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Comment effectuer un test d'hypothèse pour une distribution normale ?
Lorsque nous effectuons un test d'hypothèsea> pour la moyenne d'une distribution normalea>, nous pensons à la moyenne d'un échantillon d'une population.
Ainsi, pour un échantillon aléatoire de taille n d'une population, prélevé sur la variable aléatoire \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\), la moyenne de l'échantillon \(\bar{X}\) peut être normalement distribuée par \(\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\).
Prenons un exemple.
Le poids des chips dans chaque paquet est normalement distribué avec un écart type de 2,5 g.
L'entreprise de chips affirme que les paquets de chips ont un poids moyen de 28 g. De nombreuses plaintes ont été déposées selon lesquelles chaque paquet de chips pèse moins que cela. Un inspecteur commercial a donc enquêté sur ce point et a constaté que sur un échantillon de 50 paquets de chips, le poids moyen était de 27,2 g.
En utilisant un niveau de signification de 5 % et en énonçant l'hypothèse, teste clairement si les preuves confirment ou non les plaintes.
SOLUTION :
| ÉTAPE | Exemple |
| Étape 1 : Énonce clairement les hypothèses. | \(H_0 : \mu = 28 \quad H_1 : \mu < 28\) |
| Étape 2 : Écris la distribution de probabilités en supposant que H0 est vraie. | \(X \sim N(28, 2.5^2)\) |
| Étape 3 : Trouve la distribution de probabilité de la moyenne de l'échantillon. | \(\bar{X} \sim N(28, \frac{2.5^2}{50})\N) |
| Étape 4 : Esquisse un diagramme de distribution normale. |
Nous allons calculer \N(P(\bar{X} \leq 27,1)\N). |
| Étape 5 : Effectuer le calcul de \(P(\bar{X} \leq \bar{x})\N). \(\bar{x}\) est la moyenne trouvée dans l'échantillon. | \(P(\bar{X} \leq 27.1) = 0.00545\) |
| Étape 6 : Compare avec le niveau de signification et tire une conclusion sur l'hypothèse. | \(0.00545 < 0.05\), et donc contenue dans la région critique, nous rejetons donc notre hypothèse nulle et acceptons notre hypothèse alternative. |
Il s'agit d'un exemple de test à une queue. Prenons un exemple de test à deux extrémités.
Une machine produit des disques circulaires de rayon R, où R est normalement distribué avec une moyenne de 2cm et un écart type de 0,3cm.
La machine est entretenue et après l'entretien, un échantillon aléatoire de 40 disques est prélevé pour voir si la moyenne a changé par rapport à 2cm. Le rayon est toujours normalement distribué avec un écart type de 0,3 cm.
On constate que la moyenne est de 1,9 cm.
La moyenne a-t-elle changé ? Effectue un test à un niveau de signification de 5 %.
| ÉTAPE | Exemple |
| Étape 1 : Énonce clairement les hypothèses. | \(H_0 : \mu = 2 \quad H_1 : \mu ≠ 2\) |
| Étape 2 : écris la distribution de probabilité en supposant que H0est vraie. | \(X \sim N(2, 0.3^2)\) |
| Étape 3 : Trouve la distribution de probabilité de la moyenne de l'échantillon. | \(\bar{X} \sim N(2, \frac{0.3^2}{40})\N) |
| Étape 4 : Esquisse un diagramme de distribution normale. |
|
| Étape 5 : Fais le calcul de \(P(\bar{X} \leq \bar{x})\). \(\bar{x}\) est la moyenne trouvée dans l'échantillon. | \(P(\bar{X} \leq 1,9) = 0,01751\) |
| Étape 6 : Comparer avec le niveau de signification et tirer une conclusion sur l'hypothèse. | Comme il s'agit d'un test bilatéral, nous devons diviser notre niveau de signification par deux, puis comparer. Nous comparons donc avec 0,025 et non 0,05 : \(0.01751 < 0.025\)Ceci est contenu dans notre région critique, donc nous rejetons notre hypothèse nulle et acceptons notre hypothèse alternative. |
L'étape 5 peut prêter à confusion - faut-il effectuer le calcul avec \(P(\bar{X} \leq \bar{x})\N ou \(P(\bar{X} \geq \bar{x})\N) ?) En règle générale, si la valeur est comprise entre 0 et la moyenne, nous utilisons \(P(\bar{X} \leq \bar{x})\N). Si elle est supérieure à la moyenne, on utilise \N(P(\bar{X} \geq \bar{x})\N).
Qu'en est-il de la recherche de valeurs et de régions critiques ?
C'est la même idée que pour la distribution binomiale. Cependant, dans la distribution normale, une calculatrice peut nous faciliter la vie.
Le menu des distributions comporte une option appelée normale inverse.
Ici, nous entrons le niveau de signification (Area), la moyenne (\(\mu\)) et l'écart type (\(\sigma\)).
La calculatrice nous donnera une réponse. Voyons un exemple ci-dessous.
Des roues sont fabriquées sur mesure pour un vélo. Le diamètre de la roue est normalement distribué avec une moyenne de 40 cm et un écart type de 5 cm. Certaines personnes pensent que leurs roues sont trop petites. Trouve la valeur critique de ce phénomène à un niveau de signification de 5 %.
SOLUTION
Dans notre calculatrice, dans la fonction normale inverse, nous devons entrer :
\(\text{Area} = 0,05 \quad \mu = 40 \quad \sigma = 5\).L'aire est de 0,05 car le niveau de signification est de 5 %. Il s'agit d'un test unilatéral - les gens pensent que la moyenne est plus faible parce qu'ils croient que les roues sont trop petites.Si nous effectuons la fonction normale inverse, nous obtenons 31,775732.
C'est donc notre valeur critique et notre région critique est \(X \leq 31,775732\).
Prenons un exemple avec deux queues.
Test bilatéral - StudySmarter Nous devons d'abord nous occuper de la queue inférieure. Par conséquent, dans notre calculatrice, dans la fonction normale inverse, nous devons entrer : \(\text{Area} = 0,005 \quad \mu= 55 \quad \sigma = 3\).L'aire est de 0,005 car nous devons diviser le niveau de signification par deux et il s'agit de la queue inférieure (celle qui se trouve à 0,005 de 0). Si nous effectuons la fonction normale inverse, nous obtenons 47,272512.C'est l'une de nos valeurs critiques, et notre région critique est \(X \leq 47,272512\). Maintenant, lorsque nous traitons de l'extrémité supérieure, nous devons changer la zone dans notre calculatrice. En effet, nous sommes maintenant à 0,005 de 1 comme aire. Par conséquent :\(\text{Area} = 0,995 \quad \mu = 5 5 \quad \sigma = 3\)Donc, si nous exécutons notre fonction normale inverse, nous obtenons 62,727488. Il s'agit de notre autre valeur critique, et notre région critique est \(X \geq 62.727488\). Cette fois-ci, elle est supérieure ou égale à parce qu'il s'agit de la queue supérieure de notre test bilatéral.Test d'hypothèse pour une distribution normale - Principaux enseignements
- Lorsque nous effectuons un test d'hypothèse pour une distribution normale, nous essayons de voir si la moyenne est différente de la moyenne énoncée dans l'hypothèse nulle.
- Nous utilisons la moyenne de l'échantillon qui est \(\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})\).
- Dans les tests bilatéraux, nous divisons le niveau de signification par deux et nous testons sur les deux queues.
- Pour trouver les valeurs critiques, nous utilisons la fonction normale inverse de la calculatrice en entrant la surface comme niveau de signification.
- Pour les tests bilatéraux, nous devons trouver deux valeurs critiques à chaque extrémité de la distribution.
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