Test du khi-deux pour l'homogénéité

Conditions d'un test du chi carré pour l'homogénéité

Tous les tests du khi-deux de Pearson partagent les mêmes conditions de base. La principale différence réside dans la façon dont ces conditions s'appliquent dans la pratique. Un test du Khi-deux pour l'homogénéité nécessite une variable catégorielle provenant d'au moins deux populations, et les données doivent être le nombre brut de membres de chaque catégorie. Ce test permet de vérifier si les deux variables suivent la même distribution.

Pour pouvoir utiliser ce test, les conditions d'un test d'homogénéité du Khi-deux sont :

• Les variables doivent être catégoriques.

  • Comme tu testes l'homogénéité des variables, elles doivent avoir les mêmes groupes. Ce test du Khi-deux utilise des tableaux croisés, en comptant les observations qui entrent dans chaque catégorie.

• Les groupes doivent s'exclure mutuellement, c'est-à-dire que l'échantillon est sélectionné au hasard.

  • Chaque observation ne peut faire partie que d'un seul groupe. Une personne peut vivre dans une maison ou dans un appartement, mais elle ne peut pas vivre dans les deux.

Tableau 1. Tableau de contingence, test du chi-deux pour l'homogénéité.

• Les effectifs attendus doivent être au moins égaux à \(5\).

  • Cela signifie que la taille de l'échantillon doit être suffisamment grande, mais il est difficile de déterminer à l'avance quelle est cette taille. En général, il suffit de s'assurer qu'il y a plus de \(5\) dans chaque catégorie.

• Les observations doivent être indépendantes.

  • Cette hypothèse est liée à la façon dont tu recueilles les données. Si tu utilises un échantillonnage aléatoire simple, il sera presque toujours statistiquement valide.

Test du chi carré pour l'homogénéité : hypothèse nulle et hypothèse alternative

La question sous-jacente à ce test d'hypothèse est la suivante : Ces deux variables suivent-elles la même distribution ?

Les hypothèses sont formées pour répondre à cette question.

• L'hypothèse nulle est que les deux variables sont issues de la même distribution.\[ \i1{align}H_{0} : p_{1,1} &= p_{2,1} \text{ AND } \\N-p_{1,2} &= p_{2,2} \N-text{ AND } \ldots \text{ AND } \\N-p_{1,n} &= p_{2,n}\N- end{align} \]

• L'hypothèse nulle exige que chaque catégorie ait la même probabilité entre les deux variables.

• The alternative hypothesis is that the two variables are not from the same distribution, i.e., at least one of the null hypotheses is false.\[ \begin{align}H_{a}: p_{1,1} &\neq p_{2,1} \text{ OR } \\N-p_{1,2} &\neq p_{2,2} \text{ OR } \ldots \text{ OR } \\N-p_{1,n} &\neq p_{2,n}\N- end{align} \]

• Si même une seule catégorie est différente d'une variable à l'autre, alors le test renverra un résultat significatif et fournira la preuve du rejet de l'hypothèse nulle.

Les hypothèses nulle et alternative de l'étude sur la survie après une crise cardiaque sont les suivantes :

Fréquences attendues pour un test du khi-deux pour l'homogénéité

Tu dois calculer les fréquences attendues pour un test du Khi-deux pour l'homogénéité individuellement pour chaque population à chaque niveau de la variable catégorielle, comme indiqué par la formule :

\[ E_{r,c} = \frac{n_{r} \cdot n_{c}}{n} \]

où ,

• \(E_{r,c}\) est la fréquence attendue pour la population \(r\) au niveau \(c\) de la variable catégorielle,

• \(r\) est le nombre de populations, qui est également le nombre de lignes dans un tableau de contingence,

• \(c\) est le nombre de niveaux de la variable catégorielle, qui est également le nombre de colonnes d'un tableau de contingence,

• \(n_{r}\) est le nombre d'observations de la population \(r\),

• \(n_{c}\) est le nombre d'observations du niveau \(c\) de la variable catégorielle, et

• \(n\) est la taille totale de l'échantillon.

Poursuis avec l'étude sur la survie après une crise cardiaque :

Degrés de liberté pour un test d'homogénéité du khi-deux

Il y a deux variables dans un test du khi-deux pour l'homogénéité. Par conséquent, tu compares deux variables et tu as besoin que le tableau de contingence s'additionne dans les deux dimensions.

Puisque tu as besoin que les lignes et les colonnes s'additionnent, les degrés de liberté se calculent comme suit :

\[ k = (r - 1) (c - 1) \]

où,

• \N(k\N) est le degré de liberté,

• \(r\) est le nombre de populations, qui est également le nombre de lignes dans un tableau de contingence, et

• \(c\) est le nombre de niveaux de la variable catégorielle, qui est également le nombre de colonnes d'un tableau de contingence.

Test du chi carré pour l'homogénéité : Formule

La formule (également appelée statistique de test) d'un test du khi-deux pour l'homogénéité est :

\[ \chi^{2} = \sum \frac{(O_{r,c} - E_{r,c})^{2}}{E_{r,c}} \]

où ,

• \(O_{r,c}\) est la fréquence observée pour la population \(r\) au niveau \(c\), et

• \(E_{r,c}\) est la fréquence attendue pour la population \(r\) au niveau \(c\).

Comment calculer la statistique de test pour un test d'homogénéité du khi-deux ?

Étape 1 : Créer un tableau

En commençant par ton tableau de contingence, supprime la colonne "Totaux des lignes" et la ligne "Totaux des colonnes". Ensuite, sépare tes fréquences observées et attendues en deux colonnes, comme suit :

Tableau 3. Tableau des fréquences observées et attendues, test du chi-deux pour l'homogénéité.

Étape \(2\) : Soustraire les fréquences attendues des fréquences observées

Ajoute une nouvelle colonne à ton tableau, intitulée "O - E". Dans cette colonne, inscris le résultat de la soustraction de la fréquence attendue à la fréquence observée :

Tableau 4. Tableau des fréquences observées et attendues, test du chi-deux pour l'homogénéité.

Étape \N(3\N) : Élever au carré les résultats de l'étape \N(2\N)Ajoute une nouvelle colonne à ton tableau, appelée "(O - E⁾²". Dans cette colonne, inscris le résultat de la mise au carré des résultats de la colonne précédente :

Tableau 5. Tableau des fréquences observées et attendues, test du chi-deux pour l'homogénéité.

Étape \(4\) : Diviser les résultats de l'étape \(3\) par les fréquences attenduesAjoute une nouvelle colonne à ton tableau appelée "(O - E^)2/E". Dans cette colonne, inscris le résultat de la division des résultats de la colonne précédente par leurs fréquences attendues :

Tableau 6. Tableau des fréquences observées et attendues, test du chi-deux pour l'homogénéité.

Étape 5 : Additionne les résultats de l'étape \N(4\N) pour obtenir la statistique du test du khi-deuxEnfin, additionne toutes les valeurs de la dernière colonne de ton tableau pour calculer la statistique de ton test du khi-deux :

\[ \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{r,c} - E_{r,c})^{2}}{ E_{r,c}} \N-&= 0.322 + 0.013 + 3.831 + 0.150 + 5.074 + 0.199 \N-&= 9.589.\N- end{align} \]

La statistique du test du Khi-deux pour l'homogénéité dans l'étude sur la survie aux crises cardiaques est:

\[ \chi^{2} = 9.589. \]

Étapes à suivre pour effectuer un test du khi-deux pour l'homogénéité

Pour déterminer si la statistique du test est suffisamment importante pour rejeter l'hypothèse nulle, tu compares la statistique du test à une valeur critique tirée d'une table de distribution du khi-deux. Cette comparaison est au cœur du test d'homogénéité du khi-deux.

Suis les étapes ci-dessous pour effectuer un test d'homogénéité du khi-deux.

Étape \(1\) : Énoncer les hypothèses

• L'hypothèse nulle est que les deux variables sont issues de la même distribution.\N-[ \N-{align}H_{0} : p_{1,1} &= p_{2,1} \N-{text{ AND }]. \\N-p_{1,2} &= p_{2,2} \N-text{ AND } \ldots \text{ AND } \\N-p_{1,n} &= p_{2,n}\N- end{align} \]

• The alternative hypothesis is that the two variables are not from the same distribution, i.e., at least one of the null hypotheses is false.\[ \begin{align}H_{a}: p_{1,1} &\neq p_{2,1} \text{ OR } \\N-p_{1,2} &\neq p_{2,2} \text{ OR } \ldots \text{ OR } \\N-p_{1,n} &\neq p_{2,n}\N- end{align} \]

Étape \(2\) : Calculer les fréquences attendues

Fais référence à ton tableau de contingence pour calculer les fréquences attendues à l'aide de la formule :

\[ E_{r,c} = \frac{n_{r} \cdot n_{c}}{n} \]

Étape \N(3\N) : Calculer la statistique du test du khi-deux

Utilise la formule du test d'homogénéité du khi-deux pour calculer la statistique du test du khi-deux :

\N[ \NChi^{2} = \Nsomme \Nfrac{(O_{r,c} - E_{r,c})^{2}}{E_{r,c}} \N].

Étape \N(4\N) : Trouver la valeur critique du Khi-deux

Pour trouver la valeur critique du khi-deux, tu peux soit :

1. utiliser un tableau de distribution du khi-deux, ou

2. utiliser une calculatrice de valeur critique.

Quelle que soit la méthode choisie, tu as besoin de \(2\) informations :

1. les degrés de liberté, \(k\), donnés par la formule :

   \[ k = (r - 1) (c - 1) \]

2. et le niveau de signification, \(\alpha\), qui est généralement \(0,05\).

Trouve la valeur critique de l'étude sur la survie en cas de crise cardiaque.

Étape \(5\) : Comparer la statistique du test du khi-deux à la valeur critique du khi-deux

La statistique de ton test est-elle suffisamment grande pour rejeter l'hypothèse nulle ? Pour le savoir, compare-la à la valeur critique.

Compare la statistique de ton test à la valeur critique dans l'étude sur la survie des victimes de crises cardiaques :

Étape \(6\) : Décider de rejeter ou non l'hypothèse nulle

Enfin, décide si tu peux rejeter l'hypothèse nulle.

• Si la valeur du khi-deux est inférieure à la valeur critique, la différence entre les fréquences observées et attendues n'est pas significative, c'est-à-dire que p > alpha.

  • Cela signifie que tu ne rejettes pas l'hypothèse nulle.

• Si la valeur du Khi-deux est supérieure à la valeur critique, il y a une différence significative entre les fréquences observées et les fréquences attendues, c'est-à-dire \( p < \alpha \).

  • Cela signifie que tu as suffisamment de preuves pour rejeter l'hypothèse nulle.

Tu peux maintenant décider de rejeter l'hypothèse nulle pour l'étude sur la survie en cas de crise cardiaque :

Valeur P d'un test du khi-deux pour l'homogénéité

La valeur P d'un test du Khi-deux pour l'homogénéité est la probabilité que la statistique du test, avec \(k\) degrés de liberté, soit plus extrême que sa valeur calculée. Tu peux utiliser une calculatrice de distribution du khi-deux pour trouver la valeur \(p\) d'une statistique de test. Tu peux aussi utiliser un tableau de distribution du khi-deux pour déterminer si la valeur de la statistique de ton test du khi-deux est supérieure à un certain seuil de signification.

Test du chi-deux pour l'homogénéité VS l'indépendance

À ce stade, tu peux te demander quelle est la différence entre un test du khi-deux pour l'homogénéité et un test du khi-deux pour l'indépendance.

Tu utilises le test du Khi-deux pour l'homogénéité lorsque tu n'as que \(1) variable catégorielle provenant de \(2) (ou plus) populations.

• Dans ce test, tu collectes au hasard des données d'une population pour déterminer s'il existe une association significative entre \(2\) variables catégorielles.

Tu utilises le test du khi-deux pour l'indépendance lorsque tu as \Ndes variables catégorielles provenant de la même population.

• Dans ce test, tu recueilles au hasard les données de chaque sous-groupe séparément afin de déterminer si le nombre de fréquences diffère de manière significative entre les différentes populations.

Exemple de test du khi-deux pour l'homogénéité

En reprenant l'exemple de l'introduction, tu décides de trouver une réponse à la question suivante : les hommes et les femmes ont-ils des préférences différentes en matière de films ?