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Présentation de l'équation de Bernoulli
Avant d'examiner les différentes applications de l'équation de Bernoulli, rappelons le principe sur lequel elle repose : le principe de Bernoulli.
Le principe de Bernoulli énonce que la pression exercée par un fluide en mouvement est inversement proportionnelle à sa vitesse dans un écoulement horizontal.
Ce principe a été prouvé par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, qui lui a donné son nom. En d'autres termes, l'énergie mécanique totale d'un liquide ou d'un gaz en mouvement reste inchangée en tout point d'uneligne de courant , en supposant que le fluide en question est incompressible et que sa viscosité est nulle. Cette énergie totale se compose de l'énergie de pression statique, de l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'élévation et de l'énergie cinétique du fluide en mouvement . Tous les termes énergétiques respectifs sont facilement reconnaissables dans l'équation de Bernoulli définie ci-dessous.
L'équation de Bernoulli
Nous pouvons utiliser ce principe et la loi de conservation de l'énergie pour dériver l'équation de Bernoulli:
$$ P_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2} \rho v^2_1 = P_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2} \rho v^2_2.$$
Ici , \(P\) est la pression statique mesurée en pascals (\(\mathrm{Pa}\)), \ (\rho\) est la densité du fluide \(\gauche(\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}\droite)\), \( g\) est l'accélération due à la gravité \(\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right)\), \(y\) est l'élévation du fluide mesurée en mètres (\(\mathrm{m}\)), et \ (v\) est la vitesse du fluide \(\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)\). L'indice indique simplement les valeurs respectives en deux points particuliers d'un système fermé, comme le montre la figure 1 ci-dessous.
Fig. 1 - L'équation de Bernoulli peut être décomposée en ses éléments pour un fluide s'écoulant dans un tuyau du point \(A\) au point \(B\).
L'équation de continuité
Une autre relation importante à prendre en compte lorsqu'on traite de l'équation de Bernoulli, et de la mécanique des fluides en général, est l'équation de continuité , dérivée du principe de conservation de la masse. Mathématiquement, elle peut être exprimée comme suit
$$ A_1v_1=A_2v_2 $$
où \ (A_1\) et \(A_2\) sont les sections transversales du tuyau en deux endroits différents, correspondant à la vitesse \(v\) du fluide en chaque point. En d'autres termes,pour un fluide incompressible en écoulement streamline, la masse du fluide passant par les différentes sections transversales reste égale.Cette relation est visualisée dans la figure 2 ci-dessous.
Application de l'équation de Bernoulli dans la vie réelle
L'équation de Bernoulli a de nombreuses applications dans notre vie quotidienne, expliquant le mouvement des gaz et des liquides dans les tuyaux, les instruments, les équipements médicaux, et bien d'autres. Voici quelques exemples de scénarios de la vie réelle :
Natation - Pour nager le plus efficacement possible, on peut allonger les pieds, pointer les orteils et ajuster l'angle des mains. On obtiendra ainsi une force de portance maximale et une force de traînée minimale.
Effet Magnus - Une balle en rotation entraîne l'air avec elle en raison du frottement, de sorte que la vitesse du flux d'air diminue d'un côté de la balle tout en augmentant de l'autre.
Ailes d' avion - La forme d'une aile d'avion est plus incurvée en surface ; la vitesse de l'air environnant est donc plus élevée au sommet de l'aile qu'à sa base.
Atomiseurs - Dispositif utilisé pour émettre des liquides en une fine pulvérisation, composé de deux tubes reliés perpendiculairement l'un à l'autre. Lorsque l'air est poussé à travers le tube horizontal, la vitesse du flux d'air augmente au-dessus du tube vertical et diminue la pression de l'air.
Mesure de la pression artérielle - Un sphygmomanomètre comprime l'artère, créant une différence de section transversale, qui peut être utilisée pour mesurer le débit sanguin et déterminer la pression artérielle .
Compteur Venturi - Instrument qui mesure le débit d'un fluide dans un tuyau en utilisant la différence de pression créée par les différentes surfaces de section.
Tu trouveras des explications plus approfondies sur chacun de ces exemples dans les sections suivantes, ainsi que dans d'autres articles de StudySmarter !
Application et limites de l'équation de Bernoulli
Avant de nous plonger plus profondément dans certaines des applications mentionnées ci-dessus, nous devons reconnaître qu'il y a certaines limites à prendre en compte lorsque l'on applique l'équation de Bernoulli à un système.
Limites de l'équation de Bernoulli
Cela suppose une vitesse uniforme. Dans la réalité, ce n'est pas le cas. Considérons par exemple un fluide qui s'écoule dans un tuyau. Dans la région centrale, le fluide aura sa vitesse maximale. La vitesse diminuera à mesure qu'il s'approchera des parois du tuyau.
Cela suppose que la viscosité est nulle. Si c'était le cas, le fluide s'écoulerait indéfiniment. En pratique, cependant, le fluide est ralenti par les interactions intermoléculaires qui créent une friction interne.
Elle suppose une conservation totale de l'énergie. Bien que cette hypothèse soit correcte, une partie de l'énergie est convertie en chaleur et ne contribue donc pas à l'énergie totale du système, qui se compose de l'énergie de pression, de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. De même, une partie de l'énergie peut être perdue en raison de la force de cisaillement (le fluide est poussé dans différentes directions).
Cette équation ne tient pas compte de la contribution potentielle de la force centrifuge due à la trajectoire courbe du fluide.
Application de l'équation de Bernoulli en médecine
L'équation de Bernoulli peut souvent être appliquée à la médecine, car le transport de médicaments liquides, d'oxygène et de fluides corporels est un aspect crucial du traitement d'un patient. Un exemple très distinct est la procédure de mesure de la pression artérielle. Un outil médical appelé sphygmomanomètre est gonflé autour d'un bras pour arrêter temporairement le flux sanguin dans une artère .Lorsque la pression du brassard est lentement relâchée, l'artère se dilate et le sang revient dans le bras.
Il y a deux sources d'énergie potentielle à considérer ici : l'énergie stockée dans les parois de l'artère sous forme de capacité et le cœur qui agit comme une pompe et fait avancer le sang. Ces deux sources sont converties en énergie cinétique lorsque le sang se déplace, ce qui signifie que l'énergie totale du système reste inchangée, comme le prévoit le principe de Bernoulli .
Lorsque le brassard comprime ou décomprime l'artère, on peut la considérer comme un tuyau dont le diamètre varie. L'artère change de section, donc la vitesse change aussi. C'est une application directe de l'équation de continuité.
Application de l'équation de Bernoulli au compteur Venturi
Déterminer le débit d'un fluide dans un système nécessite un outil précis et efficace. Un instrument simple et fiable, reposant directement sur le principe de Bernoulli, est le compteur Venturi.
Un compteur vent uri est un instrument utilisé pour mesurer le débit d'un fluide s'écoulant dans un tuyau.
Il se compose de trois parties :
Une section convergente ;
Une gorge ;
Une section divergente.
Le but est de créer une différence de pression à l'intérieur du tuyau en modifiant sa section transversale. Un manomètre peut alors être utilisé pour mesurer la pression du fluide qui s'écoule, et connaissant le diamètre de chaque section, il suffit de calculer la pression du fluide dans les autres parties du tuyau.
Fig. 3 - Le compteur Venturi peut être utilisé pour déterminer efficacement la pression d'un fluide dans un tuyau.
Il n'a pas de pièces mobiles ni d'impact radical sur le débit, ce qui en fait une solution idéale pour mesurer le flux d'air dans les voitures, ou le gaz naturel dans les pipelines.
Appliquons l'équation de Bernoulli à un problème pratique impliquant un compteur à venturi.
Un compteur venturi a deux sections différentes aux points \N(1\N) et \N(2\N), \N(8,0\N, \Nmathrm{cm^2}\N) et \N (4,0\N, \Nmathrm{cm^2}\N) respectivement .
Fig. 4 - Un exemple de problème de compteur à venturi.
Le niveau d'eau dans les tubes au-dessus de ces points présente une différence de hauteur de \ (30 \N, \Nmathrm{cm}\N), comme le montre la figure 4. Calcule la vitesse aux points \(1\).
Réponse :
À partir de l'équation de Bernoulli, nous pouvons dériver une expression pour la vitesse. Ici, les points \N (1\N) et \N(2\N) sont à la même altitude, ce qui signifie \N(y_1=y_2=0\N), nous pouvons donc nous débarrasser du terme d'énergie potentielle :
$$ P_1 + \bcancel{\rho g y_1} + \frac{1}{2}\rho v^2_1 = P_2 + \bcancel{\rho g y_2} + \frac{1}{2} \rho v^2_2.$$
Nous pouvons maintenant réarranger l'expression pour que tous les termes identiques soient du même côté
$$ P_1-P_2=\frac{1}{2} \rho v^2_2 - \frac{1}{2}\rho v^2_1$$.
ce qui peut être simplifié en
$$ \Delta P = \frac{1}{2} \rho \left ( v^2_2 - v^2_1 \right ). $$
Nous pouvons maintenant utiliser l'équation de continuité
$$ A_1v_1=A_2v_2 $$
pour obtenir une expression de la vitesse au point \(2\) :
$$ v_2=\frac{A_1 \, v_1}{A_2}.$$
Cette équation peut être introduite dans l'équation de la différence de pression comme suit :
\begin{align} \Delta P & = \frac{1}{2} \rho \left ( \left ( \frac{A_1 \, v_1}{A_2}\right )^2 - v^2_1 \right ) \\N- Delta P & = \Nfrac{1}{2} \rho \left ( \frac{A_1^2 \, v_1^2}{A_2^2} - v^2_1\right ) \rho \Delta P & = \frac{1}{2} \rho v_1^2\left ( \frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right ).\end{align}
Le terme de différence de pression peut être exprimé à l'aide de l'expression de la pression exercée par les fluides :
$$ \Delta P = \rho g h $$
où la différence de hauteur entre les deux niveaux d'eau dans les tubes (\(h_1\) et \(h_2\)) est fournie dans le problème. Nous pouvons maintenant rendre ces deux termes \(Delta P\) égaux et les réarranger pour obtenir le terme de vitesse :
\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N{align} \bcancel{\rho} g h & = \frac{1}{2} \bcancel{\rho} v_1^2\left ( \frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right ) \\c 2gh&= v_1^2\left ( \frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right ) \sqrt{v_1^2}&=\sqrt{\frac{2gh}{\left ( \frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right }} \\N- v_1&=\sqrt{\frac{2gh}{\left ( \frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right ) }}.\N- end{align}
Insérons nos valeurs pour trouver la vitesse au point \(1\) :
\begin{align} v_1&=\sqrt{\frac{2gh}{\left ( \frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right ) }} \N- v_1&=\sqrt{\frac{2\left(9.8 \N, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\right)(0.30 \N, \mathrm{m})}{\left ( \frac{8.0}{4.0} \right )^2-1\right ) }} \\ v_1&=1.4 \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.\end{align}
Application de l'équation de Bernoulli au génie civil
Le génie civil s'occupe de la construction et de l'entretien des infrastructures qui nous entourent. Il implique souvent l'application du principe et de l'équation de Bernoulli. L'aile d'un avion en est un exemple très précis.
La forme d'une aile d'avion est construite de manière à prendre en compte le principe de Bernoulli. Comme l'aile est plus courbée en surface, la vitesse de l'air environnant est plus élevée au sommet de l'aile qu'à sa base. Lorsque l'avion se déplace, le contre-courant de l'air sous l'aile crée une pression dynamique plus importante qu'au-dessus. En atteignant une certaine vitesse, la force de portance devient plus importante que la force de gravité et l'avion décolle du sol. En revanche, pour que l'avion atterrisse à nouveau sur le sol, la vitesse doit être réduite.
Voyons un exemple de problème impliquant cette force de portance !
Un petit avion typique a une masse de \(6.00\times10^3 \, \mathrm{kg} \) et ses ailes ont une surface de \(100\,\mathrm{m^2}\). Si la vitesse à l'extrados de l'aile est de \( 50,0 \N, \frac{\Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s}}\N), et à l'intrados elle est de \ ( 40,0 \N, \frac{\Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s}}\N), quelle est la force de portance qui s'exerce sur l'aile ? Utilise \(1.29 \, \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\) pour la densité de l'air.
Réponse :
Nous pouvons suivre la même logique pour l'équation de la différence de pression, telle qu'elle a été complétée ci-dessus, dans l'exemple du compteur à venturi pour dériver une expression pour la force.
Il n'y a pas d'élévation, donc les termes d'énergie potentielle s'annulent
$$ P_1 + \bcancel{\rho g y_1} + \frac{1}{2}\rho v^2_1 = P_2 + \bcancel{\rho g y_2} + \frac{1}{2} \rho v^2_2.$$
ce qui nous laisse l'expression suivante après simplifications :
$$ P_1-P_2 = \frac{1}{2} \rho \left ( v^2_2 - v^2_1 \right ). $$
Nous savons que
$$P=\frac{F}{A}$$$
nous pouvons donc multiplier les deux côtés par \(A\) pour obtenir
$$ (P_1-P_2)A = \frac{1}{2} \rho A \left ( v^2_2 - v^2_1 \right ). $$
La force de portance est
$$ F_L=\Delta F = F_1 - F_2,$$
Par conséquent, nous pouvons utiliser le fait que
$$\Delta F=\Delta PA= (P_1-P_2)A$$$
pour remplacer la partie gauche par \(F_\mathrm{L}\)
$$ F_\mathrm{L} =\frac{1}{2} \rho A \left ( v^2_2 - v^2_1 \right ).$$
Nous pouvons maintenant introduire les valeurs que nous avons données pour calculer la force de portance agissant sur le plan :
\begin{align} F_\mathrm{L} &=\frac{1}{2}\left(1.29 \N, \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3} \right ) (100\N,\mathrm{m^2}) \left( \frac{\N50.0 \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right )^2 - \left(40.0 \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2\right ) \\N- F_\mathrm{L} &=5.81\Nfois10^4 \N- \Nmathrm{N}.\Nend{align}
Application de l'équation de Bernoulli - Points clés à retenir
- Le principe de Bernoulli stipule que la pression exercée par un fluide en mouvement est inversement proportionnelle à sa vitesse dans un écoulement horizontal.
- L'équation de Bernoulli peut être exprimée mathématiquement comme suit : \(P_1 + \rho g y_1 + \frac{1}{2} \rho v^2_1 = P_2 + \rho g y_2 + \frac{1}{2} \rho v^2_2\).
- L'équation de continuité peut être écrite sous la forme \N(A_1v_1=A_2v_2\N).
- Parmi les limites de l'équation de Bernoulli, on peut citer l'hypothèse d'une vitesse uniforme, d'une viscosité nulle et d'une conservation totale de l'énergie, ainsi que l'ignorance de toute contribution potentielle de la force centrifuge.
- Parmi les applications réelles de l'équation de Bernoulli, on peut citer l'effet Magnus, les ailes d'avion et les atomiseurs.
- L'équation de Bernoulli peut souvent être appliquée à la médecine, par exemple pour mesurer la pression artérielle d'un patient.
- Un compteur à venturi est un instrument utilisé pour mesurer le débit d'un fluide s'écoulant dans un tuyau.
- L'équation de Bernoulli peut être utilisée pour déterminer la force de portance d'un avion.
Références
- Fig. 1 - L'équation de Bernoulli appliquée à un système de tuyaux, StudySmarter Originals.
- Fig. 2 - L'équation de continuité appliquée à un système de tuyaux, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Compteurs Venturi (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venturi_meter,_Alden_Research_Laboratory_-_HAER_077091pu.jpg#/media/File:Venturi_meter,_Alden_Research_Laboratory_-_HAER_077091pu.jpg) par Jet Lowe est sous licence du domaine public.
- Fig. 4 - Exemple de problème avec un compteur Venturi, StudySmarter Originals.
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