaine valeur de z.


Puisque la distribution normale est continue, P(X55)=P(X>55).


Nous savons que la somme des probabilités dans une distribution normale est égale à 1, donc P(X>55)=1-P(X<55). Nous convertissons ensuite cette distribution en une distribution normale standard.

Nous remplaçons les valeurs connues dans la formule z=X-μσ.

Par conséquent ,z=55-504


D'où,P(X<55)=PZ<55-504=P(Z<1.25)

Enfin, P(X55)=1-P(Z<1.25)=1-Φ(1.25)


Ceci est en termes de Φ(z)et répond donc à la question.


On peut aussi te demander de trouver la probabilité qu'une variable se trouve dans un intervalle donné.

Étant donné que X~N(5, 52)trouve P(2X<9) correct à 3 chiffres significatifs.



Commençons par dessiner un graphique :


probabilité standard distribution normale fonction graphique studysmarterGraphique de la distribution normale avec les zones ombrées

Ensuite, nous allons convertir les notes x en notes z.

Quand x=2, z=2-55=-1.342

Quand x=9, z=9-55=1.789


La surface à droite de z=0 est :

Φ(1.789)-Φ(0)=Φ(1.789)-0.5=0.463


La surface à gauche de z=0 est: :

Φ(0)-Φ(-1.342)=0.5-1-Φ(1.342)=0.4102


Nous additionnons ensuite les 2 aires

0.463+0.4102=0.8732


P(2X<9)=0.873à 3 chiffres significatifs


L'exemple ci-dessous illustre comment la distribution normale standard peut être utilisée pour comparer des ensembles de données de la vie réelle.

Une élève obtient 73 % à son examen d'anglais, alors que la moyenne de la classe est de 68 % et l'écart type de 10,2 %. En biologie, elle a obtenu 66 %, alors que la moyenne de la classe était de 62 % et l'écart type de 6,8 %.

Dans quelle matière a-t-elle obtenu de meilleurs résultats que le reste de sa classe ?

Suppose que les notes des deux matières sont normalement distribuées.


Pour pouvoir comparer efficacement les notes des élèves, il faut les standardiser.

Score z en anglais : 73-6810.20.490

Score z en biologie : 66-626.80.588


Interprétation - Le score z de l'élève détermine le nombre d'écarts-types entre sa note et la moyenne de la classe, dans les deux cas, au-dessus de la moyenne.


Plus la note z est élevée, plus sa note est éloignée de la moyenne et plus ses résultats sont bons par rapport au reste de la classe.


L'élève a obtenu les meilleurs résultats en biologie.


Trouver la moyenne d'une distribution normale standard

La distribution normale standard peut être utilisée pour résoudre une moyenne inconnue, une valeur d'écart type ou une variance d'une distribution normale. La moyenne d'une distribution normale standard est 0. Lorsque la note x est convertie en note z, les inconnues deviennent plus faciles à calculer. Une calculatrice graphique avec une fonction normale inverse est souvent nécessaire pour ces questions. Les questions peuvent demander de trouver une inconnue à partir d'une probabilité ou deux inconnues à partir de deux probabilités. Voyons des exemples pour les deux types de questions.

On sait que le poids des colliers faits main dans un magasin est normalement distribué avec un écart type de 5,9g. Si 15 % des colliers pèsent moins de 58,2 g, trouve le poids moyen des colliers.


Soit µ le poids moyen des colliers. L'information donnée peut donc être écrite sous la forme suivanteX~N(μ, 5.92)

De plus , P(X58.2)=0.15


Nous allons maintenant convertir ce score x en score z.

PZ58.2-μ5.9=0.15


Nous utilisons maintenant la fonction normale inverse sur la calculatrice, pour N(0, 1²) et la probabilité=0,15.

58.2-μ5.9-1.0364


Résous ensuite la question de µ.

58.2-μ-6.1μ64.3


Le poids moyen des colliers est d'environ 64,3 g.

Dans cet exemple, les deux paramètres sont manquants.

La variable aléatoire X~N(μ, σ2). Étant donné que P(X<17)=0.8159, et P(X<25)=0.9970, trouve la valeur de µ et de σ.


Pour résoudre cette question, il est nécessaire de convertir les notes x en notes z, puis de résoudre les deux équations simultanément.


P(X<17)=0.8159PZ<17-μσ=0.8159



P(X<25)=0.9970PZ<25-μσ=0.9970


En utilisant la fonction normale inverse pour les deux probabilités, on obtient :

17-μσ=-0.899817-μ=-0.8998σ autre 25-μσ=2.74825-μ=2.748σ


Nous résolvons ensuite ces deux équations simultanément. Cela peut se faire à la main ou à l'aide du résolveur d'équations simultanées de la calculatrice.


Nous obtenons : μ=19.0 et σ=2.20à 3 chiffres significatifs.


En utilisant le tableau de distribution normale standard

Lorsque z est normalement distribué avec une moyenne de 0 et un écart type de 1 (distribution normale standard), il existe un tableau qui peut être utilisé à la place de la calculatrice. Il donne la valeur de ϕ(z)ϕ(z)=P(Zz). Pour les valeurs négatives de z, tu utilises ϕ(-z)=1-ϕ(z). Tu trouveras ce tableau dans les brochures et les manuels de statistiques.




Distribution normale standard - Points clés à retenir

  • Une distribution normale standard est définie comme ayant Z~N(0, 12) une moyenne de 0 et un écart-type de 1.
  • Si X~N(μ, σ2)cette distribution normale peut être standardisée en convertissant les notes x en notes z à l'aide de :Z=X-μσ.
  • La notation ϕ(z) est équivalente àP(Zz)
  • L'aire sous le graphique y=ϕ(z) est égale à 1.
  • Les distributions normales standard peuvent être utilisées pour calculer des valeurs inconnues (moyenne ou écart type). Deux probabilités sont nécessaires si les deux valeurs sont inconnues.
  • Deux ensembles de données ayant des moyennes et des écarts types différents peuvent être directement comparés lorsqu'ils sont normalisés.

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Gabriel Freitas

AI Engineer at StudySmarter

Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models' (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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