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Fig. 1 - Le slinky est un excellent exemple d'oscillateur harmonique simple.
Le slinky peut faire cela parce qu'il s'agit d'un oscillateur harmonique simple. L'énergie contenue dans le mouvement harmonique simple du slinky lui permet de passer d'une étape à l'autre. Cet article nous apprendra ce qu'est l'énergie dans un mouvement harmonique simple : sa définition, sa formule et sa dérivée, ainsi que sa position d'équilibre. Ensuite, nous nous pencherons sur quelques exemples d'énergie dans le mouvement harmonique simple pour terminer l'article.
Définition de l'énergie dans le mouvement harmonique simple
Tout comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle, il existe aussi une énergie qui provient du mouvement harmonique simple. En outre, je dois expliquer d'emblée une distinction essentielle. Tout au long de cet article, j'utiliserai indifféremment les mots "mouvement harmonique simple" et "oscillateur harmonique simple". Cependant, ils ne sont pas interchangeables. Un oscillateur harmonique simple est un objet qui subit un mouvement harmonique simple. L'oscillateur est l'objet, et le mouvement fait référence au mouvement oscillatoire réel. Mais pour comprendre ces deux concepts, nous devons d'abord définir les forces de rappel.
Les forces de rappel
L'univers aime être en équilibre ; il veut être équilibré. L'univers a des lois pour corriger le déséquilibre chaque fois que quelque chose perturbe cet équilibre. L'une de ces lois consiste à rétablir les forces. Lorsqu'un objet est en équilibre, tout va bien. Pour citer le film Lego, "Tout est génial !" Mais une fois que cet objet s'éloigne de l'équilibre, celui-ci a été détruit et l'univers se met en colère.
Une force de rappel s'exerce à l'opposé du déplacement d'un objet par rapport à sa position d'équilibre.
Une force de rappel est une force qui agit sur cet objet pour le remettre dans sa position d'équilibre : le remettre en équilibre. C'est la raison pour laquelle la force de rappel agit toujours à l'opposé du déplacement d'un objet ; elle essaie de remettre l'objet à sa juste place. Cette "bonne place" est la position d'équilibre.
La position d'équilibre est l'endroit où aucune force nette n'agit sur un système ou un objet.
Pour l'énergie dans un mouvement harmonique simple, la position d'équilibre est l'endroit où il n'y a pas d'énergie lorsque l'objet est immobile parce qu'il n'y a pas de forces nettes sur l'objet ou le système.
Fig. 2 - Le point B est l'équilibre : l'endroit où le déplacement \(x=0\) et les forces nettes agissant sur l'objet \(F_\text{net} = 0\).
L'énergie dans le mouvement harmonique simple et sa dérivation
Avant d'aborder l'énergie des oscillateurs harmoniques simples, nous devons parler du mouvement harmonique simple, un type de mouvement périodique.
Le mouvement harmonique simple se produit lorsque l'ampleur d'une force de rappel exercée sur un objet est proportionnelle au déplacement de cet objet par rapport à sa position d'équilibre.
L'équation dérivée du mouvement harmonique simple est donnée par :
$$ma_x = -k\Delta x$$$
où \(m\) est la masse, \(a_x\) est l'accélération dans la direction horizontale, \(k\) est la constante de l'oscillateur harmonique, et \(\Delta x\) est le déplacement.
Formule de l'énergie du mouvement harmonique simple
L'énergie mécanique d'un mouvement harmonique simple est la somme de ses énergies potentielle et cinétique :
$$E_\text{tot} = U + K$$
où \(E_\text{tot}\) est l'énergie mécanique totale, \(U\) est l'énergie potentielle, et \(K\) est l'énergie cinétique.
Fig. 3 - Cette image montre que l'énergie potentielle et l'énergie cinétique ont une relation inverse, c'est-à-dire que lorsque l'une diminue, l'autre augmente. Mais, en raison de la conservation de l'énergie, leur combinaison ne peut pas dépasser l'énergie totale du système.
Comme tu peux le voir dans l'équation et le graphique ci-dessus, l'énergie potentielle et l'énergie cinétique ont une relation assez difficile. Plus il y a d'énergie potentielle, moins il doit y avoir d'énergie cinétique pour que l'énergie totale reste équilibrée. Le mouvement harmonique simple n'est rien d'autre qu'un exercice d'équilibre.
La conservation de l'énergie régit cet équilibre. Pour que l'énergie soit conservée, l'énergie totale d'un système isolé avec un mouvement harmonique simple doit être constante. Par conséquent, pour maintenir l'équilibre, l'énergie potentielle est maximale lorsque l'énergie cinétique est minimale. De plus, l'énergie cinétique est maximale lorsque l'énergie potentielle est minimale. Si l'une augmente, l'autre doit diminuer, sinon l'énergie ne restera pas constante : c'est une relation très conflictuelle.
L'énergie cinétique minimale d'un objet dans un mouvement harmonique simple est nulle.
Nous pouvons considérer le mouvement harmonique en termes d'énergie potentielle. L'énergie potentielle est l'énergie inhérente à un objet en fonction de sa position par rapport à un autre objet. Par conséquent, si mes deux objets sont une balle et la terre, plus j'éloigne la balle de la surface de la terre, plus elle gagne en énergie potentielle. Ce phénomène est similaire à l'énergie stockée dans les oscillateurs harmoniques simples. Plus l'objet est éloigné de son point d'équilibre, plus l'énergie potentielle maximale qu'il peut éprouver augmente, ce qui améliore son énergie totale.
$$E_\text{total} = \frac{1}{2}\k A^2$$
est l'équation que nous utilisons pour décrire l'énergie d'un système objet-ressort avec \(E_\text{total}\) comme énergie totale du système, \(k\) comme constante du ressort, et \(A\) comme amplitude.
Fig. 4 - Un ressort est un parfait exemple d'oscillateur harmonique simple qui présente un mouvement harmonique simple.
Exemple d'énergie dans un mouvement harmonique simple
Maintenant, armé de toutes ces connaissances sur le mouvement harmonique simple, faisons quelques exemples.
Dérivation de l'énergie dans le mouvement harmonique simple
Tout d'abord, nous allons dériver l'équation du mouvement harmonique simple d'un ressort.
Explique comment passer de l'équation
$$E_\text{tot} = U + K$$
à l'équation de l'énergie totale d'un système ressort-objet
$$E_\text{total} = \frac{1}{2}\k A^2\mathrm{.}$$$
Solution : Le fait de savoir que l'énergie totale d'un oscillateur harmonique simple est égale à son énergie potentielle plus son énergie cinétique nous donne un indice pour résoudre ce problème. L'énergie potentielle d'un ressort est donnée par la formule suivante
$$U=\frac{1}{2}\\kx^2$$
car elle est équivalente au travail total effectué sur le système. Le travail effectué sur un système est égal à l'énergie transférée à l'intérieur ou à l'extérieur du système, ce qui est précisément ce que donne cette formule.
La formule de l'énergie cinétique est la suivante
$$K=\frac{1}{2}\\mv^2\mathrm{,}$$
mais le mouvement oscillatoire s'écrit en termes de vitesse angulaire. Par conséquent, nous devons réécrire la vitesse comme suit :
$$v^2=\omega ^2 (A^2 - x^2)\mathrm{.}$$.
Notre nouvelle équation deviendrait alors
$$K= \frac{1}{2}\m\omega ^2 (A^2 - x^2)\mathrm{.}$$$
Sachant que
$$\frac{k}{m} = \omega ^2$$
nous permet de substituer \(k\) à $$m\omega ^2$$.
$$m\omega ^2$$
ce qui nous permet d'obtenir
$$K=\frac{1}{2}\k(A^2 - x^2)$$
pour l'équation finale de l'énergie cinétique.
Nous additionnons ensuite ces deux équations pour obtenir l'énergie totale du système de ressorts :
$$\frac{1}{2}\ kx^2 + \frac{1}{2}\k (A^2 - x^2)\mathrm{.}$$.
L'utilisation de la propriété distributive donne
$$\frac{1}{2}\ kx^2 + \frac{1}{2}\kA^2 - \frac{1}{2}\x^2\mathrm{,}$$$
ce qui annule les deux termes \(\frac{1}{2}\kx^2\) et nous laisse avec une énergie totale finale pour le système ressort-masse de
$$E_\text{total}=\frac{1}{2}\\kA^2\mathrm{.}$$
Exemple 2
Nous allons maintenant utiliser cette équation pour trouver l'énergie d'un système ressort-objet.
Quelle est l'énergie d'un système ressort-objet dont le ressort a une constante \(k\) de \(5\,\mathrm{\frac{N}{m}\}\\}\) et une amplitude de \(3\,\mathrm{m}\) ?
Rappelle l'équation de l'énergie du mouvement harmonique simple pour un système ressort-objet :
$$E_\text{total} = \frac{1}{2}\k A^2\mathrm{.}$$.
D'après le problème, nous avons une valeur \(k\) de
$$k = 5\,\mathrm{\frac{N}{m}\}$$$
et une amplitude de
$$A= 3\,\mathrm{m}\mathrm{.}$$.
En remplaçant ces valeurs dans notre équation, on obtient
$$E_\text{total} = \frac{1}{2}\\N(5,00\N{N}{m}\}) (3,00\N{m{m})^2\N{mathrm{,}$$$
ce qui nous donne une énergie totale de
$$E_\text{total}= 22.5\,\mathrm{N\,m}\mathrm{.}$$
Les newtons-mètres \((\mathrm{N\,m})\) sont la même chose que les joules \((\mathrm{J})\).
Enfin, nous avons atteint le bas d'un long escalier ; voici les connaissances essentielles pour l'énergie des oscillateurs harmoniques simples.
L'énergie des oscillateurs harmoniques simples - Principaux enseignements
- Un oscillateur harmonique simple est un objet qui subit un mouvement harmonique simple. L'oscillateur est l'objet, et le mouvement fait référence au mouvement oscillatoire réel.
- Une force de rappel est exercée à l'opposé du déplacement d'un objet par rapport à une position d'équilibre.
- La position d'équilibre est l'endroit où aucune force nette n'agit sur un système ou un objet.
- Un mouvement harmonique simple se produit lorsque l'ampleur de la force de rappel exercée sur un objet est proportionnelle au déplacement de cet objet par rapport à sa position d'équilibre.
- L'équation dérivée du mouvement harmonique simple est la suivante
$$ma_x = -k\Delta x\mathrm{.}$$$
L'énergie mécanique d'un mouvement harmonique simple est la somme de ses énergies potentielle et cinétique :
$$E_{tot} = U + K\mathrm{.}$$.
Pour que l'énergie soit conservée, l'énergie totale d'un système isolé à mouvement harmonique simple doit être constante. Par conséquent, pour maintenir l'équilibre, l'énergie potentielle est au maximum lorsque l'énergie cinétique est au minimum. De plus, l'énergie cinétique est maximale lorsque l'énergie potentielle est minimale.
L'énergie cinétique minimale d'un objet dans un mouvement harmonique simple est nulle.
Au fur et à mesure que l'objet sur un ressort s'éloigne de son point d'équilibre, l'énergie potentielle maximale qu'il peut éprouver augmente, de sorte que son énergie totale est améliorée.
$$E_{total} = \frac{1}{2}\k A^2$$ est l'équation que nous utilisons pour décrire l'énergie d'un système masse-ressort oscillant.
Références
- Fig. 1 - Slinkies (https://pxhere.com/en/photo/1559395) par rawpixel.com (https://pxhere.com/en/photographer/795663) est sous licence du domaine public (https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/)
- Fig. 2 - Pendule (https://physics.stackexchange.com/questions/170291/forces-acting-on-an-shm) par RogUE (https://physics.stackexchange.com/users/60846/rogue) sous licence CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
- Fig. 3 - Conservation de l'énergie dans un mouvement harmonique simple, StudySmarter Originals
- Fig. 4 - Conservation de l'énergie dans un ressort (https://courses.lumenlearning.com/suny-osuniversityphysics/chapter/15-2-energy-in-simple-harmonic-motion/) par OpenStax CNX (https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/preface) sous licence CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)
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