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Fig. 1 - Le système électrique derrière un feu de circulation est entretenu par un circuit RC.
Un rôle particulièrement important de ces circuits est l'entretien et la synchronisation des feux de circulation. Ces dispositifs, qui indiquent aux conducteurs quand ils peuvent continuer en toute sécurité, sont essentiels à la sécurité routière dans le monde entier. En faisant varier le nombre de résistances et la charge du condensateur dans les circuits RC, les ingénieurs peuvent les utiliser pour modifier le temps alloué à un feu rouge ou à un feu vert. Pour en savoir plus sur les circuits RC et leur fonctionnement, continue de lire !
Définition des circuits RC
Tout d'abord, définissons un circuit RC et son fonctionnement. En nous référant à la figure ci-dessous, nous avons un circuit simple qui relie un condensateur chargé de capacité \(C\), à une résistance \(R\).
Fig. 2 - La configuration d'un circuit RC.
Lorsqu'un condensateur chargé est connecté à la résistance, il décharge l'énergie électrique qu'il a emmagasinée par le biais du courant électrique dans le circuit. Cependant, la valeur du courant est déterminée par la résistance de la résistance ; l'ajout d'autres résistances en série et en parallèle modifiera le courant et la tension résultants dans le circuit. Au bout d'un certain temps, l'énergie électrique stockée dans le condensateur sera épuisée, ce qui entraînera un courant nul. Les applications des circuits RC à résistances multiples comprennent les filtres passe-bas, qui seront abordés dans les sections suivantes de cet article.
Équations des circuits RC
Maintenant que nous comprenons la configuration d'un circuit RC, voyons comment nous pouvons décrire ce qui se passe mathématiquement. Tout d'abord, réfléchissons au courant qui traverse les deux composants. Selon la loi du courant de Kirchoff, le courant qui traverse le condensateur doit être égal et opposé à celui qui traverse la résistance. Nous pouvons l'écrire comme suit
\[ I_{\text{C}} + I_{\text{R}} = 0 ,\]
où \(I_{\text{C}}\) est le courant qui traverse le condensateur et \(I_{\text{R}}\) est le courant qui traverse la résistance, tous deux mesurés en ampères \(\mathrm{A}\). Nous pouvons maintenant substituer nos équations reliant le courant à la tension aux bornes du composant, ce qui, pour un condensateur, donne
\[ I_{\text{C}} = C \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} ,\]
où \(C\) est la capacité mesurée en farads \(\mathrm{F}\), \(V\) est la tension mesurée en volts \(\mathrm{V}\), et \(t\) est le temps mesuré en secondes \(\mathrm{s}\). Pour une résistance, cela est donné par la loi d'Ohm
\[ I_{\text{R}} = \frac{V}{R} ,\]
où \(R\) est la résistance mesurée en ohms \(\Omega\).
Nous pouvons maintenant substituer ces expressions dans notre équation de la loi du courant pour obtenir
\[ C \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} + \frac{V}{R} = 0,\]
qui est une équation différentielle du premier ordre.
La résolution de cette équation nous donnera l'expression de la tension dans le circuit en fonction du temps. Tout d'abord, nous réarrangeons légèrement l'équation comme suit
\[ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = - \frac{1}{CR} V ,\]
où nous avons séparé les différentielles des constantes et des variables de chaque côté. Tu peux résoudre cette équation différentielle avec la méthode qui te convient le mieux. Dans cet article, nous utiliserons la méthode de séparation des variables, ce qui donne
\[ \begin{align} \int^{V}_{V_0} \frac{1}{V'} \mathrm{d} V' &= \int^{t}_0 - \frac{1}{CR} \mathrm{d} t \\N- \ln(V) - \ln(V_0) &= \frac{-t}{CR} \\ \ln(\frac{V}{V_0}) &= \frac{-t}{CR} \\ \frac{V}{V_0} &= e^{\frac{-t}{CR}} \NV(t) &= V_0 e^{\frac{-t}{CR}} . \Nend{align} \]
On obtient ainsi l'équation de la tension dans un circuit RC.
Constante de temps dans un circuit RC
Une caractéristique importante d'un circuit RC est sa constante de temps.
La constante de temps d'un circuit RC est le temps qu'il faut au condensateur pour augmenter ou diminuer sa tension à une fraction de \(\frac{1}{e}\approx0,632\) (où \(e\) est le célèbre nombre d'Euler) de sa valeur initiale ou finale, selon que le système est en train de se charger ou de se décharger.
Une autre façon de l'envisager est le temps nécessaire pour que la valeur initiale du système atteigne \(\frac{V_0}{e} \). Ainsi, nous pouvons utiliser notre équation dérivée pour la tension et substituer cette expression pour déterminer notre constante de temps pour un circuit RC. Celle-ci est donnée par
\[ \begin{align} \frac{V_0}{e} &= V_0 e^{\frac{-\tau}{CR}} \\ \frac{\bcancel{V_0}}{e} &= \bcancel{V_0} e^{\frac{-\tau}{CR}} \\N- e^{-1} &= e^{\frac{-\tau}{CR}} \\N- -1 &= \frac{-\tau}{CR} \\ \tau &= CR , \end{align} \]
où nous avons noté la constante de temps comme \(\tau\) mesurée en unités de secondes \(\mathrm{s}\). Par conséquent, nous pouvons voir que la constante de temps caractéristique d'un circuit dépend de la résistance totale et de la capacité totale dans le circuit.
Déchargement d'un circuit RC
Un circuit RC peut avoir deux orientations : la charge et la décharge.
On parle de circuit RC en charge lorsque le condensateur et la résistance sont connectés à une source d'énergie, ce qui permet aux charges opposées de s'accumuler sur les plaques du condensateur.
D'un autre côté, nous avons aussi un condensateur qui se décharge.
Un circuit RC de décharge est un condensateur chargé connecté à une résistance, l'énergie électrique du condensateur circulant dans le circuit sous forme de courant.
Nous avons déjà vu comment calculer la tension à l'intérieur d'un circuit RC qui se décharge, nous pouvons donc la représenter graphiquement dans la figure ci-dessous.
Fig. 3 - La tension aux bornes du condensateur dans un circuit RC qui se décharge.
Ainsi, nous pouvons voir la décroissance exponentielle de la quantité de tension présente dans le circuit. Au bout d'un certain temps, lorsque le condensateur n'aura plus d'énergie électrique, la tension dans le circuit atteindra un état stable et s'approchera de zéro.
Un état stable est défini comme un état dans lequel un système, en moyenne, ne présente pas de fluctuations significatives.
En revanche, un circuit RC en charge suivra un schéma inverse, ce qui donne le graphique ci-dessous.
Fig. 4 - La tension aux bornes du condensateur d'un circuit RC en charge.
Nous voyons ici qu'un circuit RC en charge obéit à un schéma inverse, sa tension augmentant de façon exponentielle au fil du temps et atteignant un plateau au bout d'un certain temps. La tension maximale atteinte par le condensateur est déterminée par la résistance et la capacité totales du circuit. Ce graphique peut être représenté mathématiquement comme suit
\[ V(t) = V_0 \left( 1 - e^{\frac{-t}{CR}} \right) .\]
Fréquence de coupure d'un circuit RC
Une application des circuits RC est le filtre passe-bas.
Un filtre passe-bas est un circuit qui laisse passer les basses fréquences d'un signal tout en filtrant et en éliminant les hautes fréquences du signal.
Pour bien comprendre le fonctionnement d'un filtre passe-bas, il faut comprendre ce qu'est l'impédance et en quoi elle est similaire à la résistance.
L'impédance d'un composant électrique mesure à quel point le composant s'oppose à un courant alternatif.
Cela ressemble en effet à la définition de la résistance, et l'impédance a même les mêmes unités que la résistance, l'ohm \(\Omega\). L'impédance est une notion plus générale de la résistance, tandis que la résistance est spécifiquement définie comme \(R = \frac{V}{I}\).
Fig. 5 - Montage d'un filtre passe-bas à l'aide d'un circuit RC.
Dans la figure ci-dessus, nous avons le schéma d'un filtre passe-bas qui utilise un circuit RC. Le \(V_{{text{in}}\) représente le signal d'entrée dans le circuit. Il passe ensuite à travers la résistance, puis dans un condensateur et une charge qui sont placés en parallèle l'un par rapport à l'autre. Dans ce cas, la charge représente le signal de sortie \(V_{{text{out}}\).
Si nous avions un signal d'entrée à haute fréquence, l'impédance de la résistance serait plus élevée que celle du condensateur, ce qui entraînerait une différence de potentiel plus élevée dans la résistance que dans le condensateur. Comme le condensateur est en parallèle avec la charge, il en résulte une faible différence de potentiel au niveau de la charge également, ce qui réduit la quantité de signal de sortie du circuit.
D'un autre côté, si notre signal était composé de fréquences plus basses, l'impédance du condensateur serait plus élevée que celle de la résistance. Ainsi, la différence de potentiel entre le condensateur et la charge serait plus élevée, ce qui se traduirait par un signal de sortie plus important.
La fréquence de coupure est le point à partir duquel un signal dont la fréquence est inférieure à cette valeur est éliminé du signal de sortie.
Nous pouvons également définir mathématiquement la fréquence de coupure comme suit
\[ f_{\text{C}} = \frac{1}{2\pi RC} ,\]
où \(f_{\text{C}}\) est la fréquence de coupure mesurée en hertz \(\mathrm{Hz}\), \(R\) est la résistance de la résistance mesurée en ohms \(\Omega\), et \(C\) est la capacité du condensateur mesurée en farads \(\mathrm{F}\).
Exemples de circuits RC
Pour finir, examinons un exemple de question concernant un circuit RC.
Considérons un circuit RC composé d'une résistance de \(R = 4,5 \, \Omega\) et d'un condensateur de capacité \(C = 7,2 \, \mathrm{\NF}\). La tension initiale dans le circuit est \(V_0 = 5.0 \, \mathrm{V}\).
- Quelle est la tension au temps \(t = 1.4 \times 10^{-6}\, \mathrm{s}\) ?
- Quelle est la constante de temps de ce circuit RC ?
- Quelle serait la fréquence de coupure si ce circuit RC était utilisé comme filtre passe-bas ?
1. Pour trouver la tension à un moment précis, nous pouvons utiliser notre équation dérivée de l'équation différentielle du premier ordre. En substituant nos valeurs, on obtient
\[ \begin{align} V(t) &= V_0 e^{\frac{-t}{CR}} \NV(t = 1.4 \Nfois 10^{-6}\N, \Nmathrm{s}) &= 5.0 \N, \Nmathrm{V} \N- \N- \Nfrac{1.4 \Nfois 10^{-6}\N, \Nmathrm{s}}{7.2 \Nfois 10^{-6}} \N- \NMathrm{F} \n- fois 4.5 \n-, \n-mega }} \\NV(t = 1.4 \Nfois 10^{-6} \Nmathrm{s} ) &= 4.8 \Nmathrm{V} \N-END{align} .\N]
2. Pour trouver notre constante de temps, nous pouvons utiliser notre expression dérivée pour la constante de temps comme suit
\[ \begin{align} \tau &= CR \\ \tau &= 7.2 \times 10^{-6} \N- \N- \N- \NMathrm{F} \N- fois 4.5 \N, \N-Omega \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- &= 3.2 \N- fois 10^{-5} \N- \N- \N- \NMathrm{s} . \Nend{align} \]
3. Enfin, en utilisant notre expression définie dans la section précédente, nous pouvons trouver la fréquence de coupure comme suit
\[ \begin{align} f_{\text{C}} &= \frac{1}{2\pi RC} \N- f_{{text{C}} &= \Nfrac{1}{2 \pi \Nfois 4.5 \N, \Nméga \Nfois 7.2 \Nfois 10^{-6} \, \mathrm{F} } \\N- f_{\text{C}} &= 4900 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \NMathrm{Hz} . \Nend{align} \]
Circuit RC - Points clés à retenir
- Un circuit RC est constitué d'une résistance reliée à un condensateur.
- La tension d'un circuit RC peut être dérivée d'une équation différentielle du premier ordre et est donnée par \(V(t) = V_0 e^{\frac{-t}{CR}}\).
- Un circuit RC peut être en état de charge lorsqu'il est connecté à une source d'alimentation, ce qui permet au condensateur d'accumuler de l'énergie électrique.
- Lorsqu'il est déconnecté de la source d'alimentation, le circuit RC se décharge, car l'énergie électrique stockée dans le condensateur se décharge sous forme de courant.
- Le circuit RC finit par atteindre un état stable et possède une constante de temps.
- Un circuit RC peut agir comme un filtre passe-bas, en filtrant les hautes fréquences des signaux.
Références
- Fig. 1 - Feu de circulation, Wikimedia Commons (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Traffic_Light,_Vienna.jpg) Licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)
- Fig. 2 - Circuit RC, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Courbe de tension de décharge, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Courbe de tension de charge, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Filtre passe-bas, StudySmarter Originals.
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