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Le couple est la force de torsion et de rotation des leviers, des ventilateurs qui tournent et des planètes en orbite. Lorsque le couple est déséquilibré, nous observons des changements dans le mouvement de rotation. Dans cet article, nous verrons ce qu'est le couple, nous passerons en revue les équations que nous utilisons pour calculer le couple déséquilibré, nous discuterons des types de problèmes courants et nous passerons en revue quelques exemples de couple déséquilibré.
Qu'est-ce que le couple ?
Commençons notre discussion sur le couple déséquilibré en passant en revue la définition du couple. Rappelle-toi que le couple est une force qui provoque un certain type de mouvement de rotation, comme un mouvement de torsion ou d'équilibre.
Lecouple est une force appliquée à une certaine distance d'un point de pivot, entraînant une modification du mouvement de rotation d'un objet.
Lecouple est une quantité vectorielle mesurée en unités de newtons-mètres, représentée par le symbole \(\mathrm{N\,m}\), ou \(\mathrm{\frac{kg\,m^2}{s^2}}\). Dans la vie de tous les jours, tu es régulièrement témoin d'un couple, tu en fais l'expérience et tu l'appliques. Chaque fois que tu utilises une poignée de robinet, une poignée de porte ou un volant, tu appliques une force à une distance qui entraîne un changement de mouvement !
En poussant sur la porte à partir de l'endroit où se trouve la poignée de porte, on applique un couple qui fait tourner la porte autour de ses charnières, Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0.
Voyons comment le couple provoque le mouvement familier qui consiste à pousser une porte. Une porte pivote autour de ses charnières, la petite pièce de quincaillerie qui fixe la porte à un cadre et limite son amplitude de mouvement. Lorsque tu tournes une poignée de porte, tu détaches la porte de son cadre, ce qui te permet d'appliquer une force de poussée. La distance entre les charnières et le point où tu appliques cette force s'appelle le bras de levier. Le résultat de ta poussée est un couple appliqué sur les charnières perpendiculairement à la force appliquée avec ta poussée, et la porte s'ouvre.
Un bras de levier est la distance perpendiculaire (angle droit) entre l'axe de rotation ou le point d'appui et l'emplacement d'une force appliquée.
Cette distance est généralement exprimée à l'aide des variables \(r\) ou \(d\). Le placement des poignées de porte sur le côté opposé aux points de pivot n'est pas une erreur - l'augmentation de la distance entre le point de pivot et l'endroit où nous appliquons la force réduit la quantité totale de force nécessaire pour faire tourner la porte. C'est le couple en action ! Essaie de pousser une porte à différentes distances des charnières pour t'en rendre compte.
Définitions du couple équilibré et du couple déséquilibré
Maintenant que nous avons approfondi notre compréhension du couple, définissons deux autres concepts connexes : le couple équilibré et le couple déséquilibré.
On parle decouple équilib ré lorsque les couples et les forces de part et d'autre d'un point de pivot dans un système sont égaux, ce qui entraîne l'équilibre statique du système, soit au repos, soit avec une accélération de rotation nulle.
Mathématiquement, nous pouvons écrire le couple équilibré comme suit :
\begin{align*} \Sigma \tau=\tau_{\mathrm{net}}=0\end{align*}
où \(\tau_{\mathrm{net}}\) est le couple net, exprimé avec la lettre grecque minuscule tau.
Dans la vie de tous les jours, un couple équilibré peut ressembler à une étagère immobile fixée à un mur, soutenue par un support central. En plaçant des objets de poids similaires de part et d'autre du support central, l'étagère restera en équilibre statique avec des couples équilibrés.
Contrastons avec un couple déséquilibré, que nous définissons comme suit :
On parle decouple dés équilibré lorsque les couples et les forces d'un système ne s'annulent pas, ce qui entraîne une accélération de la rotation dans le sens du couple net.
Mathématiquement, nous pouvons écrire le couple déséquilibré comme suit :
\begin{align*} \Sigma \tau &\neq 0 \\\tau_{\mathrm{net}}&\neq 0 \end{align*}
En nous inspirant de notre exemple d'étagère, nous pouvons créer des couples déséquilibrés en empilant un tas d'objets à l'extrémité gauche de l'étagère tout en laissant l'extrémité droite vide. Si la longueur de l'étagère est de \(L\), le poids des objets empilés, dû à la gravité, applique un couple net à une distance de \(\frac{L}{2}\) du centre. Le couple déséquilibré provoque une accélération de rotation et l'étagère pivote - en supposant que l'étagère puisse pivoter autour de son support et ne se détache pas simplement du mur, bien sûr.
Équations pour le couple déséquilibré
Tu as déjà vu la plupart des équations de couple - le couple est déséquilibré lorsque le couple net \ (\tau_{\mathrm{net}}\) est non nul dans un calcul. Commençons par rappeler l'équation du couple qui s'écrit comme le produit de la force appliquée (F), de la distance radiale entre le pivot et le point d'application de la force (r) et de l'angle (thêta) entre les deux :
\begin{align*} \tau=r_{\perp} F=rF\mathrm{sin\theta} \end{align*}
Nous avons également l'équation pour résoudre le couple avec le moment d'inertie \(I\) et l'accélération de rotation \(\alpha\) :
\begin{align*} \tau=I \alpha \end{align*}
où les unités du moment d'inertie sont en \(\mathrm{kg\,m^2}\) et les unités de l'accélération de rotation sont en \(\mathrm{\frac{rad}{s^2}}\). Comme le couple dépend du moment d'inertie, nous ne pouvons pas ignorer la forme d'un objet. Nous pouvons utiliser ces deux équations pour calculer la valeur du couple appliqué dans un système déséquilibré. Mais n'oublie pas que cela est vrai pour le couple net, alors fais attention à ce que tu calcules tout au long d'un problème ! Nous avons une dernière série d'équations que nous pouvons utiliser pour calculer le couple :
\begin{align*} \tau_1&=\tau_2 \\nF_1r_2&=F_2r_2 \nend{align*}
et, si la force en question est la force gravitationnelle :
\begin{align*} m_1gr_1&=m_2gr_2 \\\Nm_1r_1&=m_2r_2 \Nend{align*}
Ces équations sont utiles pour savoir quelle masse ou quelle distance radiale est nécessaire pour équilibrer un système dont les couples sont déséquilibrés.
Rotation causée par un couple déséquilibré
Maintenant que nous avons examiné les équations qui sous-tendent les problèmes de couple déséquilibré, entrons dans les détails de ce qui se passe conceptuellement. Tu te souviens de l'équation que nous avons présentée précédemment, \(\tau=I \alpha\) ? Le moment d'inertie, \(I\), est une mesure de la résistance aux changements de la vitesse angulaire d'un objet. Il s'agit d'une propriété importante déterminée par la masse et la répartition de la masse à partir de l'axe de rotation de l'objet.
Si nous maintenons le moment d'inertie constant, ce qui signifie que la quantité reste inchangée, nous obtenons la relation suivante entre le couple et l'accélération angulaire :
\begin{align*} \tau \propto \alpha \end{align*}
ou en d'autres termes, le couple est proportionnel à l'accélération angulaire. Cela signifie que si le couple augmente, l'accélération angulaire augmente également. Cette relation montre aussi clairement que si le couple net est nul, il ne peut y avoir d'accélération angulaire !
La règle de droite indique la direction du vecteur de couple. En pointant ton index et ton majeur dans la direction du rayon et de la force appliquée, tout en maintenant ton pouce en dehors, tu verras la direction du couple, Wikimedia Commons CC BY-SA 3.0.
Ainsi, lorsque nous avons un couple non nul dans un système, cette force de torsion déséquilibrée entraînera un changement de l'accélération de rotation, ce qui fera tourner le système autour de son axe de rotation dans la direction du vecteur de couple net. La direction du vecteur de couple est perpendiculaire à la force et au rayon \(r\) de l'axe. Si tu n'es pas sûr de la direction du couple, utilise la règle de la main droite, une astuce pratique pour vérifier la direction d'un vecteur perpendiculaire :
Pointe ton index dans la direction de la distance radiale.
Pointe ton majeur dans la direction de la force appliquée.
Tiens ton pouce tout droit. Ton pouce pointera dans la direction du vecteur couple.
Si la force appliquée est rotative autour d'un axe central, courbe plutôt tes doigts dans la direction de la distance radiale vers la force appliquée. Cela indiquera un mouvement dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse. En tenant ton pouce vers l'extérieur, tu pointeras dans la direction du couple.
Tu rencontreras souvent la règle de la main droite au cours de tes études de physique, alors note cette astuce dès maintenant, même si tu ne l'as pas encore mémorisée ! C'est un outil important pour les produits en croix, que tu apprendras plus en calcul et dans les cours de physique plus avancés.
Calculs de couples déséquilibrés et types de problèmes
Tu rencontreras probablement des problèmes de couple non équilibré au cours de tes études de physique. Passons en revue certains types de problèmes que tu pourrais rencontrer et les étapes que tu devras suivre pour effectuer ces calculs de couple.
Pour tout problème, tu devras t'assurer de toujours définir ce qu'est ton système et de prendre en compte toutes les composantes horizontales et verticales de toutes les forces impliquées. Le couple peut aussi être positif ou négatif, alors fais attention à ce que tu dis !
Équilibrer une balançoire ou un levier en déséquilibre
Un problème classique de physique avec un couple non équilibré implique l'équilibre d'une bascule, ou d'une configuration similaire avec une planche au sommet d'un point d'appui. On te demandera peut-être d'équilibrer la balançoire pour qu'elle reste en équilibre rotatif parallèlement au sol, en fonction d'un ensemble de conditions initiales données.
Réfléchissons aux étapes à suivre pour aborder ce type de problème.
Quelles sont les informations dont nous disposons ? On te donnera probablement trois valeurs, avec une masse ou une distance radiale inconnue.
Quelle est la quantité que nous essayons de résoudre ? Détermine la quantité manquante et rappelle-toi que l'objectif est d'équilibrer le couple des deux côtés de la balançoire. Dessine un schéma si nécessaire.
Quelle équation devons-nous utiliser ? Cela dépend des informations données au départ. Dans de nombreux cas, ce sera \(m_1r_1=m_2r_2\), mais fais attention aux variables avec lesquelles tu commences !
Isole la variable inconnue et résous le problème.
Équilibrer le couple à l'intérieur d'un mobile
L'équilibrage d'un mobile est un type de problème similaire à l'équilibrage d'une balançoire à bascule, mais souvent avec plusieurs niveaux de masses suspendues, chaque niveau étant son propre levier. Dans un problème de mobile, le nombre d'objets suspendus à chaque tige peut ne pas être le même. Ces types de calculs de couple sont essentiellement une extension du scénario simple de la balançoire à bascule.
Pour créer un mobile, il faut équilibrer des masses suspendues à différents bras de levier, Daniel X. O'Neil via Flickr CC BY 2.0
Comment résoudre ce type de problème ? Encore une fois, considérons les différents composants et ce qu'il faut faire pour équilibrer les couples.
Dessine ou examine un diagramme du mobile. Dans ces problèmes, on te donnera toujours les longueurs des tiges ainsi que les bras de levier (la distance entre la ficelle et chaque objet suspendu). Les bras de levier ne seront pas toujours égaux à la moitié de la longueur de la tige ! On te donnera également le poids d'un côté de l'étage le plus bas.
Ignore le poids de chaque tige et de chaque morceau de ficelle et ne considère que le poids des objets suspendus aux tiges. N'oublie pas que la force en question est la gravité, donc si on nous donne le poids au départ, nous devrons utiliser la forme \(F_1r_1=F_2r_2\) de l'équation du couple.
En commençant par l'étage le plus bas, applique l'équation d'équilibre du couple et résous le problème du poids manquant.
Remonte chaque étage et calcule le poids suivant qui maintiendra le mobile en équilibre. Au fur et à mesure que tu montes, n'oublie pas d'utiliser le poids total de l'étage précédent pour trouver la valeur du niveau suivant.
Remplis ton diagramme avec chaque valeur jusqu'à ce que tu aies calculé tous les poids. Tu as maintenant équilibré le mobile suspendu !
Problèmes de la deuxième loi avec le couple et l'inertie de rotation
Un dernier type de problème que turencontreras probablement est analogue à la deuxième loide Newton. Rappelle-toi que ladeuxième loi du mouvement de Newtonstipule que la somme des forces est proportionnelle à l'accélération et inversement proportionnelle à la masse d'un objet:
\begin{align*} a=\frac{F_{\mathrm{net}}}{m} \Nend{align*}
où \(a\) est l'accélération linéaire. Ladeuxième loi de Newtonpeut facilement être étendue pour former la deuxième loi du mouvement de rotation, sachant que la somme des couples est proportionnelle à l'accélération angulaire et inversement proportionnelle au moment d'inertie:
\begin{align*} a=\frac{\tau_{\mathrm{net}}}{I} \n-{align*}
Dans ce type de problèmes, tutravailleras probablement avec des informations différentes au départ. Nous pouvons toujours équilibrer les couples, même si nousne connaissons pas au départ les masses et les distances radiales - n'oublie pasque tant que les couples de chaque côté sont égaux entre eux :
\begin{align*} \tau_1=\tau_2 \end{align*}
nous pouvons alors résoudre la variable inconnue restante.
Dans de nombreux problèmes de couple, tu n'auras pas à équilibrer un système de façon statique. Tu devras plutôt trouver le couple net en connaissant la forme de l'objet et les informations sur l'accélération de rotation ou une autre variante de ce calcul de couple.
Exemples de couples déséquilibrés
Terminons notre discussion sur le couple déséquilibré par un exemple, en commençant par le problème d'une balançoire à bascule déséquilibrée.
Un enfant pesant \(\mathrm{30\,kg}\) est assis à l'une des extrémités d'une bascule longue de \(\mathrm{2,5\,m}\). Le pivot de la bascule est placé exactement au centre. À quelle distance du pivot un deuxième enfant pesant \(\mathrm{42,kg}\) doit-il s'asseoir pour que la balançoire soit parallèle au sol ?
Nous voulons résoudre pour que les couples soient égaux de chaque côté de l'équation :
\begin{align*} F_1r_1=F_2r_2 \end{align*}
Et comme on nous donne le poids, nous pouvons brancher ces chiffres pour obtenir la force gravitationnelle à l'origine des couples. N'oublie pas que, dans le langage courant, nous exprimons généralement le poids en kilogrammes ou en livres. Cependant, le poids dû à la gravité est en fait exprimé en newtons ou en livres-force. Un autre élément à prendre en compte est l'angle ; dans ce scénario, l'angle pour que la balançoire soit parallèle au sol est \(\theta=90^\circ), et parce que \(\mathrm{sin(90^\circ)=1}\), l'angle ne modifie pas notre calcul.
L'enfant qui se trouve à l'une des extrémités est assis à une distance de \(\mathrm{\frac{2,5\,m}{2}=1,25\,m}\). En mettant tout cela bout à bout, nous trouvons :
\N- [\N- Début{alignement} r_2 &= \Nfrac{F_1r_1}{F_2}]. \\N- \N- \Nmathrm{0,89\N,m} &= \Nmathrm{\Nfrac{30\N,N\cdot1,25\N,m}{42\N,N}} \N- [end{align}\N]
Le deuxième enfant devra donc s'asseoir beaucoup plus près du centre de la balançoire afin de réduire le couple causé par son poids et de rendre le système stable.
Prenons un autre exemple, cette fois en calculant le couple net pour un objet en rotation dont l'accélération n'est pas nulle.
Une sphère solide de masse \(m=3.0\,\mathrm{kg}\) et de rayon \(r=0.50\,\mathrm{m}\) a un moment d'inertie de \(I=\frac{2}{5}mr^2\). Si le couple net sur la sphère est de \(50\N,\Nmathrm{N\N,m}\N), quelle est l'accélération angulaire ?
Pour ce problème, nous utiliserons l'équation de couple suivante :
\begin{align*} \tau_{\mathrm{net}} &=I\alpha \mathrm{\frac{\tau_{net}}{I}}&=\alpha \end{align*}
En branchant nos valeurs connues, nous trouvons :
\begin{align} \alpha &= \mathrm{\frac{50\,\frac{kg\,m^2}{s^2}}{\frac{2}{5}(3\,kg\cdot(0.5\,m)^2)}} \\N- &= \mathrm{83\N,\Nfrac{rad}{s^2}} \Nend{align}
N'oubliez pas que les radians sont des unités sans dimension, donc nos unités s'annulent à \(\mathrm{\frac{1}{s^2}}\)).
Prenons un autre exemple rapide en examinant l'impact de la forme d'un objet sur l'accélération et le couple de rotation.
Nous libérons trois objets du repos au sommet d'une colline : une sphère creuse (coquille sphérique mince), une coquille cylindrique mince d'épaisseur négligeable, et un cylindre solide. Les moments d'inertie de ces objets sont \(I_{\mathrm{sph.\, coquille}}=\frac{2}{3}mr^2\), \(I_{\mathrm{cyl.\, coquille}}=mr^2\), et \(I_{\mathrm{solid\, cyl.}}=\frac{1}{2}mr^2\). Quel objet atteindra le fond en premier ? Quel objet arrivera en dernier ?
Pour ce problème, nous voulons comparer les moments d'inertie relatifs. Rappelle-toi les relations entre l'accélération angulaire, le moment d'inertie et le couple :
\begin{align*} \tau &\propto \alpha \\c \alpha &\propto \frac{1}{I} \N-END{align*}
Sachant cela, nous nous attendons à ce que l'objet ayant le plus petit moment d'inertie atteigne le plus rapidement le bas de la colline. En mettant tout cela ensemble, nous trouvons :
\begin{align*} I_{\mathrm{solid\, cyl.}} &\geq I_{\mathrm{sph.\, shell}} \geq I_{\mathrm{cyl.\N, coquille}} \\ \alpha_{\mathrm{solid\, cyl.}} &\geq \alpha_{\mathrm{sph.\, shell}} \geq \alpha_{\mathrm{cyl.\, shell}} \Nend{align*}
Comme le cylindre solide a la masse la plus proche de son axe de rotation, c'est lui qui accélérera le plus vite et atteindra le fond en premier. La coquille cylindrique a toute sa masse à une distance \(r\) de son axe de rotation et a le plus grand moment d'inertie.
Lorsque tu calcules un couple et que tu résous des problèmes d'équilibre statique, garde à l'esprit que le couple est calculé à un point de pivot spécifique. Dans des conditions d'équilibre statique, le couple net sera toujours nul autour de tous les points de pivot, ce qui signifie que nous avons la liberté de choisir un point de pivot où les calculs sont les plus simples, comme lorsque certains couples sont déjà annulés !
Couple déséquilibré - Points clés à retenir
- Le couple est une quantité vectorielle mesurant une force de torsion appliquée à un corps, entraînant un changement dans le mouvement de rotation.
- On parle de couple équilibré lorsque toutes les forces agissant de part et d'autre d'un point d'appui ou d'un point de rotation sont égales, ce qui n'entraîne aucune modification du mouvement.
- On parle de couple déséquilibré lorsque les forces appliquées ne s'équilibrent pas et ont une force nette dans une direction, ce qui entraîne des changements dans l'accélération de la rotation.
- Parmi les types de problèmes courants impliquant un couple non équilibré, on peut citer l'équilibre d'une balançoire à bascule, l'équilibre d'un mobile suspendu à plusieurs niveaux et d'autres applications de la deuxième loi de Newton pour le mouvement de rotation.
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