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Centre de masse
Le centre de masse est l'endroit où l'on suppose que toute la masse du corps est concentrée.
Le concept de centre de masse simplifie les problèmes de deux manières principales :
- Il fournit un point de référence pour étudier les interactions des corps.
- Il simplifie les trajectoires des objets en représentant leur mouvement à l'aide de la trajectoire du centre de masse.
Forces
Lorsque l'on utilise le centre de masse pour étudier les interactions des corps, les forces n'agissent pas au point de contact, mais plutôt au centre de masse.
Figure 1. Le centre de masse peut aider à simplifier le calcul des forces agissant sur un corps. Dans les corps irréguliers, les forces agissant sur la surface (à gauche) peuvent être simplifiées en forces agissant sur le centre de masse ou CM (à droite).
En exprimant toutes les forces par rapport au centre de masse, les lois de Newton et la superposition des forces peuvent être utilisées pour trouver la force résultante, l'accélération et d'autres variables.
Mouvement
Si les forces agissant sur un objet provoquent un mouvement, on peut le simplifier en disant que son centre de masse se déplace. Dans ce cas, le centre de masse peut être analysé en utilisant les lois de Newton sur le centre de masse ou les équations cinématiques pour obtenir son déplacement, sa vitesse et son accélération.
Figure 2. Lorsqu'une force F agit sur un corps, le mouvement peut être représenté comme le mouvement de son centre de masse ou CM. Ici, le corps qui se déplace de l'instant T1 à l'instant T2 suit une trajectoire provoquée par la force F. Le mouvement du corps peut être représenté par le point noir, qui est son centre de masse.
Centre de gravité triangle
Certains centres de masse peuvent être déterminés plus facilement que d'autres, en fonction de la densité, de la forme et de l'épaisseur de l'objet. Voir l'exemple qui suit :
Disons que tu souhaites obtenir le centre de masse d'un corps régulier et symétrique, tel qu'un carré. Si tu as déjà joué avec un morceau de métal ou de bois carré, tu sais que tu peux le faire tenir en équilibre sur ton doigt en le plaçant au centre du carré.
Fig.3- Le centre de masse d'un carré dont la surface a une densité régulière se trouve en son centre.
Tenir le carré en équilibre est possible parce qu'il a une densité uniforme, ce qui signifie que son poids est le même en tout point. La force qui le tire vers le bas (gravité) est la même partout.
Le centre de masse des objets réguliers, tels qu'un carré, un rectangle, un cercle ou un triangle équilatéral, se trouve au centre de la forme géométrique, comme indiqué ci-dessous :
Fig.4- Centres de masse dans un cercle de rayon arbitraire r, un triangle équilatéral de côté arbitraire l, un rectangle de côtés arbitraires l et L, un anneau de rayons intérieur et extérieur arbitraires (r1 et r2).
Pour de nombreuses figures régulières, leur centre de masse se superpose à un point géométrique appelé centroïde.
Le centroïde est le centre d'une forme géométrique.
Centroïdes
Lorsque la densité et la forme d'un objet sont régulières, le centre de masse se trouve à son centre géométrique ou centroïde, que l'on retrouve dans tous les objets réguliers en 2D ou 3D, tels que les sphères, les cubes et les anneaux.
Figure 5. Les centroïdes de figures 3D régulières. Si la densité est régulière, le centre de masse est le même que le centroïde.
Si le système est constitué d'objets symétriques de densité uniforme, tels que des cercles, des carrés ou des anneaux, les coordonnées de leur centre de masse sont fournies par leurs centroïdes. Après avoir obtenu les coordonnées des centroïdes (x, y), celles-ci peuvent être utilisées pour obtenir le centre de masse de l'ensemble du système.
Calcul centre de gravité
Le centre de masse peut être défini pour un système composé de plusieurs particules, comme lorsqu'on étudie plusieurs charges ou des masses ponctuelles.
Par exemple, s'il y a trois objets, le centre de masse \(G\) peut être trouvé à l'aide de la formule suivante :
\[ \overrightarrow{OG} = \frac{m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + m_3\vec{r_3}}{m_1+m_2+m_3}\]
Ici, les vecteurs \(\vec{r}\) ont pour coordonnées x, y et z mesurées à partir de l'origine. Cette formule est décomposée en trois formules pour les positions x, y et z comme suit :
\[ OG_x = \frac{m_1x_1+ m_2x_2+ m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}\]
\[ OG_y = \frac{m_1y_1+ m_2y_2+ m_3y_3}{m_1+m_2+m_3}\]
\[ OG_z = \frac{m_1z_1+ m_2z_2+ m_3z_3}{m_1+m_2+m_3}\]
Prenons un exemple pour voir comment cela fonctionne.
Un système de trois particules à la configuration indiquée dans l'image ci-dessous. Les particules sont reliées par des forces qui les maintiennent dans une position triangulaire. Une autre force les fait toutes se déplacer le long de l'axe y.
Déterminer le centre de masse qui peut être utilisé pour simplifier le mouvement si les masses respectives sont \(m_1 = 100 g\), \(m_2=50 g\) et \(m_3=64 g\).
Fig.6- Système de particules avec des coordonnées x, y et z. Les particules sont situées sur l'axe y en 0, leur deuxième coordonnée est donc 0.
Il faut calculer chaque coordonnée du centre de gravité du système. Dans cet exemple, les particules se trouvent le long de la position y=0. Le problème nécessite donc simplement de trouver les coordonnées en x et z.
\[ \begin{align}OG_x &= \frac{m_1x_1+ m_2x_2+ m_3x_3}{m_1+m_2+m_3} \\&= \frac{100\times 3 + 50\times 2{,}5 + 64\times 1{,}6}{100+50+64}\\&=2{,}46\approx 2{,}5\end{align}\]
\[ \begin{align} OG_z &= \frac{m_1z_1+ m_2z_2+ m_3z_3}{m_1+m_2+m_3} \\& = \frac{100\times 2{,}3 + 50\times 3{,}5 + 64\times 2{,}7}{100+50+64}\\&=2{,}7 \end{align}\]
On peut alors simplifier le mouvement des trois particules en considérant un seul point en mouvement le long de l'axe y avec les coordonnées x et z données ci-dessus.
Figure 7. Le centre de masse (rose) est le point qui peut être utilisé pour décrire la trajectoire des trois particules en mouvement.
Centre d'inertie
Jusqu'à présent, nous avons utilisé le terme de centre de masse et de centre de gravité de façon interchangeable. En réalité, le centre de masse est la même chose que le centre d'inertie, mais pas exactement la même chose que le centre de gravité.
Le centre de gravité est un concept utile, qui nous aide à simplifier les analyses des forces agissant sur un corps unique ou sur un système composé de différents corps reliés physiquement ou par une force.
Le centre de gravité est le lieu géométrique où la force de gravité agit dans un corps ou un système de corps.
Tous les objets physiques ont une masse. Si la masse est uniforme, nous pouvons facilement simplifier le système de forces lorsque nous analysons un corps en mouvement. Dans ce cas, toute la masse peut être placée au centre de gravité, car la force de gravité agit sur ce point.
Le centre de gravité s'applique également aux corps en rotation. Dans certains de ces cas, cependant, les forces ne sont pas appliquées au centre de masse, mais peuvent provoquer un couple et induire une rotation. Un exemple classique du centre de masse d'un corps en rotation avec une densité régulière est une sphère.
Une boule de billard est frappée exactement en son centre par une force \(F\). La boule peut être considérée comme une sphère de densité régulière, et son centroïde et son centre de masse sont superposés. La boule est également affectée par la force de gravité, qui la tire vers le bas. Une troisième interaction qui se produit est le frottement.
Figure 8. Le mouvement de la boule, l'endroit où la force a été appliquée et la gravité peuvent être simplifiés en considérant le centre de masse (x rouge).
La force de frottement agit parallèlement à la surface de contact et à l'opposé du mouvement de la boule. Cette force agit à une distance \(d\) du centre de la boule, ce qui produit un moment.
Fig.9- Une boule de billard tourne en raison de la force de frottement \(f\), qui est produite à une distance \(d\) de son centre de masse après que la boule ait été projetée avec une force \(F\).
Le couple causé par le frottement est responsable de la rotation de la balle.
Distinction entre les centres
Il ne faut pas confondre le centre de gravité et le centre de masse. L'un dépend de la répartition de la masse d'un corps, tandis que l'autre dépend de la force de gravité qui agit sur le corps. Les deux sont confondus lorsque le champ gravitationnel est uniforme. Voyons l'exemple suivant.
Une barre d'une longueur de \( 10 \) kilomètres s'étend verticalement à la surface de la terre. Sa forme est cylindrique avec une épaisseur A. Le vent ne souffle pas, et il n'y a pas d'autres forces que la gravité.
Dans ce cas, le centre de masse se trouve exactement au milieu de la barre, car la densité est régulière. En revanche, le centre de gravité ne l'est pas. Rappelons-nous la formule de la force de gravité à la surface de la terre.
\[\vec{F}_G=\mathcal{G}\frac{M_{Terre}\;m_{cylindre}}{r^2}\]
Ici, \(\mathcal{G}\) est la constante universelle de gravitation, r est la distance entre le centre de masse de la Terre et chaque partie du cylindre, qui est mesurée en mètres. \(M_{Terre}\) et \(m_{cylindre}\) sont les masses des objets (Terre et chaque partie du cylindre), mesurées en kilogrammes.
La force diminue à mesure que l'on s'éloigne de la surface de la Terre. Si tu sépares la barre en petits cylindres d'une hauteur de \( 10 cm \) et d'une masse de \( 1 kg \) , les derniers cylindres de cette longue barre ressentent une force gravitationnelle moindre que ceux proches de la surface de la Terre.
Cela signifie que le haut de la barre pèse moins, et que le centre de gravité est plus bas que le centre de masse.
Voici quelques différences fondamentales entre le centre de masse et le centre de gravité.
Centre de masse | Centre de gravité |
Utile pour analyser le mouvement d'un objet. | Utile pour analyser la stabilité d'un objet soumis à des forces gravitationnelles. |
Dépends de la masse de l'objet. | Dépends de la masse et de la gravité. |
Peut coïncider avec le centroïde dans les objets symétriques de densité régulière. | Peut ne pas coïncider avec le centroïde dans les objets symétriques de densité régulière, car il dépend de la position dans le champ de gravité. |
Mouvement d'un projectile
Lors du lancement d'un projectile en mouvement parabolique, le centre de masse reste stable, même si l'objet tourne pendant son déplacement. Dans ce cas, l'objet tourne autour de son centre de masse, qui décrit une parabole, comme illustré ci-dessous.
Fig.10 - Un objet lancé sur une trajectoire parabolique tourne autour de son centre de masse ou CM qui décrit un mouvement parabolique.
Dans le cas du lancement d'une fusée ou d'un projectile, si l'objet se sépare en deux parties, le mouvement du centre de masse suit la trajectoire originale, tandis que les parties du projectile suivent des trajectoires différentes, comme illustré ci-dessous.
Fig.11- Dans un lancement de fusée, les parties qui se séparent de la fusée (a et b) suivent des trajectoires différentes de celle du centre de masse (ligne pointillée).
Centre de Gravité - Points clés
- Le centre de masse est l'endroit où l'on peut supposer que toute la masse est concentrée dans un corps.
- Le centre de masse est utile pour simplifier les forces agissant sur un corps ou son mouvement.
- Le centroïde est le centre géométrique d'un objet.
- Le centre de masse et le centroïde coïncident pour les corps à symétrie régulière et à densité uniforme.
- Le centre de gravité est le lieu géométrique où l'on peut supposer que la force de gravité agit sur un corps.
- Le centre de gravité et le centre de masse ne sont pas identiques. Une caractéristique qui les distingue est que le centre de gravité dépend de la force de gravité, alors que le centre de masse n'en dépend pas.
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Questions fréquemment posées en Centre de gravité
Où se trouve le centre de gravité ?
Légèrement en dessous du centre de masse, le centre de gravité se trouve là où la résultante des forces de gravité s'applique.
Comment démontrer qu'un point est le centre de gravité ?
Si on peut tenir l'objet en équilibre sur un point, alors il s'agit du centre de gravité de l'objet.
Quel est le centre de gravité d'un triangle ?
Si la densité du triangle est uniforme, alors son centre de gravité se trouve à l'intersection des médianes du triangle.
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