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Définition de l'analyse des circuits
L'analyse de circuit est un concept issu des principes de l'ingénierie électrique. L'idée principale qui la sous-tend est que lorsque tu construis un circuit, tu vas vouloir savoir si les composants choisis peuvent supporter les tensions et les courants auxquels ils seront soumis. Ces calculs sont généralement effectués après avoir simplifié le circuit.
L'analyse des circuits est l'analyse mathématique de tout circuit électrique.
En d'autres termes, c'est le calcul des éléments inconnus d'un circuit, tels que la tension ou le courant.
Quels sont les outils nécessaires pour effectuer une analyse de circuit ?
Pour effectuer une analyse de circuit, il faut rassembler certaines informations et utiliser certaines équations. Il y a quatre choses que tu devras savoir en particulier à propos de tout circuit que tu essaies d'analyser. Ces outils sont les suivants :
Tu devras connaître les schémas du circuit. En sachant à quoi ressemble le circuit sur papier, il te sera beaucoup plus facile de calculer et d'enregistrer certaines valeurs à certains points du circuit. La meilleure façon de le faire est de dessiner un schéma du circuit, en incluant chaque composant.
Une fois que tu as le schéma de ton circuit, tu vas vouloir simplifier toutes les résistances en une seule. Cela signifie que toute résistance, qu'elle soit en série ou en parallèle, doit être placée dans la valeur d'une seule résistance en série avec le reste du circuit.
Tu devras connaître quelques équations fondamentales et les lois de la physique.
Enfin, tu devras connaître les lois de Kirchhoff sur le courant et la tension. Ce sont des lois qui expliquent comment le courant et la tension fonctionnent dans différents types de circuits.
Il faut également noter que dans les applications réelles, tu auras besoin d'un voltmètre et d'un ampèremètre, pour mesurer respectivement la tension et le courant. Une fois que la tension et le courant sont connus, toutes les autres valeurs peuvent être calculées.
Utilisation des outils d'analyse des circuits
Chacun des outils énumérés ci-dessus est important pour effectuer une bonne analyse de circuit. Les outils eux-mêmes ont également des aspects importants. Une brève description de chacun d'entre eux est incluse dans cette section.
Schémas de circuit
Un schéma de circuit (souvent appelé diagramme de circuit) est, tout simplement, un diagramme d'un circuit, avec toutes ses connexions et tous ses composants. La plupart du temps, ils sont dessinés avant de réaliser le circuit physique afin que les ingénieurs puissent déterminer les composants nécessaires. Tu verras plusieurs exemples de schémas de circuit tout au long de cet article, remarque les différents composants reliés par des lignes conductrices verticales et horizontales.
Simplification de la résistance
Souvent, un circuit se compose de plusieurs résistances connectées de différentes manières. Pour réussir l'analyse du circuit, nous devons les simplifier autant que possible, de façon analogue à la simplification des fractions dans une équation mathématique. Cela peut se faire de la façon suivante.
Commence par la résistance la plus éloignée du circuit principal.
Remplace tout groupe de résistances dans une boucle par une seule résistance. Il est important de reconnaître le type de circuit (série ou parallèle) avant d'effectuer les calculs, car les équations diffèrent.
Répète les deux premières étapes jusqu'à ce qu'il n'y ait plus qu'une seule résistance dans le circuit.
- Si les résistances sont en série (c'est-à-dire les unes à côté des autres), tu additionnes la valeur de chaque résistance : \(R_{{mathrm{séries}}=R_1 + R_2.\N-)
- Si les résistances sont en parallèle, la règle pour trouver la résistance totale est la suivante : \(\frac{1}{R_{\mathrm{parallel}}}=\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}.\N-)
Appliquons ces étapes dans un exemple pour simplifier plusieurs résistances en une seule.
Nous avons le circuit suivant composé de cinq résistances.
Comme nous l'avons vu précédemment, toutes les simplifications doivent partir des résistances les plus éloignées de la source de tension.
Ici, il s'agit de \(B\) et \(E\). Ces deux résistances sont connectées en série, c'est pourquoi nous utilisons l'équation suivante
$$R_{\mathrm{series}}= R_{\mathrm{1}} + R_{\mathrm{2}}$$.
$$ R_{\mathrm{BE}}= R_{\mathrm{B}} + R_{\mathrm{E}} $$
$$R_{\mathrm{BE}}= 5 \mathrm{\Omega} + 2 \mathrm{\Omega}$$$
$$R_{\mathrm{BE}}= 7 \mathrm{\Omega}$$$
Les résistances \N( B\N) et \N(E\N) sont maintenant remplacées par une nouvelle résistance \N (BE\N) parallèle à la résistance \N(D\N) avec une résistance égale à 7 \N(\Nmathrm{\NOmega}\N). Pour trouver la nouvelle résistance entre ces deux résistances parallèles, nous utilisons
$$R_{\mathrm{parallèle}} = \frac{R_1 \, R_2}{R_1 + R_2}$$$.
$$R_{\mathrm{BED}} = \frac{R_{\mathrm{BE}} \, R_{\mathrm{D}}}{R_{\mathrm{BE}} + R_{\mathrm{D}}$$.
$$R_{\mathrm{BED}} = \frac{ 7 \N, \NOmega \Ncdot 10 \N, \NOmega}{7 \NOmega + 10 \NOmega}}$$$$
$$R_{\mathrm{BED}} = \frac{70 \, \Omega}{17 \, \Omega}$$.
$$R_{\mathrm{BED}} = 4.1 \N, \NOmega$$$
Les mêmes étapes sont ensuite répétées pour les deux résistances restantes \(C\N) et \N(A\N), ce qui permet d'obtenir
$$R_{\mathrm{CBED}} = \frac{4 \Omega \cdot 4.1 \Omega}{4 \Omega + 4.1 \Omega} = 2 \Omega, $$$
pour un autre circuit parallèle, et
$$R_{\mathrm{ACBED}}= 3 \mathrm{\Omega} + 2 \mathrm{\Omega} = 5 \mathrm{\Omega$$$.
pour le circuit en série final. Le circuit final sera maintenant constitué d'une résistance singulière équivalente à \(5 \Nmathrm{\NOmega}) résistance.
Équations fondamentales
Heureusement, nous n'avons à nous préoccuper que des circuits idéaux, plutôt que des circuits avec des résistances ou des tensions variables. Cela signifie qu'il n'y a que quelques équations à garder à l'esprit. Tout d'abord, nous devons connaître la loi d'Ohm
$$ V= I \, R, $$
où \(V\) est la tension en volts (\(\mathrm{V}\)), \(I\) est le courant en ampères (\(\mathrm{A}\)), et \(R\) est la résistance en ohms (\(\mathrm{\Nméga}\)). Cela nous permet de calculer la résistance en un point du circuit.
Nous devons également calculer la puissance dans une résistance, qui peut être calculée avec
$$P= I \, V $$$
où \(P\) est la puissance mesurée en watts (\(\mathrm{W}\)), \(I\) et \(V\) sont les mêmes variables que celles définies ci-dessus.
Lois de Kirchhoff sur le courant et la tension
En plus de la loi d'Ohm, il y a deux lois principales que nous devons connaître pour l'analyse des circuits, la loi du courant et de la tension de Kirchhoff.
Laloi du courant de Kirchhoff stipule que la quantité de courant entrant dans un circuit est la même que la quantité de courant sortant d'un circuit.
Mathématiquement, elle peut être exprimée comme suit
$$ I_{\mathrm{entrée}} = I_{\mathrm{sortie}}.$$
Nous l'utilisons lorsqu'il s'agit de calculer le courant entrant ou sortant d'une branche d'un circuit parallèle.
Laloi de Kirchhoff sur la tension stipule que la somme des différences de potentiel dans une boucle est égale à zéro.
Mathématiquement, elle peut être exprimée comme suit
$$ V_{\mathrm{rise}} + V_{\mathrm{drop}} = 0. $$
En d'autres termes, la tension totale qui entre dans un circuit est divisée entre tous les composants jusqu'à ce qu'il y ait une tension nulle à l'extrémité du circuit.
Types d'analyse de circuit
Il existe trois méthodes principales que nous pouvons utiliser pour effectuer une analyse de circuit. Chacune de ces trois méthodes donnera les mêmes résultats.
La première méthode consiste à appliquer directement les lois fondamentales dont nous avons parlé précédemment. Il s'agit d'une combinaison de la loi d'Ohm et des lois de Kirchhoff sur la tension et le courant. C'est la technique la plus probable que tu utiliseras pour analyser un circuit au niveau du lycée.
La deuxième technique que nous pouvons utiliser pour effectuer l'analyse d'un circuit s'appelle la méthode de la tension au nœud et est basée sur la loi du courant de Kirchhoff. Cette technique nous oblige à utiliser deux équations.
La troisième et dernière technique que nous pouvons utiliser s'appelle la méthode du courant de maille, et elle utilise également un système de deux équations.
La deuxième et la troisième méthode sont des moyens extrêmement efficaces et élégants de rationaliser l'analyse des circuits. Avec de petits circuits, ce niveau d'efficacité n'est pas vraiment substantiel, mais dès que le circuit en question devient grand, elles peuvent être extrêmement utiles pour calculer rapidement toutes les valeurs nécessaires dans ledit circuit.
Les circuits simples auxquels tu auras affaire au lycée ne sont pas très courants dans la vie de tous les jours. En revanche, les circuits complexes sont omniprésents. Un exemple familier serait la carte mère d'un PC. Si nous voulions effectuer une analyse de circuit sur un circuit aussi grand, simplifier les centaines de composants et appliquer une approche telle que les lois de Kirchhoff pourrait être fait, mais ne serait ni efficace ni durable. C'est pourquoi des simulateurs et des outils logiciels ont été mis au point pour effectuer des analyses de circuits qui peuvent traiter automatiquement des circuits très complexes comme ceux-ci.
Techniques d'analyse des circuits
Maintenant que nous savons ce qu'exigent les différents types d'analyse de circuits, voyons comment ils fonctionnent, en commençant par l'application des lois fondamentales.
Application des lois fondamentales
Effectuer une analyse de circuit en appliquant les lois fondamentales est faussement simpliste. Si tu suis ces étapes, tu seras en mesure d'effectuer une analyse de circuit sur n'importe quel circuit donné.
En utilisant la convention de signe pour les composants passifs, étiquette les tensions et les courants.
Choisis une variable indépendante pour créer les équations les plus simples. Dans le cas des circuits, tu dois choisir entre la tension et le courant. Pour choisir, tu dois déterminer le nombre d'inconnues dans chaque cas. Si tu as plus de tensions inconnues, il serait préférable que tu choisisses d'utiliser le courant comme variable indépendante, et vice versa.
Tu dois écrire ces équations en utilisant soit la loi du courant de Kirchhoff, soit la loi de la tension de Kirchhoff, et dans certains cas, il se peut que tu utilises les deux ! Lorsque tu effectues cette étape, assure-toi que chaque élément de ton circuit est inclus dans au moins une des équations.
Une fois que tu as ton système d'équations, tu devrais pouvoir le résoudre algébriquement pour trouver chaque valeur inconnue que tu veux connaître.
La méthode de la tension au nœud
La méthode de la tension au nœud est une autre méthode que nous pouvons utiliser pour effectuer l'analyse des circuits, et elle est basée sur la loi du courant de Kirchhoff.
Latension de nœud est la différence de potentiel entre deux nœuds sur un circuit. Un nœud est un point du circuit où deux ou plusieurs branches se rencontrent, ou se connectent.
Laprincipale difficulté liée à l'utilisation de la méthode de la tension des nœuds est que nous devons effectuer deux fois plus d'équations qu'il n'y a de composants dans le circuit . Pour compléter la méthode de tension de nœud, nous devons effectuer les étapes suivantes :
Assigner un nœud comme nœud de référence. À ce stade, la tension est nulle, et nous mesurons la tension à travers chaque autre nœud à partir du nœud de masse. Une fois que nous avons attribué le nœud de référence, nous attribuons des noms à chacun des autres nœuds.
Résous d'abord les nœuds les plus faciles. Le nœud le plus facile à résoudre est celui auquel une source d'alimentation est directement connectée.
Ensuite, calcule la loi du courant de Kirchhoff pour chaque nœud. En plus de cela, tu dois également calculer la résistance à l'aide de la loi d'Ohm et écrire immédiatement le courant en termes de résistance pour chaque nœud.
Une fois que tu as calculé et écrit les lois de Kirchhoff concernant le courant en utilisant la loi d'Ohm, tu découvriras que tu as un système d'équations. En résolvant ce système d'équations, tu obtiendras la tension aux bornes d'un nœud.
Enfin, après avoir calculé les tensions des deux nœuds, tu peux résoudre les courants inconnus que tu veux trouver en utilisant la loi d'Ohm.
La méthode du courant de maille
La dernière méthode que nous pouvons utiliser pour effectuer une analyse de circuit est la méthode du courant de maille. Cette méthode d'analyse de circuit est similaire à la méthode de tension de nœud, dans le sens où elle nous oblige à résoudre deux fois le nombre d'éléments du circuit d'équations. La méthode du courant de maille est basée sur la loi de tension de Kirchhoff.
Avant d'aller plus loin, nous devons introduire une nouvelle terminologie : les boucles et les mailles.
En ce qui concerne la méthode du courant de maille, une boucle est un chemin fermé autour d'un circuit, qui ne se croise pas lui-même. Tu choisis un point de départ et tu dessines une boucle jusqu'à ce que tu reviennes à ce même point de départ.
Dans la méthode de courant de maille, une maille est toute boucle qui ne contient pas de boucle plus petite à l'intérieur d'elle-même.
D'après les définitions ci-dessus, nous pouvons voir que toutes les mailles sont des boucles, mais que toutes les boucles ne sont pas des mailles ! Mais quelles sont les étapes à suivre pour utiliser la méthode du courant de maille ?
Lorsque nous utilisons la méthode du courant de maille, nous ne voulons vraiment nous occuper que des mailles. Par conséquent, notre première étape consiste à identifier les mailles du circuit.
Une fois que tu as identifié chaque maille du circuit, attribue à chacune une variable de courant, en utilisant une direction cohérente autour de la maille pour chacune d'entre elles.
Complète la loi du courant de Kirchhoff autour de chaque maille. Tu obtiendras ainsi un système d'équations.
Avec notre système d'équations, nous pouvons résoudre le problème pour obtenir le courant à l'intérieur de chaque maille.
Enfin, une fois que tu as obtenu les courants de chaque maille, tu peux résoudre les courants et les tensions de chaque élément à l'aide de la loi d'Ohm.
Exemples d'analyse de circuits
Voyons un problème d'exemple pour chacune de ces méthodes, en suivant toutes les étapes énoncées précédemment.
Exemple de la méthode des lois fondamentales
Pour démontrer la franchise de la méthode des lois fondamentales, reprenons l'exemple de la résistance de tout à l'heure.
Après avoir simplifié le circuit apparemment compliqué impliquant cinq résistances, nous avons constaté que la source de tension \(10 \N, \Nmathrm{V}\N) produit suffisamment de courant pour alimenter \N(5 \N, \NOmega\N). En tenant compte de cela, le schéma du circuit peut être simplifié en celui visible ci-dessous.
Nous pouvons maintenant appliquer la loi d'Ohm
$$ V = I \, R$$
pour trouver que le courant dans le circuit est
$$ I = \frac{V}{R} = \frac{10 \, \mathrm{V}}{5 \, \mathrm{\Omega}}$$$$ I = 2 \, \mathrm{\Omega}}$$$$$$$$$$.
$$ I = 2 \Nmathrm{A}$$$
Exemple de méthode de tension de nœud
Voyons maintenant un exemple plus compliqué. Dans ce cas, nous utiliserons la méthode de la tension du nœud ; cependant, c'est à toi de décider quelle méthode utiliser, car les deux mèneront au même résultat.
Le schéma de circuit de la figure ci-dessous est composé de trois résistances et de deux sources de tension. Trouve le courant qui passe par \(R_1\) et \ (R_3\).
Pour décider de la méthode à utiliser, compte le nombre de nœuds et de mailles présents. Celle qui comporte le moins d'éléments nécessitera moins d'équations et sera plus efficace !
Ici, le circuit a un nœud principal (l'autre en bas est considéré comme un nœud de référence) et deux mailles, la méthode de la tension des nœuds est donc le choix le plus logique. D'après la définition de la méthode, nous utiliserons la loi du courant de Kirchhoff.
La seule valeur inconnue de la tension que nous cherchons à trouver est située au nœud principal, nous l'appellerons donc \ (V_{mathrm{N}}}). À ce nœud, la tension est la plus élevée, contrairement aux deux sources de tension fournies,
$$ V_{\mathrm{N}} > 8 \N, \mathrm{V} > 4 \N, \mathrm{V} $$
car nous supposons que le courant part de ce point.
Si l'on considère que le courant ne fait que quitter le nœud, la valeur de \(I_{\mathrm{entering}}\) est nulle. Mathématiquement, on peut l'exprimer comme suit
$$ I_1 + I_2 + I_3 = 0.$$
Nous pouvons maintenant réexprimer chaque courant à l'aide de la loi d'Ohm, où la tension sera la différence de potentiel entre le nœud principal et chaque source de tension comme suit :
$$ \frac{V_{mathrm{N}} - V_1}{R_1} + \frac{V_{\mathrm{N}}-V_2}{R_2} + \frac{V_{\mathrm{N}}-V_3}{R_3} = 0.$$
Après avoir introduit nos valeurs dans le schéma électrique, nous obtenons
$$ \frac{V_{\mathrm{N}} - 4 \, \mathrm{V}}{3 \, \Omega} + \frac{V_{\mathrm{N}}-0 \, \mathrm{V}}{6 \Omega} + \frac{V_{\mathrm{N}-8 \, \mathrm{V}}{3 \, \Omega} = 0,$$.
Le dénominateur commun dans ce cas est \N(6 \N,\NOmega\N), donc les premier et troisième termes sont multipliés par \N(2\N) de sorte que l'équation se simplifie en :
$$ 2 \N- V_{\mathrm{N}} - 8 \, \mathrm{V} + 2 \N- V_{\mathrm{N}} - 16 \N- \N- \N- \NMathrm{V} + V_{\mathrm{N}} = 0 $$
$$ 5 \cdot V_{mathrm{N}} = 24 \, \mathrm{V}$$$
$$ V_{\mathrm{N}} = 4,8 \N, \mathrm{V} $$
Nous pouvons maintenant utiliser cette nouvelle valeur pour trouver le courant qui traverse chaque résistance en appliquant une fois de plus la loi d'Ohm pour obtenir les valeurs suivantes :
$$ I_1 = \frac{4.8 \, \mathrm{V} - 4 \, \mathrm{V} }{3 \Nméga} = 0,3 \Nmathrm{A}$$.
et
$$ I_2 = \frac{4.8 \Nmathrm{V} - 8 \Nmathrm{V} }{3 \Nméga} = -1,1 \Nmathrm{A}.$$
Le signe négatif devant le courant \(I_2\) indique que la direction que nous avons initialement supposée est opposée à la direction réelle du courant et doit être inversée.
Exemple de la méthode du courant de maille
Résolvons le même exemple que dans la méthode de la tension du nœud, en utilisant uniquement la méthode du courant de maille, pour confirmer que les résultats sont identiques dans les deux cas.
Même si nous avons établi que dans ce circuit particulier, la méthode de la tension du nœud est plus efficace, faire l'analyse en utilisant la méthode du courant de maille devrait nous donner les mêmes résultats. Nous pouvons voir le même schéma de circuit que précédemment dans la figure ci-dessous, mais cette fois-ci, il présente les deux mailles. Trouvons la valeur du courant dans chaque maille. D'après la définition de la méthode, nous utiliserons la loi de tension de Kirchhoff.
Analysons chaque maille, séparément.
Dans la première maille,
- Le courant circule dans le sens des aiguilles d'une montre ; par conséquent, la tension de source \(V_S\) aura un signe négatif ;
- La tension dans la première résistance peut être exprimée à l'aide de la loi d'Ohm et aura un signe positif en raison du sens positif du courant ;
- La deuxième résistance est partagée entre les deux mailles et est traversée par deux courants (\(I_1\) et \( I_2\)), qui contribuent donc tous deux à la tension et qui, une fois de plus, peut être exprimée à l'aide de la loi d'Ohm;
- Il est important de noter que lorsque tu travailles avec la première maille, \(I_1\) est considéré comme positif et \(I_2\) comme négatif. Les signes s'inversent lorsque l'on travaille avec la deuxième maille.
Mathématiquement, toutes ces observations peuvent être exprimées comme suit
$$ V_S + V_1 + V_2 = 0$$
$$ V_S + R_1 \, I_1 + R_2 \cdot (I_1 - I_2) = 0$$$
$$ -4 \N- \N- \N- \N- \N- \NMathrm{V} + 3 \Nméga \Ncdot I_1 + 6 \Nméga \Ncdot (I_1 - I_2)= 0$$.
Après avoir simplifié cette expression, nous obtenons la première équation de notre système d'équations
$$ 9 \N- I_1 - 6 \N- I_2 = 4 \N- \Nmathrm{V}$$$.
où \(I_1\) et \(I_2\) sont les deux valeurs inconnues.
Dans la deuxième maille,
- La boucle part de la résistance partagée \(R_2\), nous exprimons donc la tension à l'aide de la loi d'Ohm et nous considérons les deux courants qui la traversent, en nous souvenant de la convention de signe mentionnée plus tôt ;
- La tension aux bornes de \(R_3\) est exprimée à l'aide de la loi d'Ohm ;
- La tension dans la deuxième source est donnée et aura un signe positif puisque la boucle entre dans la source de tension par l'extrémité positive.
Toutes ces observations conduisent à l'expression suivante
$$ 6 \, \Omega \cdot (I_2 - I_1) + 3 \, \Omega \cdot I_2 + 8 \, \mathrm{V} = 0 \, \mathrm{V}$$$.
qui se simplifie en notre deuxième équation
$$ 9 \N- I_2 - 6 \N- I_1 = -8. $$
En combinant les deux équations contenant les deux inconnues, nous trouvons que les courants traversant chaque maille sont les suivants
$$ I_1 = -\frac{4\, \mathrm{V} }{15\, \Omega } = - 0.3\, \mathrm{A}$$.
et
$$ I_2 = -\frac{16\, \mathrm{V} }{15\, \Omega } = - 1,1 \, \mathrm{A}$$.
qui sont les mêmes que les résultats obtenus dans l'exemple ci-dessus. Le signe négatif indique que le sens réel du courant dans chaque maille est opposé à celui que nous avons choisi initialement.
Analyse des circuits électriques - Principaux enseignements
- L'analyse des circuits est l'analyse mathématique de tout circuit électrique.
- Un schéma de circuit peut être analysé en décomposant les schémas d'un circuit, en simplifiant les résistances en une seule et en appliquant les lois fondamentales de la physique.
- Il existe trois techniques principales d'analyse des circuits : les lois fondamentales, l'utilisation de la méthode de la tension du nœud ou la méthode du courant de maille.
- La loi d'Ohm est une loi fondamentale utilisée pour analyser les circuits électriques.
- Mathématiquement, la loi d'Ohm peut être exprimée par \N(V = I \N, R\N).
- La méthode de la tension au nœud est basée sur la loi du courant de Kirchhoff.
- La méthode du courant de maille est basée sur la loi de tension de Kirchhoff.
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